Методы и алгоритмы анализа на макроуровне

Лекция 15. Математическое обеспечение компьютерного проектирования

Тема.4. Математическое обеспечение компьютерного проектирования

Анализ процессов в проектируемых объектах можно производить во временной и частотной областях. Анализ во временной области (динамический анализ) позволяет получить картину переходных процессов, оценить динамические свойства объекта, он является важной процедурой при исследовании как линейных, так и нелинейных систем.

Анализ в частотной области более специфичен, его применяют, как правило, к объектам с линеаризуемыми ММ при исследовании колебательных стационарных процессов, анализе устойчивости, расчете искажений информации, представляемой спектральными составляющими сигналов,и т.п.

В качестве методов анализа во временной области, используемых в универсальных программах анализа в САПР, применяют методы интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений (СОДУ):

F(dV/dt, V, t) = 0.

Другими словами, это методы алгебраизации дифференциальных уравнений. Формулы интегрирования СОДУ могут входить в ММ независимо от компонентных уравнений, или быть интегрированными в ММ компонентов, как это выполнено в узловом методе.

От выбора метода решения СОДУ существенно зависят такие характеристики анализа, как точность и вычислительная эффективность.

Эти характеристики определяются прежде всего типом и порядком выбранного метода интегрирования СОДУ.

Применяют два типа методов интегрирования – явные (иначе экстраполяционные или методы, основанные на формулах интегрирования вперед), и неявные (интерполяционные, основанные на формулах интегрирования назад). Различия между ними удобно показать на примере простейших методов первого порядка – методов Эйлера.

Формула явного метода Эйлера представляет собой следующую формулу замены производных в точке tn:

dV/dt | n = (Vn+1 – Vn ) / hn,

где индекс равен номеру шага интегрирования; hn = tn+1-tn – размер шага

интегрирования (обычно hn называют просто шагом интегрирования). В

моделировании можно применять и дифференцирование назад:

dV/dt | n = (Vn–Vn–1 ) / hn,

где hn = tn – tn–1.

Выполним сравнительный анализ явных и неявных методов на

примере модельной задачи:

dV/dt = AV ,

при ненулевых начальных условиях V₀ ≠0 и при использовании методов Эйлера с постоянным шагом h. Здесь А – постоянная матрица; V –вектор фазовых переменных.

При алгебраизации явным методом имеем

(Vn+1 – Vn ) / h = A Vn

Или

Vn+1 = (E + hA) Vn,

где Е – единичная матрица. Вектор Vn+1 можно выразить через вектор начальных условий V0:

Vn+1 = (E + hA)ⁿ V0.

Дата добавления: 2014-02-26; просмотров: 678; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!