Моделирование поведения систем с разной организацией регулирования

Рассмотрим пример. Пусть заданы следующие значения параметров системы регулирования: Y =3000; S₀ =30; R = - 0,02; X=100. В некоторый момент времени оказалось, что из-за непредусмотренного изменения параметра X выходная величина стала равной Y₀ = 3200, превысив нормативное значение на DY₀ =3200 – 3000 =200.Из (7) следует, что входное воздействие стало равным X_t =3200 /30= 106,6.

Восстановление заданного значения выходной величины в системе регулирования будет происходить следующим образом. Вначале регулятор, получив по обратной связи значение отклонения выходной величины DY₀=200, определит по (2) для исполнительного механизма величину необходимого изменения входного воздействия DX₁ = - 0,02×200 = - 4.

После этого по прямой связи будет осуществлено преобразование изменения входного воздействия в выходную величину объекта (3): DY₁= 30×(-4) = - 120.Для t =2 получим: DX₂= - 0,02×(-120)=2,4; DY₂=30×2,4= 72.

Обратная связь может быть отрицательной или положительной.

В регуляторе с отрицательной обратной связью коэффициент регулирования R имеет отрицательное значение. Поэтому знак отклонения выходной величины меняется на знак, противоположный ему. При положительной обратной связи знак отклонения не меняется, так как R>0.

Рассмотренная упрощенная теория автоматического регулирования позволяет спрогнозировать, как будет осуществляться процесс восстановления нормативного значения выходной величины при возникновении отклонений, т.е. каким будет поведение системы регулирования. Формулы расчета показателей динамики процесса регулирования приведены в табл.2.

Таблица 2

Формулы расчета показателей динамики процесса

ЗАДАНИЕ 2

Таблица 3

Данные для определения динамики процесса регулировния

Таблица 4

Результаты расчета показателей динамики процесса

Порядок расчета параметров

Шаг 1. Определить значения коэффициента преобразования в системе регулирования S_i = S₀ × R_i .Эти значения охватывают все виды процессов регулирования: колебательные и монотонные, ликвидирующие отклонения (сходимые процессы) и не ликвидирующие отклонения (несходимые).

Шаг2. Расчет начального отклонения выходной величины: DY₀ =Y₀ –Y.

Шаг 3. Определить для каждого заданного значения S_i набор ожидаемых отклонений DY_t выходной величины для трех последующих моментов времени: DY_t+1 = S × DY_t. Здесь для расчета отклонения DY_t+1 последующий (t+1)-й момент времени надо использовать значение отклонения DY_t в предыдущий, t-й момент времени.

Шаг 4. Определить абсолютные значения выходной величины по формуле Y_t+1 =Y + DY_{t +1} , где Y – заданное значение выходной величины.

ЗАДАНИЕ 3

Таблица 5

Характеристика динамики процесса и ее обоснование

Характеристика ожидаемой динамики процессов регулирования определяется следующим образом:

По знаку значения R определяется вид процесса:

- если R< 0, то процесс изменения отклонения выходной величины -колебательный относительно заданного значения;

- если R³ 0, то процесс изменения отклонения выходной величины от заданного значения – монотонный, т.е. выходная величина постепенно увеличивается или уменьшается.

По величине S без учета знака определяется результат процесса:

- при │S│< 1 отклонения будут стремиться к нулю (сходящийся процесс);

- при │S│³ 1 отклонения не уменьшаются (не сходящийся процесс).

В табл.5 коэффициенты имеется 4 значения R_{i ,} S₀. Необходимо рассчитать значения коэффициентов преобразованияв объекте _i и в системе регулирования S_i .

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Что является причиной отклонений выходной величины от нормы?

2. Какова цель регулятора? Как происходит автоматическое регулирование?

3. Почему происходит запаздывание выработки регулирующего воздействия?
4. Что означают слова линейная теория? Перечислить параметры системы регулирования.

5. Прямая и обратная связь в системе регулирования. Положительная и отрицательная обратные связи. На что это влияет?

6. Требование к проектированию регулятора. Что оно означает?

