Точечные и интервальные оценки. 9.1.1 Точечное оценивание – способ оценивания, заключающийся в том, что значение оценки принимается как неизвестное значение параметра распределения

9.1.1 Точечное оценивание – способ оценивания, заключающийся в том, что значение оценки принимается как неизвестное значение параметра распределения.

Точечной оценкой неизвестного параметра называют число (точку на числовой оси), которое приблизительно равно оцениваемому параметру и может заменить его с достаточной степенью точности в статистических расчетах.

Для того чтобы точечные статистические оценки обеспечивали «хорошие» приближения неизвестных параметров, они должны быть несмещенными, состоятельными и эффективными.

Несмещенной называют статистическую оценку Q^*, математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру Q, то есть

M(Q^*) = Q. (9.1)

Оценки, для которых это соотношение неверно, называются смещенными. При этом разность между математическим ожиданием оценки Q^* и оцениваемым параметром Q, т.е. M(Q^*)– Q, называется смещением оценки.

Пусть Q^* есть статистическая оценка неизвестного параметра Q теоретического распределения. Допустим, что по выборке объема n найдена оценка Q^*₁. Повторим опыт, т. е. извлечем из генеральной совокупности другую выборку того же объема и по ее данным найдем оценку Q^*₂ и т. д. Получим числа Q^*₁, Q^*₂, …, Q^*_k которые будут различаться. Таким образом, оценку Q^* можно рассматривать как случайную величину, а числа Q^*₁, Q^*₂, …, Q^*_k как возможные ее значения.

Если оценка Q^* дает приближенное значение Q с избытком, то найденное по данным выборок число Q (k = 1, 2, … , n) будет больше истинного значения Q. Следовательно, и математическое ожидание (среднее значение) случайной величины Q^* будет превышать Q, то есть M(Q^*) > Q. Если Q^* дает приближенное значение Q с недостатком, то M(Q^*) < Q.

Использование статистической оценки, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру, приводит к систематическим ошибкам. Поэтому нужно потребовать, чтобы математическое ожидание оценки Q было равно оцениваемому параметру.

Практически все оценки параметров, используемые в вероятностно-статистических методах, являются либо несмещенными, либо асимптотически несмещенными. Для несмещенных оценок показателем точности оценки служит дисперсия – чем дисперсия меньше, тем оценка лучше. Для смещенных оценок показателем точности служит математическое ожидание квадрата оценки М(Q^*– Q)².

Несмещенная оценка не всегда дает хорошее приближение оцениваемого параметра. Действительно, возможные значения Q^* могут быть сильно рассеяны вокруг своего среднего значения, т. е. дисперсия величины Q^* может быть значительной. В этом случае найденная по данным одной выборки оценка может оказаться удаленной от своего среднего значения, а значит, и от самого оцениваемого параметра, например, приняв Q^*₁ в качестве приближенного значения Q, мы допустили бы ошибку. Если потребовать, чтобы дисперсия величины Q^* была малой, то возможность допустить ошибку будет исключена. Поэтому к статистической оценке предъявляются требования эффективности.

Эффективной называют статистическую оценку, которая (при заданном объеме выборки n) имеет наименьшую возможную дисперсию. При рассмотрении выборок большого объема к статистическим оценкам предъявляется требование состоятельности. Доказано, что среднеквадратическое М[Х]^* и несмещенная оценка дисперсии S² являются эффективными оценками параметров М[Х] и D[Х] нормального распределения.

Состоятельной называют статистическую оценку, которая при n ® ¥ стремится по вероятности к оцениваемому параметру. Например, если дисперсия несмещенной оценки при n ® ¥ стремится к нулю, то такая оценка оказывается также состоятельной.

Дата добавления: 2014-11-24; просмотров: 437; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!