Лекция 2. МЕТОД РУНГЕ-КУТТА РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Советская психология рассматривала человека, как продукт истории и одновременно часть природы, исходя из своей методологической основы - марксизма-ленинизма. Человек - существо биосоциальное.

Диалектико-материалистический подход к решению проблемы развития требует учета зависимости психического развития от природных данных человека, его биологических, анатомо-физиологических особенностей, так как основой его психической деятельности является высшая нервная деятельность мозга, и от внешних влияний, окружающих ребенка, обстоятельств жизни, конкретной общественно-исторической эпохи, которая определяет содержание психической жизни формирующейся человеческой личности. Их учет необходим, так как без этих условий невозможно нормальное психическое развитие человека. Они являются необходимыми предпосылками для формирования, развития и функционирования психики конкретного человека.

К биологическим предпосылкам психического развития ребенка относятся наследственность и врожденность, т.е. то, с чем появляется младенец на свет.

Что наследует ребенок? Прежде всего, по наследству он получает все признаки своего биологического рода Homo sapiens: особенности строение нервной системы, головного мозга, органов чувств, физические признаки, общие для всех людей. Среди этих признаков важнейшее значение имеют прямолинейная походка, рука как орган познания и воздействия на окружающий мир, особое, специфическое строение речедвигательного аппарата и др.

Наследуют дети также органические, инстинктивные потребности (потребности в пище, тепле и пр.), связанные с выживанием организма.

Носителями наследственной информации являются гены, которых в зародыше человека содержится от 40 до 80 тыс. Гены - устойчивые, но не неизменные структуры. Они способны претерпевать мутации, изменения под влиянием внутренних причин и внешних воздействий (интоксикации, облучения и др.) - они вызывают некоторые аномалии в развивающемся организме человека: многопалость, короткопалость, волчья пасть, дальтонизм и др., носящие название генетические болезни.

Наряду с наследственностью к биологическим предпосылкам относится врожденность, т.е. особенности младенца, детерминированные условиями внутриутробной жизни ребенка. Характер питания матери, заболевания (особенно вирусные инфекции), лучевые воздействия, нервные потрясения, весь образ жизни в период беременности сказываются на формировании организма в утробе матери, вызывая функциональные, а иногда и органические изменения зародыша.

Врожденными являются особенности типа высшей нервной деятельности, темперамента человека.

Прирожденные (т.е. наследственные и врожденные) психофизические и анатомические особенности нервной системы, органов чувств, головного мозга принято называть задатками, на основе которых формируются, развиваются человеческие свойства и способности, в том числе интеллектуальные.

Биологические особенности составляют природную основу человека, которые сами по себе развитие психики ребенка не предопределяют. Эти природные особенности являются важной предпосылкой дальнейшего психического развития; именно предпосылками, но не более.

Основной биологической предпосылкой является чрезвычайная пластичность, обучаемость человеческого мозга, отличающего его от мозга животных. У животных большая часть мозгового вещества “занята” уже к моменту рождения - в нем закреплены механизмы инстинктов, то есть форм поведения, передаваемых по наследству. У ребенка же значительная часть мозга оказывается “чистой”, готовой к тому, чтобы принять и закрепить то, что ему дает жизнь и воспитание. Доказано, что процесс формирования мозга животного в основном заканчивается к моменту рождения, а у человека продолжается после рождения и зависит от условий, в которых происходит развитие ребенка. Следовательно, эти условия не только заполняют “чистые страницы” мозга, но влияют и на само его строение.

В период детства происходит интенсивное созревание организма ребенка, в частности созревание его нервной системы и мозга. На протяжении первых семи лет жизни масса мозга возрастает примерно в 3,5 раза, изменяется его строение, совершенствуются функции. Созревание мозга очень важно для психического развития - благодаря ему увеличиваются возможности усвоения различных действий, повышается работоспособность ребенка, создаются условия, позволяющие осуществлять все более систематическое и целенаправленное обучения и воспитание.

Ход созревания зависит от того, получает ли ребенок достаточное количество внешних впечатлений, обеспечивают ли взрослые условия воспитания, необходимые для активной работы мозга. Те участки мозга, которые не упражняются, перестают нормально созревать и могут даже атрофироваться (потерять способность к функционированию). Это особенно ярко выступает на ранних стадиях развития (госпитализм).

