Выражение для внутренних силовых факторов в поперечных сечениях прямых стержней

Если заданы внешние нагрузки, то можно найти значение внутренних силовых факторов в любом сечении стержня.

Найдем эти выражения для некоторых частных случаев нагружения.

1. Стержень нагружен продольными силами, указанными на рис. 3.3, а.

а) б)

Рис. 3.3

Выражение для продольной силы в сечении Z будет

N(z) = N(о) – [q × (z - a) - q ×(z - b) + P].

Выражение, стоящее в скобках, называют нагрузочной функцией. Постоянная интегрирования N(о) определяется из граничных условий (условий опирания)

(рис. 3.3, б).

Пользуясь этим выражением, можно составить выражение для любых сочетаний, равномерно распределенных и сосредоточенных нагрузок, разбив предварительно стержень на силовые участки.

Пример. Для стержня, показанного на рис. 3.4 записать выражение для функции N(z).

Iуч IIуч IIIуч IVуч Vуч

Рис. 3.4

При указанной схеме нагружения стержень следует разбить на 5 силовых участков.

Участок 1: 0 < z < l N(z) = N(0) – q × Z;

Участок 2: l < z < 2 × l; N(z) = N(0) – q₁ × z + q₁ ×(z - l) – P₁;

Участок3: 2× l < z < 3 × l; N(z) = N(0) – q₁ × z + q₁ ×(z - l) – P₁ – P₂ – q₂ × (z – 2 × l);

Участок4: 3 × l < z < 4 × l; N(z) = N(0) – q₁ × z + q₁ ×(z - l) – P₁ – P₂ – q₂ ×(z – 2 × l) +

+ q₂ ×(z – 3 × l);

Участок 5:

3 × l < z < 4 × l; N(z) = N(0) – q₁ × z + q₁ × (z - l) – P₁ – P₂ – q₂ × (z – 2 × l) +

+ q₂ × (z – 3 × l) – Р_3.

Удобнее записывать эти выражения сразу для всего стержня, указывая границы участков.

N(z) = N(0) – q₁ × z ú₁ + q₁ ×(z - l)– P₁ ú ₂– P₂ – q₂ ×(z – 2 × l) ú₃+

+ q₂ ×(z – 3 × l) ú₄ – Р₃ ú₅.

Сосредоточенные нагрузки, приложенные в концевых сечениях, будем относить в граничные условия.

2. Стержень нагружен крутящими моментами m_z (рис. 3.5).

Рис. 3.5

По аналогии с растяжением получаем выражение для крутящего момента в сечении z:

M_k(z) = M_k(0) – [m × (z - a) - m × (z - b) + L].

Граничные условия для нахождения M_k(0) (рис. 3.6):

Рис. 3.6

Порядок составления функции крутящего момента M_k(z) в случае, если на стержень действуют несколько сосредоточенных и равномерно распределенных момента, тот же что и при растяжении стержня.

3. Стержень нагружен поперечными нагрузками в вертикальной плоскости (рис.3.7).

Рис. 3.7

При таком нагружении в поперечном сечении стержня будут возникать поперечная сила Q_y и изгибающий момент М_х. Выражения для этих функций в сечении z после интегрирования соответсвующих дифференциальных зависимостей будут:

Q_y(z) = Q_y(0) – [q × (z - a) - q × (z - b) + P],

M_x (z) = M_x(0) + Q_y(0) × z - .

В эти выражения входят две постоянные интегрирования Q_y(0) и M_x (0) и для их нахождения необходимы два статических (силовых) граничных условия.

Рассмотрим возможные условия закрепления концов стержня (рис. 3.8)

Рис. 3.8

4. В случае если стержень оперт так, что шарнирная опора находится не на конце стержня, то следует поступить следующим образом: на опоре следует приложить реактивную силу R и записать ее в нагрузочную функцию как сосредоточенную силу, а для ее определения использовать дополнительное граничное условие, которое появится на свободном конце (рис. 3.9).

Рис. 3.9

5. В случае изгиба стержня в горизонтальной плоскости (рис. 3.10) возникает поперечная сила Q_х и изгибающий момент М_у дифференцированные зависимости, для которых будут отличаться по знаку от предыдущего случая.

Рис. 3.10

Следовательно, выражения для этих функций будут следующими:

Q_x(z) = Q_x(0) - [q × (z - a) - q × (z - b) + P],

M_y (z) = M_y (0) – Q_x(0) × z + .

Граничные условия будут аналогичными предыдущему случаю.

Дата добавления: 2015-07-26; просмотров: 249; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!