Лекция 8. Связность, линейная связность, компактность и отделимость топологических пространств

Из теоремы Польке – Шварца следует, что изображением тетраэдра при параллельном проектировании может служить произвольный четырехугольник (в частности и не выпуклый).

Изображением параллелепипеда, в том числе прямоугольного и куба, является фигура, состоящая из трех пар параллелепипедов, полученных друг из друга параллельным переносом.

Построение изображения призмы. Изображением n – угольной призмы служит фигура, состоящая из двух равных n – угольников – изображений оснований призмы, и n параллелограммов – изображений ее боковых граней. При этом построение изображений оснований подчиняется правилу построения изображения n – угольника.

Построение пирамиды. Основание n – угольной пирамиды изображается n - угольником, построение которого подчиняется правилу построения изображения n – угольника. Вершина пирамиды изображается точкой, а боковые грани – треугольниками.

При этом из теоремы Польке – Шварца следует, что в качестве изображения вершины пирамиды и трех вершин основания можно взять произвольный четырехугольник на плоскости.

Лекция 8. Связность, линейная связность, компактность и отделимость топологических пространств.

Литература: [2] § 4, 5.

Определение 1. Пространство называется несвязным, если его можно представить в виде объединения двух непустых непересекающихся открытых множеств. В противном случае пространство называется связным.

Пример 1. Пространство с дискретной топологией несвязно, а пространство с антидискретной топологией связно.

Пример 2. Пространство с топологией Зариского связно, поскольку любые два непустые открытые в нем множества имеют непустое пересечение (§1, пример 3).

Пример 3. Рассмотрим пространство с топологией, порожденной метрикой (§1, пример 8) и докажем, что отрезок является его связным подпространством. Предположим, что пространство , топология которого индуцируется из , является несвязным. Тогда найдутся такие непустые открытые в множества и , что и . Пусть . Рассмотрим множество . Окрестность точки содержит ее окрестность, которая в индуцированной топологии имеет вид , при условии, что , поэтому . Отсюда следует, что множество непустое. Это множество ограничено сверху точками , для которых . Таким образом, множество имеет точную верхнюю грань , причем . Поскольку , одно из множеств или является окрестностью точки , а значит содержит ее окрестность, которая имеет вид , при условии, что . Если , то , следовательно , что противоречит определению точки . Если , то , следовательно на промежутке нет точек множества и число , которое меньше , ограничивает множество сверху, что вновь определению точки . Таким образом, , чего не может быть. В итоге мы получили противоречие, которое показывает ложность предположения о несвязности отрезка .

Теорема 1. Непрерывный образ связного топологического пространства является связным топологическим пространством.

Доказательство. Пусть задано непрерывное сюръективное отображение связного топологического пространства на некоторое топологическое пространство . Предположим, что пространство несвязно. Тогда найдутся такие непустые открытые в множества и , что и . Множества и непустые, поскольку отображение сюръективно, и открытые в , поскольку отображение непрерывно. Кроме того, и . Отсюда следует, что пространство несвязно. Мы пришли к противоречию. Таким образом, пространство связно. Теорема доказана.

Из этой теоремы следует, что связность является топологическим свойством.

Пример 4. Пусть даны пространство с топологией, порожденной метрикой, и окружность . Тогда пространство , топология которого индуцирована из , является связным как образ отрезка при непрерывном отображении, заданном формулами , , .

Теорема 2. Пространство связно, если любые две его точки лежат в некотором связном подпространстве.

Доказательство. Предположим, что пространство несвязно. Тогда найдутся такие непустые открытые в множества и , что и . Рассмотрим произвольно две точки и . По условию утверждения, эти точки принадлежат некоторому связному подпространству пространства . Обозначим и . Множества и непустые и открытые в , причем и , что противоречит связности пространства . Таким образом, пространство связно. Теорема доказана.

Пример 5. Пусть даны пространство с топологией, порожденной метрикой (§1, пример 10), и выпуклое множество . Тогда пространство , топология которого индуцирована из , является связным, поскольку вместе с любыми двумя своими точками выпуклое множество содержит весь отрезок с концами в этих точках.

Определение 2. Топологическое пространство называется линейно связным, если для любых двух его точек найдется такое непрерывное отображение отрезка в пространство , что и . В этом случае образ отрезка называется путем, соединяющим точки .

Ясно, что путь является связным подпространством пространства . Из теоремы 2 следует, что всякое линейно связное пространство обязательно связно. Обратное не верно, как показывает следующий пример.

Пример 6. Пусть даны пространство с топологией, порожденной метрикой, и множества , , . Тогда пространство , топология которого индуцирована из , связно, но не линейно связно, поскольку точку множества нельзя соединить путем с точкой множества .

Дата добавления: 2014-08-04; просмотров: 1084; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!