Созревающий мозг ребенка особенно чувствителен к перегрузкам, создающимся при длительной однообразной деятельности. В связи с этим возникает важная задача дозирования воспитательных воздействий и их разнообразия. Известен печальный случай, когда молодые родители, не имея возможности заниматься с ребенком, всякий раз, оставляя его одного включали радио. У малыша возникло устойчивое торможение слуховых областей мозга. Он стал глухим.

Природные, биологические предпосылки - строение организма, его функции, его созревание - необходимы для психического развития, без них развитие происходить не может, но они не определяют того, какие именно психические качества появятся у ребенка. На основе природных задатков (анатомо-физиологических особенностей мозга и нервной системы) могут развиться способности, талант. Но наличие задатков еще не гарантирует их развитие. Без благоприятных социальных условий, соответствующей деятельности эти задатки могут так и не раскрыться, заглохнуть. Это зависит от условий жизни и воспитания, под влиянием которых ребенок усваивает общественный опыт. Природные задатки не являются решающими факторами развития, но они могут влиять на степень достижений человека.

Поэтому, второй важнейшей предпосылкой психического развития ребенка является - социальная среда, культура, в которой воспитывается ребенок.

Каждое поколение людей вырабатывает свой опыт, свои знания, умения, психические качества в продуктах своего труда. К ним относятся как предметы материальной культуры (окружающие нас вещи, дома, машины), так и произведения духовной культуры (язык, наука, искусство). Каждое новое поколение получает от предыдущих все, что было создано раньше, вступает в мир, “впитавший” в себя деятельность человечества.

Овладевая этим миром человеческой культуры, дети постепенно усваивают вложенный в нее общественный опыт, те знания, умения, психические качества, которые свойственны человеку. Это и есть социальноенаследование.

Вопрос о том, что более важно в детерминации человеческого развития - наследственность или среда, природа или общество, созревание или обучение и воспитание, - долгое время обсуждалось в научной литературе, но до настоящего времени не имеет однозначного решения. Ясно только то, что как физическое, так и психическое развитие ребенка зависит от совместного влияния жизненного опыта и процесса созревания организма. Практически же отделить результат созревания оттого, что человеческим индивидом приобретено под влиянием обучения и воспитания, невозможно. Почти все младенцы в отличие от животного рождаются на свет потенциально способными к усвоению речи и при нормальном ходе созревания, достаточно интенсивном обучении довольно быстро ее усваивают. Однако активная, самостоятельная речь у них при любых условиях не возникает раньше 1 - 1,5 лет, т.е. того периода времени, когда детский организм в процессе своего созревания достигает определенной стадии. Ни один ребенок не начал еще говорить предложениями раньше годовалого возраста.

Ребенок всегда говорит на языке той страны, в которой он родился и вырос. Это, пожалуй, самое убедительное доказательство и прямое свидетельство существенного влияния среды на психическое развитие. Если же принять в расчет то, что именно речь является основой для развития всех других высших психический свойств человека, то можно утверждать, что влияние среды на психическое развитие человеческого индивида действительно огромно.

Наряду с этим подобное влияние существенно ограничено теми возможностями, которые предоставляет ребенку уже достигнутый уровень биологического созревания организма. Психическое развитие в целом есть, вероятно, результат оптимального сочетания уровня биологической зрелости организма для формирования данной психической функции и соответствующих этому уровню, находящихся на его предельных возможностях влияний среды.

Для каждого психического свойства индивида есть свой специфический период, когда целесообразнее всего начинать его формирование. Он называется сенситивным периодом для формирования данного свойства.

Рассматривая социальную среду, культуру как предпосылку психического развития, ее разделяют обычно на макросреду, в которую включено все человечество, общество в целом с его историей и культурными достижениями, и микросреду, в которую входят лишь те люди, с которыми непосредственно контактирует человек, с их уровнем культурного развития.

Конечно ребенок не в состоянии расшифровать достижения человеческой культуры самостоятельно. Он делает это при постоянной помощи и руководстве со стороны взрослых - в процессе воспитания и обучения.

