Напряженное состояние в точке тела

Чтобы исследовать напряженное состояние в некоторой точке А деформи-рованного тела, в её окрестностях выделим тремя координатными плоскостями бесконечно малый параллелепипед (рис. 4.1). Начало этой системы координат поместим в точке А. Полные напряжения на каждой грани разложим на нормальные и касательные. На невидимых гранях будут действовать такие же напряжения, но противоположного направления. Касательные напряжения подчиняются принципу парности касательных напряжений: t_ху = t_ух; t_уz = t_zу; t_zх = t_хz.

Рис. 4.1

Через любую точку тела можно провести три таких взаимно перпендикулярных сечения, на которых касательные напряжения равны нулю. Такие площадки называются главными площадками, а нормальные напряжения на этих площадках – главными напряжениями. Главные напряжения условились обозначать s₁, s₂, s₃; при этом индексы следует расставлять так, чтобы выполнялось условие s₁ ³ s₂ ³ s₃.

При любом напряженном состоянии наибольшие касательные напряжения будут равны

,

и действуют они в площадках равнонаклоненных к первой и третьей главным площадкам.

Когда все три главных напряжения отличны от нуля, в точке имеет место трехосное (объемное) напряженное состояние. Напряженное состояние, в котором два главных напряжения отличны от нуля, а третье равно нулю, называется двухосным (плоским) напряженным состоянием. Если только одно главное напряжение отлично от нуля, а два других равны нулю, называется одноосным (линейным) напряженным состоянием.

В общем случае напряженного состояния главные напряжения являются корнями следующего характеристического уравнения

s³ + J₁ ×s² + J₂ ×s - J₃ = 0,

где коэффициенты уравнения J₁ = s_x + s_y + s_z,

J₂ = s_x × s_y + s_y × s_z + s_z × s_x - t_ху² - t_ух² - t_zх²,

J₃ = s_x × s_y × s_z - s_x × t _уz² - s_y × t_zх² - s_z × t_ху² + 2 × t_ху × t_уz × t_zх

являются первым, вторым и третьим инвариантами тензора напряжений.

Дата добавления: 2015-07-26; просмотров: 224; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!