Лекция №2 «Главные оси и главные моменты инерции

ПРЕДИСЛОВИЕ

Лекция № 1 «Геометрические характеристики

СОДЕРЖАНИЕ

Северодвинск

Конспект лекций. Часть 2.

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ

Курзанова Е.В.

Филиал «СЕВМАШВТУЗ» государственного образовательного

Федеральное агентство по образованию Российской Федерации

учреждения высшего профессионального образования «Санкт-

Петербургский государственный морской технический

университет» в г. Северодвинске

УДК 539.3/8

Сопротивление материалов. Конспект лекций. Часть 2/Сост. Е.В.Курзанова, Северодвинск: РИО Севмашвтуза, 2010 - 38 с.

Конспект лекций часть 2 предназначен для студентов всех специальностей, изучающих курс «Сопротивление материалов».

В части 2 конспекта лекций по сопротивлению материалов содержатся основные теоретические положения и зависимости по следующим темам: «Геометрические характеристики плоских сечений», «Кручение», «Срез и смятие».

Рецензенты:

К.т.н., доцент кафедры №3 Н.В.Лобанов,

Генеральный директор ЗАО НТЦ “БАЗИС» В.А. Базанов

Печатается по решению редакционно-издательского совета Севмашвтуза.

© Севмашвтуз, 2010

Предисловие…………………………………………………………………….4

плоских сечений»……………………………………………………………….5

2. Лекция № 2 «Главные оси и главные моменты инерции»..………………………………………….…………………………...13

3. Лекция №3 «Кручение. Расчёты на прочность и жёсткость при кручении»………………………………………………………………………16

4. Лекция №4 «Срез и смятие. Расчёты на прочность»…….………………………………………………………………..32

5. Вопросы для проверки пройденного материала………………………..36

6. Список литературы…………………………………………………………37

В части 2 конспекта лекций содержаться основные теоретические положения и расчётные формулы по следующим темам: Геометрические характеристики плоских сечений, Кручение, Срез и смятие.

Целью конспекта лекций является оказание помощи студентам при изучении предмета, при решении и защите расчетно-графических работ по сопротивлению материалов.

Лекция №1 «Геометрические характеристики плоских сечений»

К геометрическим характеристикам плоских сечений относятся:

· площадь сечения F,

· статические моменты площади S_x , S_y ,

· осевые моменты инерции J_x , J_y ,

· центробежный момент инерции J_xy,

· полярный момент инерции J_{ρ ,}

· момент сопротивления кручению W_ρ,

· момент сопротивления изгибу W_x

1.1. Статические моменты площади S_x , S_y

Статический момент площади сечения относительно данной оси равен сумме произведений элементарных площадок на расстояние до соответствующей оси.

Рис. 1

(1)

(2)

Единицы измерения S_xи S_y: [см³], [мм³]. Знак «+» или «-» зависит от расположения осей.

Свойство: Статические моменты площади сечения равны нулю (S_x=0 и S_y=0), если точка пересечения координатных осей совпадает с центром тяжести сечения. Ось, относительно которой статический момент равен, называется центральной. Точка пересечения центральных осей называется центром тяжести сечения.

(3)

(4)

Где F - суммарная площадь сечения.

Пример 1:

Определить положение центра тяжести плоского сечения, состоящего из двух прямоугольников с вырезом.

Рис. 2

(5)

(6)

Отрицательная площадь вычитается.

1.2. Осевые моменты инерции J_x ; J_y

Рассмотрим, как изменяются моменты инерции при повороте координатных осей. Положим, даны моменты инерции некоторого сечения относительно осей 0х, 0у (не обязательно центральных)-, - осевые моменты инерции сечения. Требуется определить, - осевые моменты относительно осей u, v, повёрнутых относительно первой системы на угол (рис. 8)

Рис. 8

Так как проекция ломаной линии ОАВС равна проекции замыкающей, находим:

(15)

Исключим u и v в выражениях моментов инерции:

Тогда

Откуда

(16)

(17)

(18)

Рассмотрим два первых уравнения. Складывая их почленно, получим

Таким образом, сумма осевых моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей не зависит от угла и при повороте осей остается постоянной. Заметим при этом, что

Где - расстояние от начала координат до элементарной площадки (см. рис.5). Таким образом

Где - уже знакомый нам полярный момент инерции:

Определим осевой момент инерции круга относительно диаметра.

Так как в силу симметрии но, как известно,

Следовательно, для круга

С изменением угла поворота осей значения моментов и меняются, но сумма остается неизменной. Следовательно существует такое значение , при котором один из моментов инерции достигает своего максимального значения, в то время как другой момент принимает минимальное значение. Дифференцируя выражение по углу и приравнивая производную к нулю, находим

(19)

При этом значении угла один из осевых моментов будет наибольшим, а другой - наименьшим. Одновременно центробежный момент инерции обращается в нуль, что можно легко проверить, приравнивая к нулю формулу для центробежного момента инерции .

Оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, а осевые моменты принимают экстремальные значения, называются главными осями. Если они к тому же являются центральными (точка начала координат совпадает с центром тяжести сечения), то тогда они называются главными центральными осями (u; v). Осевые моменты инерции относительно главных осей называются главными моментами инерции -и

И их значение определяется по следующей формуле:

(20)

Знак плюс соответствует максимальному моменту инерции, знак минус - минимальному.

Существует ещё одна геометрическая характеристика – радиус инерциисечения. Эта величина часто используется в теоретических выводах и практических расчётах.

Радиусом инерции сечения относительно некоторой оси, например 0x, называется величина ,определяемая из равенства

(21)

F – площадь поперечного сечения,

- осевой момент инерции сечения,

Из определения следует, что радиус инерции равен расстоянию от оси 0х до той точки, в которой следует сосредоточить (условно) площадь сечения F, чтобы момент инерции одной этой точки был равен моменту инерции всего сечения. Зная момент инерции сечения и его площадь, можно найти радиус инерции относительно оси 0х :

(22)

Радиусы инерции, соответствующие главным осям, называются главными радиусами инерции и определяются по формулам

(23)

Дата добавления: 2014-03-13; просмотров: 1508; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!