Обучение - это специально организованное обществом овладение ребенком социальным опытом, накопленными человечеством: знаниями о явлениях окружающего мира, системой научных понятий, представлений о предметах и способах их употребления, о способах действий и взаимодействий с окружающим миром предметов и людей, и т.д. Воспитание - это регулируемый обществом процесс формирования личности, формирование в человеке социально-желательных свойств и качеств личности, процесс усвоения основных норм поведения и форм регулирования своей активностью, нравственных и моральных правил, выработанных человечеством и принятых в конкретном обществе.

Признавая значение наследственности и утверждая определяющую роль социальной среды в психическом развитии ребенка, необходимо подчеркнуть, что ни среда, ни наследственность не могут оказать влияние на личность вне ее собственной активности. Лишь при реализации своей активности ребенок будет испытывать влияние окружающей среды, и лишь при этом условии проявятся особенности его наследственности. По существу, в активности ребенка обнаруживается и биологическое и социальное в их единстве.

Формы проявления активности детей отличаются большим многообразием: от примитивных подражательных действий с предметами до активности инициативной, творческой, созидательной. Наиболее значимыми сложными формами активности ребенка являются: поведение, деятельность, общение и познавательная активность. Но в какой бы форме ни проявлялась активность ребенка, она необходима для познания окружающего мира, важна для его развития. В активности ребенок и проявляет себя, и развивается. Эффект развития будет зависеть от управления активностью со стороны взрослых.

Обучение и воспитание как раз и являются основными формами организации активности детей как целенаправленное воздействие социума, социальной среды. Именно взрослый через обучение и воспитание организует активность ребенка по самостоятельному овладению окружающей действительностью

Собственная активность ребенка и целенаправленное воздействие социума в виде обучения и воспитания являются ведущими факторами психического развития ребенка, определяя его направление и содержание.

Движущие силы психического развития.

Развитие - это процесс качественных изменений, это закономерный переход с одной качественной своеобразной ступени развития на другую. Однако возникает вопрос, что же именно определяет необходимость такого перехода, т.е. формирование новой качественной ступени развития. Те условия, которые делают необходимым качественные изменения в психике, требуют перехода на новый качественно иной уровень взаимодействия индивида со средой, получили название движущие силы психического развития.

Вопрос о движущих силах психического развития был поставлен только в советской психологии, в зарубежной психологии данной проблемы не возникало. Проблему движущих сил развития рассматривали в своих трудах ведущие советские психологи – Л.С.Выготский, А.Н.Леонтьев, С.Л.Рубинштейн, А.В. Запорожец и другие. В основе решения данной проблемы лежит анализ законов диалектики, сформулированных немецким философом Ф.Гегелем.

Основатель диалектического подхода в философии, немецкий философ Ф.Гегель (1770-1831) выделяет три основных закона развития, получившись дальнейшую разработку в трудах К.Маркса и Ф.Энгельса, но уже не с идеалистических, а с материалистических позиций:

1 закон диалектики - преобразование количественных накоплений в качественные новообразования (переход количества в качество);

2 закон диалектики - единство и борьба противоположностей (существование любого качества выявляется только в сравнении с его противоположностью: тьма не существует без света, влажность не существует без сухости и т.д.);

3 закон диалектики - отрицание отрицания (развитие идет не по прямой, а по спирали, где движение вперед связано с формированием качества, противоположного начальному – отрицание 1, а затем это качество само преобразуется в свою противоположность – отрицание 2).

Если первый и третий законы диалектики описывают динамику и направление развития, то второй закон отражает движущие силы этого развития. Именно единство и борьба противоположностей требуют перестройки в развивающемся явлении.

В онтогенезе психики человека можно выделить три типа противоположностей, выступающих в качестве движущих сил психического развития. Разрешение данных противоречий связано с возникновением в психике разнообразных новообразований.

1. Первый тип противоположностей – это противоречия между новыми потребностями и невозможностью их удовлетворения сложившимися формами и способа поведения. (Формула противоречия «хочу – не могу»).