7. Как влияет величина коэффициента регулирования R на продолжительность переходного процесса?

Практическое занятие 2

Моделирование и организация перевода систем с автоматическим регулированием в заданное состояние

На занятии 1 была рассмотрена организация системы, в которой регулирующая подсистема обеспечивает поддержание заданного значения выходной величины объекта. В такой системе коэффициент регулирования должен удовлетворять ограничению: │R│< 1 / S₀. При этом возможны 2 режима работы системы регулирования – колебательный и монотонный. Проведенные студентами расчеты показали также, что при значениях │R│≥ 1 / S₀ система регулирования увеличивает отклонения выходной величины от нормы и может разрушить объект.

Потребность в автоматическом регулировании возникает и для ситуации, когда надо обеспечить перевод объекта в заданное состояние из состояния покоя. Для этого нужен регулятор с положительной обратной связью, т.е. он должен иметь коэффициент регулирования больше нуля, чтобы постепенно увеличивать входное воздействие на объект и значение его выходной величины.

1. Моделирование автоматического запуска турбины

Пусть Y =3000; Y₀ = 0; S₀ =30; R = 0,01.

Тогда DY₀ = - 3000, DY₁ = 0,01×30×(-3000)= -900, DY₂ = 0,3×(-900)=-270, DY₃ =0,3×(-270)=-81. В результате Y₁=2100, Y₂=2730, Y₃ =2919.

При R=0,02 получим DY₁=0,02×30×(-3000)= -1800, DY₂ =0,6×(-1800)=
-1080, DY₃ =0,6×(-1080)=-648. В результате Y₁=1200, Y₂=1920, Y₃ =2352.

В этом примере регулирующее воздействие тоже постепенно увеличивается до X=100. После этого регулятор будет поддерживать заданный режим работы турбины, монотонно изменяя возникающие отклонения. Требуемая продолжительность запуска турбины определяется техническими условиями. Чем она должна быть меньше, тем меньше должна быть величина коэффициента регулирования, и наоборот.

2. Моделирование роста национального продукта за счет потребления

2.1. Теория роста национального продукта за счет потребления

Здесь национальный продукт определяется как ценность всех конечных товаров и услуг в текущих рыночных ценах, которые произведены в течение года с помощью производственных факторов, принадлежащих гражданам данной страны. Национальный продукт больше внутреннего продукта на сумму чистых доходов, получаемых из-за границы.

Американский экономист Джон Мейнард Кейнс (1883-1946) рассматривал национальный продукт Y как сумму двух слагаемых: выплат X, предназначенных на инвестиции, и выплат DX, предназначенных на потребление. Полагая, что DX является линейной функцией от Y с коэффициентом R, определяющим выделяемую в национальном доходе долю потребления DX = R×Y , он получил уравнение: Y = X+DX = X + R×Y, из которого он вывел следующую формулу:

Y = X × 1 / (1 – R). (1)

Она позволяет определить ожидаемую предельную величину национального продукта для заданных инвестиций X и заданного коэффициента R. Величина 1/(1- R), называемая мультипликатором Кейнса, определяет итоговый коэффициент преобразования инвестиций в национальный продукт. При увеличении коэффициента R мультипликатор увеличивается (из-за уменьшения знаменателя дроби), в результате чего предельная величина национального продукта Y возрастает.

Например, если R = 0,5, то итоговый коэффициент 1/(1- R) = 2. Отсюда следует, что предельная величина национального продукта будет в 2 раза больше объема вложенных внешних инвестиций. Из этого можно сделать вывод, что для увеличения национального продукта необходимо выделять больше средств на потребление, повышая зарплату, и одновременно необходимо создавать условия, при которых эти средства будут тратиться на получение услуг и приобретение товаров, производимых в своей стране.

Для понимания рассмотренного процесса надо учесть, что источником внешних инвестиций в каждом периоде является государство. Если бы это были частные вложения, следовало бы включить в рассмотрение ставку прибыли инвестора. Объектом регулирования является не отдельное предприятие и не отрасль, а экономика страны. Инвестиции тратятся на накопление и потребление.

