Компоненты связности

Если топологическое пространство не является связным, то его можно разложить на связные куски, которые и называются компонентами связности.

Теорема 3. Пусть в пространстве для некоторого нумерующего множества дано семейство связных подпространств, пересечение которых не пусто. Тогда подпространство связно.

Доказательство. Предположим, что подпространство несвязно. Тогда существуют такие непустые открытые в множества и , что и . По условию, найдется хоть одна точка . Пусть . Рассмотрим произвольно точку . Поскольку , найдется номер со свойством . Множества и непустые и открытые в , причем и . Мы пришли к противоречию со связностью пространства . Таким образом само пространство связно. Теорема доказана.

Пример 7. Рассмотрим пространство с топологией, порожденной метрикой (§1, пример 8). Тогда полуинтервал , интервал , замкнутый луч и открытый луч являются его связными подпространствами. Проверим, например, первое утверждение. Для каждого отрезок является связным подпространством, содержим точку . Объединение таких отрезков по всем даст полуинтервал и в силу теоремы 3 этот полуинтервал связен. Аналогично можно доказать связность замкнутого луча. Далее, интервал можно представить в виде объединения двух полуинтервалов, а открытый луч – в виде объединения полуинтервала и замкнутого луча, имеющих общий конец, откуда следует их связность.

Теорема 4. Замыкание связного подпространства связно.

Доказательство. Пусть в пространстве дано связное подпространство . Предположим, что замыкание несвязно. Тогда существуют такие непустые открытые в множества и , что и . Рассмотрим произвольно точки и . По определению индуцированной топологии, найдутся окрестности и точек и в пространстве со свойством и . Поскольку , то эти точки являются точками прикосновения множества , следовательно любые их окрестности имеют со множеством непустое пересечение. Таким образом, множества и непустые и открытые в , причем и . Мы пришли к противоречию со связностью пространства . Значит само пространство связно. Теорема доказана.

Определение 3. Для каждой точки объединение всех связных подпространств пространства , содержащих точку , называется компонентой связности этой точки.

Из теоремы 3 следует, что подпространство связно, а в силу теоремы 4 замыкание также связно. По определению компоненты связности имеем , откуда , значит множество замкнуто в . Пусть и . Тогда подпространство связно, поэтому и . Таким образом, . Обратно, если , то . Доказана следующая теорема:

Теорема 5. Всякое топологическое пространство можно представить в виде объединения компонент связности замкнутых и не пересекающихся.

Можно доказать, что свойство пространств состоять из определенного числа компонент связности, понимаемого в общем случае как мощность множества, является топологическим. В случае конечного числа компонент связности, каждая из них является одновременно открытым и замкнутым множеством.

Пример 8. Рассмотрим пространство действительных чисел с топологией, порожденной метрикой (§1, пример 8) и докажем, что в его подпространстве рациональных чисел компоненты связности являются одноточечными множествами. Предположим, что в пространстве , топология которого индуцирована из , найдется связное подпространство и две различные точки , причем . Фиксируем такое иррациональное число , что и рассмотрим два открытых луча и . Множества и непустые и открытые в , причем и . Мы пришли к противоречию со связностью пространства . Таким образом, пространство представимо виде объединения счетного числа одноточечных компонент связности, каждая из которых является замкнутым, но не открытым множеством.

Хорошо известно, что многие фундаментальные факты математического анализа основаны на одном замечательном свойстве отрезка, известном под названием леммы Гейне – Бореля – Лебега и заключающемся в том, что из любого покрытия отрезка открытыми интервалами можно выбрать конечное подпокрытие. По этой причине оказалось естественным выделить класс топологических пространств, обладающих аналогичным свойством, что и привело к одному из основных понятий топологии – понятию компактного пространства.

Пусть дано топологическое пространство .

1. Понятие компактного топологического пространства.

Определение 1. Покрытием пространства называется такое семейство его подмножеств, объединение которого совпадает с . Покрытие называется открытым, если оно состоит из открытых в множеств. Подпокрытием покрытия называется такое его подсемейство , которое само является покрытием пространства .

Определение 2. Пространство называется компактным, если любое его открытое покрытие имеет конечное подпокрытие.

Пример 1. Бесконечное множество с антидискретной топологией является ткомпакиным, а с дискретной – не является компактным пространством.