Разрешение данного противоречия возможно в трех направлениях:

Первый путь разрешения данного противоречия - отказ от новой потребности, ее подавление, вытеснение в подсознание. Это может негативно отражаться на общем ходе развития, если только сама потребность не является социально неприемлемой или биологически негативной. Здесь основным новообразованием в психики являются механизмы сдерживания потребностей, проявляющихся в импульсивных действиях и негативных эмоциональных переживаниях, механизмы произвольного подавления («Раз я не могу, то не особенно и хочу» - переход «хочу» в «не хочу»).

Второй путь разрешения данного противоречия - это развитие новых форм поведения, активности, которая обеспечивает адекватное удовлетворение потребности. Здесь основным новообразованием является новая форма поведения, активности. Например, сформировавшийся у младенца под влиянием взрослого интерес к окружающему вещественному миру не может быть удовлетворен с помощью средств эмоционального общения – кризис 1 года жизни, и требует новой формы общения со взрослым и развития новых средств общения – речи (переход «не могу» в «могу»).

Третий путь разрешения данного противоречия - это формирование «замещающих» форм поведения, которые сами по себе не удовлетворяют потребности, но снимают психическую напряженность, связанную с ее неудовлетворенностью. По З.Фрейду, невозможность удовлетворения сексуальной потребности адекватными формами – сексуальным поведением, приводит к формированию различных замечающих форм поведения.

2. Второй тип противоположностей – это противоречия между требованиями и ожиданиями окружающей социальной среды, с одной стороны, и наличным уровнем развития психики ребенка, позволяющему ему соответствовать данным ожиданиям, с другой стороны. (Формула противоречия «должен – не могу»).

Разрешение данного противоречия возможно также в трех направлениях:

Первый путь разрешения данного противоречия - развитие таких форм активности, достижение такого уровня их совершенства, который бы соответствовал социальным ожиданиям. Здесь новообразованием являются социально-одобряемые и социально-ожидаемые формы поведения и та инструментальная сторона психики, которая обеспечивает ее приемлемый уровень. Например, кризис семи лет связан с формированием первой социальной обязанности ребенка – «учиться», но отсутствием учебной деятельности и недостаточностью развития познавательной сферы, обеспечивающей реализацию данной формы активности. Разрешением противоречия характеризуется формированием произвольности познавательной сферы и развитием основных свойств познавательных процессов (переход «не могу» в «могу»).

Второй путь разрешения данного противоречия - это снижение личностной значимости социальных ожиданий. Здесь новообразованием становится формирование позиции «нигилизма» и «нонконформизма», формирование механизмов контрсуггестии – противостояния социальному внушению. Однако данный путь разрешения противоречия может привести к обострению социальный конфликтов и закончиться отторжением от социальной группы (переход «должен» в «не должен»).

Третий путь разрешения данного противоречия - это формирование «имитационных» форм поведения и деятельности, которые связаны с демонстрацией стремления соответствовать социальным ожиданиям, с изображением усилий, прилагаемых для данного соответствия, но не приводящих к формированию требуемых свойств и качеств.

3. Третий тип противоположностей – это противоречия между реальными и потенциальными возможностями личности, с одной стороны, и социальными условиями, не позволяющими им реализовываться в достаточно полной мере, с другой стороны(Формула противоречия – «хочу и могу, но - нельзя, невозможно»). Чаще всего данное противоречие связано с проблемой самоактуализации личности в реальных социальных уловиях.

Данное противоречие может быть также разрешено в трех направлениях:

Первый путь разрешения данного противоречия - это отказ от проявления, полной реализации своих способностей, что негативно отражается на общем психическом развитии и может даже приводить к невротизации личности вследствие фрустрации актуализированных значимых потребностей. Новообразования – переоценка ценностных ориентация, снижение уровня притязаний и самооценки личности (переход «хочу и могу» в «не хочу и не могу»).

Второй путь разрешения данного противоречия - это поиск таких социальных условий, которые стали бы комплиментарными для наличных и потенциальных способностей человека, этот поиск может длиться бесконечно и может не привести к желаемому результату. Характеризуется сменой социального окружения – семьи, друзей, места проживания и работы, проч. Новообразования – обостренная неудовлетворенность социальным окружением, обострение социальных межличностных конфликтов, манипуляционные способы воздействия на социальное окружение («нельзя, но если я хочу – то можно», «невозможно, но я хочу – поэтому требую мне предоставить все необходимое, создать условия …»).