Накопительная часть расходуется на приобретение основных средств, развитие инфраструктуры и т.п. Сюда не включена стоимость амортизации капитала. На приобретение товаров и услуг тратятся только средства, выделенные на потребление (личные накопления не учитываются). Отсюда следует, что общая стоимость проданных товаров и услуг в стране не может быть выше суммы потребления.

2.2. Моделирование роста национального продукта за счет потребления

Модель процесса формирования национального продукта можно представить в виде блок-схемы рис.1. Здесь объектом регулирования является макроэкономический процесс преобразования инвестиций X в национальный продукт Y_{t ,} который может рассматриваться как выходная величина системы регулирования. Роль регулятора играет подсистема потребления, которая преобразует часть национального продукта, определяемую коэффициентом потребления R, в дополнительные инвестиции.

В начальный период времени национальный продукт Y_t равен объему внешних инвестиций X, которыеинтерпретируют понятие внешнее входное воздействие. Предельная величина национального продукта Y соответствует заданному значению выходной величины. Разность между этим начальным значением национального продукта и его предельной величиной, определяемая по формуле D Y_t = Y_t – Y, интерпретирует начальное отклонение выходной величины DY₀.

Для определения отклонений национального продукта от его предельной величины в последующие моменты времени можно использовать следующую формулу:

DY_{t + 1} = R × DY_t . (2)

Она позволяет при заданном коэффициенте потребления R и известном отклонении DY_t в предыдущий, t–й момент времени, определить величину отклонения DY_t+1 национального дохода Y_t+1 от его предельной величины Y (2) в (t+1)–й момент времени. Так как R < 1, то это отклонение в каждый последующий момент времени будет уменьшаться.

В теории автоматического регулирования это следует из того, что в данном случае итоговый коэффициент преобразования в системе регулирования S = S₀×R меньше единицы. При этом будем считать, что S₀=1. Уменьшение отклонения DY_t+1 происходит монотонно. Модели процесса изменения отклонений национального продукта от его предельной величины являются частным случаем общих моделей теории автоматического регулирования, в которых для объекта регулирования используется коэффициент преобразования S₀ .

В рамках этой теории рассмотренный процесс рост можно интерпретировать как своего рода инвестиционный запуск формирования национального продукта до его предельной величины, зависящей от объема внешнего инвестирования и доли, выделяемой на потребление.

Пример. Пусть X=100 млрд. у.е., Y₀=0, S₀=1, R = 0,5.

Тогда Y = X / (1 – R)=100/(1-0,5)=200;

DY₀ = Y₀ - Y = 0 - 200 = - 200;
DY₁ = 0,5 × (-200) = - 100;

DY₂ = 0,5×(-100)=-50;

DY₃ =0,5×(-50)=-25 и т.д.

График динамики отклонений DY_t национального продукта от его предельной величины Y показан на рис.2.

Рис.2 График отклонений национального продукта от его предела

Очевидно, что такая динамика может быть определена в рамках теории автоматического регулирования как монотонно сходящийся процесс.

Аналогичный процесс происходит при запуске технической системы, например, при запуске турбины, когда она набирает обороты от нуля до требуемой величины, или при запуске системы обогрева помещения от начальной температуры в нем и до заданного ее значения.

Но имеются и отличия. Целевое значение национального продукта Y не задается, а предопределяется параметрами X, S₀ , R, а процесс использования инвестиций для формирования национального продукта не происходит мгновенно, а имеет протяженность во времени.

Используя формулу Y_t =Y +DY_t , определим значения национального продукта: Y₁=200+(-100)=100, Y₂=200+(-50)=150, Y₃ =200+(-25)=175 и т.д.

В результате приобретения населением товаров и услуг происходит накопление объема дополнительных инвестиций, которые затем, в следующем периоде, превращаются вместе с внешними инвестициями в национальный продукт.

Значения потребления определим по формуле DX_t = R×Y_t .

