Свойства параллельных проекций

Рассмотрим некоторые свойства параллельных проекций.

Точка в натуре проецируется в точку на плоскость проекций. Это свойство вытекает из правил построения в методе проекций.

Прямая в натуре, в общем случае, проецируется в прямую на плоскость проекций. Если прямая направлена вдоль проецирующего луча, то ее проекцией будет точка.

Для того, чтобы спроецировать прямую, необходимо взять все ее точки и каждую спроецировать на плоскость проекций. Множество полученных проекций точек будет представлять собой проекцию прямой.

Возьмем на прямой АВ (рис. 1.7) точки С¹, С² и С³ и спроецируем их на плоскость П_N параллельно некоторому заданному направлению. Образовавшееся множество лучей представляет собой плоскость, так как все лучи пересекают прямую АВ и остаются параллельными некоторому направлению.

Плоскость, образованная проецирующими лучами, называется проецирующей. Обозначим ее буквой Σ. При пересечении плоскостей Σ и П_N образуется прямая А_N B_N , которая является проекцией прямой АВ.

Инцидентность – взаимная принадлежность. Если точка лежит на прямой, то проекции точки лежат на проекциях прямой. Доказательство: пусть на прямой АВ (рис. 1.7) даны точки С¹, С² и С³. Проецирующие лучи, проходящие через эти точки, лежат в проецирующей плоскости Σ и пересекаются с проекцией прямой А_N B_N в точках , и , так как А_N B_N также лежит в плоскости Σ.

Эти три свойства относятся также и к центральной системе проецирования.

Деление отрезка в данном отношении. Если точка делит отрезок в некотором отношении, то проекция точки делит проекцию отрезка в том же отношении. Доказательство: пусть точка С¹ (рис. 1.7) делит отрезок АВ в отношении . Из рисунка видно, что прямая АВ и ее проекция А_N B_N лежат в одной проецирующей плоскости Σ и пересекаются.

Проецирующие лучи АА_N, С¹С и ВВ_N параллельны. Известно, что параллельные прямые отсекают на пересекающихся прямых пропорциональные части, следовательно .

Проекции параллельных прямых.Если прямые в пространстве параллельны, то их проекции также параллельны (рис. 1.8). Доказательство: прямые АВ и CD проецируются с помощью проецирующих плоскостей Σ и Т, но Σ║Т, т. к. АВ║CD по условию и АА_N║СС_N - по построению. Известно, что если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то образуются параллельные прямые. Здесь две параллельные плоскости Σ и Т пересекаются плоскостью проекций П_N и образуются параллельные прямые (А_NВ_N║C_ND_N).

Проекции геометрических фигур, параллельных плоскости проекций.Если данная геометрическая фигура - прямая, кривая линия или плоская фигура (треугольник, многоугольник, эллипс, окружность и т. п.) лежит в плоскости, параллельной плоскости проекций, то она проецируется на плоскость проекций в натуральную величину. Доказательство: дано Σ║П_N и АВ Σ (рис. 1.9). Требуется доказать, что АВ║А_NВ_N и АВ=А_NВ_N. Так как Σ║П_N , то отрезки АА_N и ВВ_N равны и параллельны. Следовательно, четырехугольник АВВ_NА_N является параллелограммом и АВ║А_NВ_N, АВ=А_NВ_N.

Так же доказывается теорема относительно любой плоской кривой и любой плоской фигуры.

Частный случай проецирования прямого линейного угла. Если плоскость угла не параллельна плоскости проекций, то в общем случае угол проецируется с искажением.

В частном случае для ортогонального проецирования имеет место следующее: если одна сторона прямого линейного угла параллельна какой-либо плоскости проекций, то на эту плоскость прямой угол проецируется в натуральную величину (рис. 1.10). При этом плоскость угла не параллельна плоскости проекций. Доказательство: дано АВ ВС; ВС║П_N; АВ╫П_N. Требуется доказать, что В_NС_N А_NВ_N.