Третий путь разрешения данного противоречия - это преобразование социальных условий, их изменение для большей комплиментарности возможностям человека. Это наиболее оптимальное разрешение данного противоречия. Однако он продуктивен только в случае, если при этом не подавляются потенциальные и реальные возможности других людей, иначе внутренний конфликт преобразуется во внешний, и конечная цель не будет достигнута. Кроме того, данный путь связан с отсроченным разрешением противоречия, так как требует вначале усилий для формирования таких качеств, которые позволят личности преобразовывать социальную среду, делая ее комплиментарной своим способностям и возможностям. Новообразования – развитие воли, развитие возможностей и способностей для целенаправленного изменения социальный условий, делая их комплиментарными стремлениям и желаниям личности.

Почему происходит тот или иной выбор пути разрешения противоречия еще не совсем ясно, но возможно оно связано с социальной ситуацией развития, т.е. тем как сочетается внешнее социальное воздействие с наличным состоянием и потенциальными возможностями психики конкретного человека.

Все эти взгляды и концепции позволяют подойти к решению основной теоретической проблемы психотехнологии – понять законы, закономерности и механизмы формирования, развития и функционирования психики человека с целью разработки методов, приемов, способов ее преобразования.

Лекция 2. МЕТОД РУНГЕ-КУТТА РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Этот метод позволяет строить схемы различного порядка точности. Схемы Рунге-Кутта очень удобны как для расчетов на ЭВМ, так и для «ручных» расчетов. Сейчас они являются наиболее употребительными в практических вычислениях.

Построим семейство схем второго порядка точности и на его примере разберем основные идеи метода. В качестве исходного выражения возьмем ряд Тейлора

(20.1)

удерживая в нем член О(h²), порядок которого равен предполагаемому порядку точности схемы. Чтобы избежать дифференцирования функции f(x,u), заменим производную конечной разностью. Так как первая производная то вторая производная будет равна

Соответственно выбирая значения после такой замены второй член в (20.1) можно формально объединить с первым, приведя (20.1) к следующему виду

(20.2)

(поскольку эта схема для расчета приближенного решения, мы снова употребляем обозначение у_n вместо u_n). Здесь - параметры, значения которых следует определить. Рассматривая правую часть (20.2) как функцию от h, разложим ее в ряд по степеням шага h

.

Выберем параметры так, чтобы это разложение было возможно более близко к ряду Тейлора (20.1). Очевидно, можно правильно передать два первых члена формулы Тейлора, если положить

Действительно значит при

получаем второе слагаемое, а так как , то при получаем f_x и для получения ff_u надо положить .

Для определения четырех параметров получено только три уравнения, так что один параметр остается свободным. Выражая через остальные параметры и подставляя их в (20.2), получим однопараметрическое семейство двучленных схем Рунге-Кутта

(20.3)

Выбрать параметр так, чтобы схема (20.3) правильно передавала и третий член формулы Тейлора (20.1), невозможно.

Погрешность этой схемы можно исследовать так же, как было сделано для схемы ломаных. При этом доказывается следующий результат. Если f(x,u) непрерывна и ограничена вместе со своими вторыми производными, то решение, полученное по схеме (20.3), равномерно сходится к точному решению с погрешностью О(max h²_n), т.е. двучленная схема Рунге-Кутта имеет второй порядок точности.

Формула (20.3) имеет неплохую точность и нередко используется в численных расчетах. При этом обычно полагают либо =1, либо = ½.

В первом случае получается схема особенно простого вида

(20.4)

Ее смысл поясняется на рис. 20.1. Сначала делаем половинный шаг по схеме ломаных, находя Затем в найденной точке определяем наклон интегральной кривой По этому наклону определяем приращение функции на целом шаге

Геометрическая интерпретация второго случая изображена на рис. 20.2

Здесь мы сначала грубо вычисляем по схеме ломаных значение функции и наклон интегральной кривой в новой точке. Затем находим средний наклон на шаге h: и по нему уточняем значение у_n+1. Схемы такого типа называются «предиктор-корректор».

В таблице 20.1 приведен численный расчет по схеме (20.4) того же примера, который рассмотрен на прошлой лекции и приведен в таблице 19.1.