В результате получим: DX₁= 0,5×100=50, DX₂=0,5×150=75, DX₃= 0,5×175=87,5 и т.д. На рис.3 показаны графики динамики роста национального продукта Y_t и потребления DX_t .

Рис.3 Пример графиков динамики параметров Y_t и DX_t

Здесь для каждого периода времени показан рост показателя национального продукта. Видно, что он с течением времени приближается к предельной его величине Y= 200 млрд. у.е.

Проведенное сопоставление процесса изменения национального продукта и процесса регулирования технического объекта демонстрирует возможности кибернетики для исследования общих закономерностей процессов и последующей интерпретации получаемых результатов на ту или иную предметную область. Это позволяет также интегрировать и совместно использовать знания, полученные в разных предметных областях.

ЗАДАНИЕ 1

Таблица 1

Результаты расчета показателей Y, DY_i , Y_i

Для заданного значения коэффициента потребления R прогнозирование динамики включает в себя следующие шаги:

Шаг1. Определить и записать в столбец 2 предельные величины национального продукта Y по формуле Y=X/(1–R), подставив в нее поочередно свои варианты значений R .

Шаг2. Определить для строк столбца 3 начальное отклонение национального продукта Y₀ от его предельной величины Y со значением R₁ по формуле DY₀=Y₀ – Y(R_i ). Так как в момент времени t=0 национальный продукт еще не будет произведен, то Y₀=0 и величина DY₀ будет отрицательной.

Шаг3. Определить построчно отклонения национального продукта DY_t+1 от его предельной величины Y в моменты времени t=1- 4 по формуле DY_t =R_i × DY_t: DY₁=R×DY₀ , DY₂=R×DY₁ , DY₃=R×DY₂ , DY₄=R×DY₃ и построить графики изменения отклонений во времени.

Шаг4. Определить построчно значения произведенного к моментам времени t национального продукта Y_t .В момент времени t=1 Y₁ = X. Для моментов времени t =2 -4 значения производимого национального продукта определяются по формуле Y_t = Y + DY_t .

При построении графиков шкалы их осей ординат должны быть равномерно разбиты на отрезки. Конкретные значения величин следует указывать не на оси ординат, а в соответствующих точках графиков.

2.3.Организация программирования роста национального продукта при отклонениях параметров системы от проектных значений

Так как при функционировании системы могут произойти нештатные отклонения параметров системы X, R, S₀ от проектных значений, то возникает необходимость выявить их причины и найти возможности восстановления выходной величины. Например, было принято, что S₀ =1, из чего следует, что все инвестиции превращаются в национальный продукт, т.е. макроэкономика функционирует эффективно. Но если экономика неэффективна, то S₀ < 1. Причиной этого может быть недостаточный спрос на продукцию, например, из-за ее низкого качества или сравнительно высокой ее цены вследствие повышенной себестоимости. Кроме этого, часть инвестиций может быть использована не по назначению. В этих случаях величина национального продукта будет меньше ожидаемой.

С другой стороны, стремясь увеличить прибыль, производство продукции размещают в странах с дешевой рабочей силой или осуществляют закупки товаров для производства на более выгодных условиях, чем предполагалось. В этом случае S₀ > 1.

Учитывая это, введем в формулу Y = (X + DX) параметр S₀ : Y = (X + DX) × S₀ . Отсюда выводится формула:

Y =S₀ × X / (1 – S₀×R). (3)

Частным случаем этой формулы при S₀ = 1 является модель Кейнса (2).

В реальных условиях отклонения могут происходить одновременно по трем параметрам. А для достижения запланированной выходной величины пользуются доступной возможностью изменения отдельных параметров или их комбинации. Но для понимания задачи программирования мы ограничимся ситуациями, когда возникают альтернативные отклонения, т.е. только одного из трех параметров системы, а другие параметры остаются неизменными. И для достижения запланированных целей определять будем альтернативные значения параметров. В этом случае для каждой причины отклонения варианты программирования выходной величины отличаются тем, значение какого параметра является искомым для получения желаемого целевого значения национального продукта.