Пример 2. Бесконечное множество , на котором задана топология Зариского (§1, пример 3) является компактным пространством. Действительно, рассмотрим произвольное открытое покрытие пространства и множество . Тогда множество является конечным: . Обозначим через такой элемент покрытия , что . Тогда есть конечное подпокрытие покрытия .

Пример 3. Рассмотрим пространство с топологией, порожденной метрикой (§1, пример 8). Тогда полуинтервал , интервал , замкнутый луч и открытый луч не являются, а отрезок – является его компактными подпространствами. Действительно, открытое покрытие полуинтервала не имеет конечного подпокрытия. Аналогично можно рассуждать в случае интервала, открытого или замкнутого луча. Докажем, что пространство , топология которого индуцируется из , является компактным. Рассмотрим произвольное открытое покрытие пространства . Точку , отличную от точки , назовем отмеченной, если отрезок можно покрыть конечным числом множеств из . То открытое множество из , которому принадлежит точка , содержит ее окрестность, имеющую в индуцированной топологии имеет вид , при условии, что , поэтому. . Отсюда следует, что множество всех отмеченных точек непустое. Это множество ограничено сверху точками , для которых . Таким образом, множество имеет точную верхнюю грань . Предположим, что . Поскольку , то найдется такое множество , что . Тогда окрестность точки содержит ее окрестность, которая имеет вид , при условии, что . По определению точной верхней грани , следовательно отрезок можно покрыть конечным числом элементов из . Семейство образует конечное покрытие отрезка множествами из , так что . Последнее соотношение противоречит определению точки . Тем самым доказано, что . Из определения отмеченной точки теперь вытекает существование конечного подпокрытия у покрытия , а значит и компактность отрезка .

Теорема 1. Непрерывный образ компактного топологического пространства является компактным топологическим пространством.

Доказательство. Пусть задано непрерывное сюръективное отображение компактного топологического пространства на некоторое топологическое пространство . Рассмотрим произвольное открытое покрытие пространства . Тогда семейство образует открытое покрытие пространства . Поскольку пространство компактно, покрытие имеет конечное подпокрытие . Тогда семейство есть конечное подпокрытие покрытия . Таким образом, пространство компактно. Теорема доказана.

Из этой теоремы следует, что компактность является топологическим свойством.

Пример 4. Пусть даны пространство с топологией, порожденной метрикой, и окружность . Тогда пространство , топология которого индуцирована из , является компактным как образ отрезка при непрерывном отображении, заданном формулами , , .

2. Свойства компактных топологических пространств.

Теорема 2. Всякое замкнутое множество , лежащее в компактном топологическом пространстве , есть компактное топологическое пространство.

Доказательство. Рассмотрим произвольное открытое покрытие пространства . Для любого номера найдется такое открытое в множество , что . Поскольку множество замкнуто, то множество открыто в . Семейство и множество образуют открытое покрытие пространства . В силу компактности пространства , это покрытие имеет конечное подпокрытие для некоторых номеров . Тогда семейство есть конечное подпокрытие покрытия . Таким образом, пространство компактно. Теорема доказана.

Теорема 4. Всякое бесконечное подмножество компактного пространства имеет в хоть одну предельную точку.

Доказательство. Предположим противное, а именно, что производное множество пусто. Тогда , следовательно множество замкнуто, а множество открыто в . Далее, для любой точки найдется в такая окрестность , что . Семейство и множество образуют открытое покрытие пространства , которое не имеет конечного подпокрытия. Мы получили противоречие с компактностью пространства , которое и завершает доказательство теоремы.

3. Компактность в метрическом пространстве.

Пусть на множестве заданы метрика и порожденная этой метрикой топология . Тогда можно рассматривать метрическое пространство и топологическое пространство . Ниже мы получим признак компактности пространства в терминах сходящихся последовательностей.

Определение 4. Метрическое пространство называется секвенциально компактным, если каждая последовательность точек в имеет сходящуюся подпоследовательность.

Теорема 5. Пространство является секвенциально компактным тогда и только тогда, когда каждое бесконечное подмножество множества имеет в предельную точку.

Доказательство. Необходимость. Пусть пространство является секвенциально компактным и дано бесконечное множество . Тогда множество содержит счетное подмножество, элементы которого можно занумеровать в виде последовательности . Эта последовательность имеет подпоследовательность, сходящуюся к некоторой точке , которая и является предельной точкой множества .