Таблица 20.1

Таблица 20.1 заполняется следующим образом:

пусть тогда

Из таблицы видно, что схема второго порядка точности дает существенно лучшие результаты, чем схема ломаных. Уже расчет на грубой сетке с h = 0,5 можно считать удовлетворительным.

Методом Рунге-Кутта можно строить схемы различного порядка точности. Например, схема ломаных есть схема Рунге-Кутта первого порядка точности. Наиболее употребительны схемы четвертого порядка точности, образующие семейство четырехчленных схем. Приведем без вывода ту из них, которая записана в большинстве стандартных программ ЭВМ

(20.5)

Схемы Рунге-Кутта имеют ряд важных достоинств:

а) все они (кроме схемы ломаных) имеют хорошую точность;

б) они являются явными, т.е. значение у_n+1 вычисляется по ранее найденным значениям за определенное число действий по определенным формулам;

в) все схемы допускают расчет с переменным шагом, значит нетрудно уменьшить шаг там, где функция быстро меняется, и увеличить его в обратном случае;

г) для начала расчета достаточно выбрать сетку х_n и задать значение .

Далее вычисления идут по одним и тем же формулам. Все эти свойства схем очень ценны при расчетах на ЭВМ.

На случай систем уравнений схемы Рунге-Кутта легко переносятся, как во всех других методах, при помощи формальной замены y, f(x,y) на Y, F(x,y). Нетрудно произвести покомпонентную запись этих схем. Например, для системы двух уравнений

Обозначая через у, z приближенные значения функций u(x), (x), запишем аналогичную (20.5) четырехчленную схему следующим образом

где

Погрешности (или остаточные члены) различных схем Рунге-Кутта связаны с максимумами модулей соответствующих производных f(x,u) громоздкими выражениями. Например, для схемы Эйлера формула выглядит следующим образом (мы ее c Вами выводили)

. 20.6)

Наглядное представление о величине погрешностей можно получить в одном частном случае, когда f = f (x). При этом дифференциальное уравнение сводится к квадратуре, а все схемы численного интегрирования переходят в квадратурные формулы. Действительно, схема переходит в формулу средних. В самом деле, имеем уравнение , интегрируем его в пределах от x_n от x_n+1 получаем: . Это формула средних.

Схема переходит в формулу трапеций. Схема Рунге-Кутта четвертого порядка переходит в формулу Симпсона с шагом h/2.

Напомним, что мажоранты остаточных членов этих формул на равномерной сетке с указанными шагами соответственно равны

(20.7)

Численные коэффициенты в остаточных членах (20.7) малы; это является одной из причин хорошей точности схем Рунге-Кутта.

Какими из формул Руте-Кутта целесообразно пользоваться в каждом конкретном случае и как выбирать шаг сетки?

Если правая часть дифференциального уравнения непрерывна и ограничена вместе со своими четвертыми производными (и эти производные не слишком велики), то хорошие результаты дает схема четвертого порядка - благодаря очень малому коэффициенту в остаточном члене и быстрому возрастанию точности при уменьшении шага. Если же правая часть не имеет указанных производных, то предельный порядок точности этой схемы не может реализоваться. Тогда не худшие (хотя, по-видимому, и не лучшие) результаты дают схемы меньшего порядка точности, равного порядку имеющихся производных; например, для двукратно непрерывно дифференцируемых правых частей – схемы второго порядка точности.

Шаг сетки следует выбирать настолько малым, чтобы обеспечить требуемую точность расчета; других ограничивающих шаг условий в методе Рунге-Кутта нет. Но выражения остаточных членов типа (20.6) слишком громоздки; поэтому априорными оценками точности для выбора шага в практических расчетах не пользуются. Удобнее делать расчеты со сгущением сетки, давая апостериорную оценку точности.

Встречаются важные задачи, в которых функции являются достаточно гладкими, но настолько быстро меняющимися, что схемы Рунге-Кутта как низкого, так и высокого порядка точности требуют неприемлемо малого шага для получения удовлетворительного результата. Такие задачи требуют использования (а нередко – разработки) специальных методов, ориентированных на данный узкий класс задач.

Дата добавления: 2014-07-19; просмотров: 631; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!