Пусть АВ проецируется с помощью плоскости Σ, а ВС - с помощью плоскости Т, тогда:

1) ВС Σ, так как ВС АВ по условию и ВС ВВ_N по построению;

2) В_NС_N Σ, так как В_NС_N║ВС и ВС Σ;

3) В_NС_N А_NВ_N, так как если прямая перпендикулярна к плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости.

1.2.5. Проецирующие геометрические фигуры. Это геометрические фигуры, образованные проецирующими лучами. Проецирующими геометрическими фигурами могут быть:

- прямые - проецируют точки;

- плоскости - проецируют прямые линии и плоские фигуры;

- цилиндрические поверхности в параллельной системе проецирования и конические поверхности в центральной системе проецирования - проецируют пространственные кривые линии и пространственные фигуры.

Основное свойство проецирующей геометрической фигуры заключается в том, что точки, прямые или кривые линии, плоские и пространственные фигуры, расположенные на проецирующей геометрической фигуре, проецируются на линию пересечения этой фигуры с плоскостью проекций. Эта линия называется следом данной проецирующей геометрической фигуры или ее главной проекцией.

На рис. 1.11 показаны проецирующие геометрические фигуры в ортогональной системе проецирования: проецирующая прямая а, проецирующая плоскость Σ и проецирующая цилиндрическая поверхность Ф.

Прямая а, плоскость Σ и образующие цилиндрической поверхности Ф перпендикулярны плоскости проекций П_N . Их главные проекции а_N , Σ_N и Ф_N включают в себя проекции всех точек данной проецирующей геометрической фигуры.

1.2.6. Дополнения однокартинного чертежа. Ранее было показано, что одна проекция точки не определяет ее положения в пространстве.

Для того, чтобы чертеж был полным и обратимым, т.е. для того, чтобы по чертежу можно было представить положение точки в пространстве, применяются разные способы.

Способ числовых отметок. Около проекции точки ставится число, выражающее в некоторых линейных единицах расстояние данной точки от плоскости проекций.

На рис. 1.12 даны проекции различных геометрических фигур с числовыми отметками.

Около проекции точки А стоит цифра 20. Это означает, что точка А отстоит от плоскости проекций на расстоянии 20 линейных единиц.

Концы отрезка ВС отстоят от плоскости на расстояниях 15 и 30, вершины треугольника DEF - на расстояниях соответственно 0, 10 и 25.

Кривая поверхность задана кривыми линиями, принадлежащими поверхности и параллельными плоскости проекций (горизонталями, если плоскость П_N горизонтальна). Около каждой горизонтали стоит число, выражающее ее расстояние от плоскости П_N.

С помощью горизонталей изображается рельеф земной поверхности на топографических картах и сложные кривые поверхности, в том числе поверхности манекена и обувной колодки.

Способ применения двух плоскостей проекций. Точка проецируется на две плоскости проекций П₁ и П₂ (рис. 1.13). При ортогональном проецировании принято располагать плоскости проекций перпендикулярно друг другу (П₁ П₂).

Проекция точки на каждой плоскости проекций обозначается той же буквой, что и сама точка, но с индексом данной плоскости проекций. Так, проекция точки А на плоскость П₁ обозначается А₁.

Линия пересечения плоскостей проекций обозначается буквой х, около которой ставятся индексы плоскостей, линией пересечения которых она является, т.е. х₁₂.

Вторая плоскость проекций П₂ является дополнением однокартинного чертежа на П₁. Если даны проекции точек А₁ и А₂ на П₁ и П₂, то всегда можно определить положение точки в пространстве на пересечении перпендикуляров, восстановленных к плоскостям проекций из этих точек.

Таким образом, проекции точки на две взаимноперпендикулярные плоскости проекций дают полное представление о положении точки в пространстве. Способ дополнения однокартинного чертежа с помощью второй плоскости проекций в настоящее время принят в технике как основной.

Дата добавления: 2014-09-26; просмотров: 680; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!