Достаточность. Пусть всякое бесконечное подмножество множества имеет в предельную точку и дана последовательность точек множества . Если лишь конечное множество этих точек являются попарно различными, то данная последовательность имеет сходящуюся подпоследовательность из совпадающих между собой точек. В противном случае подмножество множества бесконечно, а значит имеет предельную точку . В силу теоремы 3 из §2 эта точка является пределом некоторой подпоследовательности данной последовательности. Теорема доказана.

Определение 5. Число называется числом Лебега открытого покрытия метрического пространства , если окрестность каждой точки этого пространства содержится в некотором множестве из .

Теорема 6. Всякое открытое покрытие секвенциально компактного пространства имеет число Лебега.

Доказательство. Предположим, что покрытие не имеет числа Лебега. Тогда для фиксированной последовательности положительных действительных чисел, сходящейся к нулю, найдется такая последовательность точек множества , что для всех окрестность точки не содержится ни в одном множестве из . В силу секвннциальной компактности пространства , можно выбрать подпоследовательность , сходящуюся к точке . Найдется множество , содержащее эту точку, а значит для некоторого будет . Возьмем настолько большой номер , что для всех номеров одновременно выполняются неравенства и . Для любой точки имеем , откуда , следовательно, . Таким образом, . Это включение противоречит тому, что множество не содержится ни в одном множестве из . Теорема доказана.

Для метрического пространства компактность и секвенциальная компактность равносильны, а именно справедлива теорема:

Теорема 7. Метрическое пространство копактно тогда и только тогда, когда оно секвенциально компактно.

Доказательство. Необходимость следует из теорем 4 и 5.

Достаточность. Пусть пространство секвенциально компактно, но существует его открытое покрытие , не имеющее конечного подпокрытия. Обозначим через число Лебега этого покрытия и рассмотрим еще одно покрытие пространства . Тогда каждое множество из содержится в некотором множестве из , следовательно покрытие также не имеет конечного подпокрытия. Фиксируем точку и для каждого номера найдем точку . Тем самым по индукции построена последовательность точек множества со свойством для любых . В силу секвенциальной компактности пространства , можно выбрать подпоследовательность , сходящуюся к точке . Существует такой номер , что для всех номеров будет , следовательно . Мы пришли к противоречию со свойством последовательности . Таким образом, всякое открытое покрытие пространства имеет конечное подпокрытие и само пространство компактно. Теорема доказана.

Из курса математического анализа известно, что всякое бесконечное ограниченное множество в пространстве имеет хоть одну предельную точку, поэтому в качестве следствия из доказанных теорем получаем признак компактности в пространстве :

Теорема 8. Подпространство пространства компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто и ограничено.

Заметим, что неограниченное подпространство не может быть компактным, поскольку из его покрытия семейством концентрических открытых шаров нельзя выделить конечного подпокрытия.

Хауздорфовость топологического пространства

Определение 3. Пространство называется отделимым (или хаусдорфовым), если у любых двух его различных точек существуют непересекающиеся окрестности.

Пример 5. Пусть есть метрическое пространство. Тогда топологическое пространство является отделимым. Действительно, если даны две различные точки , то обозначив , получим, что окрестности данных точек не пересекаются.

Пример 6. Пространство с дискретной топологией является, а с антидискретной – не является отделимым.

Пример 7. Пространство с топологией Зариского не является отделимым, поскольку любые два непустые открытые в нем множества имеют непустое пересечение (§1, пример 3).

Пример 8. Простое двоеточие является, а слипшееся и связное двоеточия не являются отделимыми пространствами. Пример 3 из §3 теперь показывает, что непрерывный образ отделимого пространства может не быть отделимым пространством.

Теорема 3. Пусть есть компактное подпространство отделимого пространства . Тогда множество замкнуто в .

Доказательство. Рассмотрим произвольно точку . Поскольку пространство отделимо, для любой точки найдутся непересекающиеся окрестности и точек и соответственно. Семейство образует открытое покрытие пространства . В силу компактности пространства , это покрытие имеет конечное подпокрытие . Ясно, что множества и открыты в и не пересекаются. В частности, окрестность точки не пересекается с множеством . Таким образом, множество открыто, а само множество замкнуто в . Теорема доказана.

Дата добавления: 2014-08-04; просмотров: 495; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!