Требуемые значения этих параметров, обеспечивающие достижение целевых значений выходной величины, могут быть определены с помощью методов, основанных на формуле (3), являющейся статической моделью системы регулирования. Из нее могут быть выведены следующие формулы для определения искомых значений параметров:

X=Y(1-S₀×R) /S₀ (4);

R=1 / S₀ – X / Y (5);

S₀=Y/(X+R×Y) (6)

Они могут быть использованы, если возникнут следующие альтернативные причины сбоя системы:

- уменьшение объема внешнего инвестирования (X_t ¹ C);

- снижение эффективности экономики (S_0t ¹ S₀ );

- уменьшение доли национального продукта на потребление, приводящее к снижению платежеспособности населения, и уменьшение закупок отечественной продукции (R_t ¹ R).

Так как для каждого из этих трех возможных возмущающих воздействий могут быть использованы три варианта альтернативных изменений параметров, то их общее число будет 9.

Методы расчета параметров системы для вышерассмотренных ситуаций приведены в табл. 2.

Таблица 2

Методы программирования национального продукта

В них индексы t при переменных в графе 1обозначают имеющиеся значения параметров, которые привели к непредусмотренной работе системы. Они определяются по формулам (4-6), где вместо значения Y надо подставить Y_t. В графах 2-4 с помощью тех же формул определяются значения параметров, при которых достигается требуемое значение выходной величины. Индексы S, X, R при изменяемом параметре указывают параметр, из-за отклонения которого выходная величина не соответствует требуемому значению. Если в формулах, приведенных в графах 2-4 таблицы, у параметра указан индекс t , то используется его значение из графы 1.

Планирование роста занятости при управлении экономикой

Пример ситуационного управления обеспечением занятости трудоспособного населения при планировании объемов национального продукта Y_t+1 на (t+1)-й год заключается в том, что этот доход ставится в зависимость от количества Z_t, трудоспособного населения, имеющегося в t-м году, с целью обеспечения его рабочими местами:

Y_t+1= P × Z_t , (20)

где Р – производительность труда, грн /чел.

Если в (t+1)-м году численность Z_t+1 трудоспособного населения увеличится, т.е. Z_t+1 > Z_{t ,} то запланированный объем национального продукта Y_t+1 окажется меньше требуемой величины для обеспечения полной занятости. Недостающий объем национального дохода для создания дополнительно требуемых рабочих мест будет запланирован только на следующий год. Необходимыми для этого управляющими воздействиями X_t+1 являются дополнительные инвестиции в экономику. Здесь ситуацию образует сопоставление фактической численности трудоспособного населения в (t+1)-м году и его численности в t-м году, положенной в основу расчета требуемого национального продукта.

Очевидно, что здесь происходит запаздывание выработки управляющего воздействия. В случае роста численности трудоспособного населения в планируемом году потребность в рабочих местах увеличится, а так как дополнительные рабочие места и необходимые для этого инвестиции не планировались, то возникнет безработица. Упреждающее планирование роста национального продукта должно основываться на прогнозе изменения демографической ситуации.

ЗАДАНИЕ 2

Таблица 3

Пример программирования национального продукта

	X=72

На блок-схемах объекта регулирования рис. 2 указаны значения параметров до и после их изменения. Следует помнить, что здесь рассматривается конечная ситуация процесса регулирования после переходного процесса.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Каким образом возникают дополнительные инвестиции? Чем отличаются коэффициенты R и R^П?

2. Почему рост национального продукта ограничивается предельной величиной и как ее определить?

3. Как можно увеличить предельную величину национального продукта?

4. Проинтерпретировать данный макроэкономический процесс как частный случай общей теории автоматического регулирования.

5. Как связан коэффициент S₀ с эффективностью экономики?

6.Как можно программировать рост национального продукта без увеличения инвестиций?

7. Возможные причины снижения ожидаемой величины национального продукта
8. Как программировать рост национального продукта?
9. На чем должно основываться программное управление обеспечением занятости населения?

Практическое занятие 3

Дата добавления: 2014-11-15; просмотров: 159; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!