ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ математики

Справочный материал.

Случайные события:

- вероятность события P(A) = , n – число всех единственно возможных и равновозможных исходов испытания, а m – число исходов благоприятствующих появлению события А;

Pn= n! - число перестановок n различных элементов

( n! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ ∙ n, при этом 0! = 1 );

число размещений m различных элементов в n местах

(m ≤ n);

число сочетаний по m элементов из n различных

элементов ( m ≤ n, );

А + В – это событие, состоящее в появлении А или В или А и В вместе;

А ∙ В – это событие, состоящее в появлении А и В вместе;

– это событие противоположное А;

Р(А+В) = Р(А) + Р(В) для несовместных событий А и В;

Р(А+В) = Р(А) + Р(В) − Р(А∙В) для совместных событий А и В;

Р(А∙В) = Р(А) ∙ Р(В) для независимых событий А и В;

Р(А∙В) = Р(А)∙Р для зависимых событий А и В, где Р – условная вероятность появления события В при условии, что событие А

уже появилось;

формула Бернулли для вычисления вероятности появления события А ровно раз в серии из n испытаний, при этом

Р(A) = p в каждом испытании, Р( ) = q, p + q = 1;

Р(А) = - формула полной вероятности, при этом гипотезы Hiобразуют полную группу событий, то есть они попарно

независимы и , а событие А происходит только с одной из гипотез Hi;

- формула Байеса для вычисления вероятности гипотезы Нк при условии, что событие А произошло.

Случайные величины.

Дискретная случайная величина (ДСВ):

X принимает изолированные числовые значения x1, x2 , .... ;

- ряд распределения ДСВ – это таблица вида:

при этом

- многоугольник распределения – это ломаная, соединяющая точки ( );

- интегральная функция F(x) = P(X < x) = F(a) + P(a ≤ X < x) представляет собой ступенчатую кривую;

- математическое ожидание ДСВ определяется формулой ;

- свойства: M(С) = C, M(hX + C) = h ∙M(X) + C;

- дисперсия D(X) = M(X − M(X))² = M(X²) − M²(X);

- расчетные формулы: D(X) ;

- свойства: D(X) ≥ 0, D(0) = 0, D(h∙X + c) = h² ∙D(X);

- среднее квадратическое отклонение ;
Основные виды распределений ДСВ.

1. Геометрическое: X = k = 1, 2, 3...

,

2. Распределение Бернулли (биноминальное): X = k = 0, 1, 2, ..... , n

M(X) = n ∙ p, D(X) = n ∙ p ∙ q, ;

3. Распределение Пуассона: X = k = 0, 1, 2, ... , n

M(X) = a, D(X) = a,

Непрерывная случайная величина (НСВ):

X принимает числовые значения ;

- плотность (дифференциальная функция) распределения вероятностей:

- интегральная функция распределения:

F(x) = P(X < x) = , при этом ;

- вероятность попадания НСВ в интервал

P(α < X < β) = F(β) – F(α) =

- математическое ожидание M(X) =

- дисперсия D(X)

- среднее квадратическое отклонение .

Основные виды распределений НСВ:

1. Равномерное распределение в интервале (a, b)

при

при

при

при

при a x b,

при ,

M(X) = D(X) = , ;

1. Показательное распределение

при

при

при

при

M(X) = , D(X) = ,

2. Нормальное распределение

F(x) = 0.5 + Ф( ), где Ф(z) = – функция Лапласа (ее значения имеются в приложениях учебников по теории вероятностей);

M(X) = a, D(X) = , ,

P(α < X < β) = Ф – Ф .

Примеры.

1. Из разрезной азбуки сложено слово МАМА, затем рассыпано и сложено случайным образом. Найти вероятность того, что снова получится слово МАМА.

P = , n = P4= 4! = 24, m = 2! ∙ 2! = 4 => P = = = 0.17.

2. Четыре человека, среди которых двое знакомых, случайным образом рассаживаются в ряд, состоящий из шести стульев. Какова вероятность того, что знакомые окажутся рядом сидящими?

n = , m = (4∙2 + 2) ∙ = P = = . 3. Из группы, состоящей из 4 студенток и 7 студентов, случайным образом отбираются 5 человек. Какова вероятность того, что среди отобранных окажется ровно 2 студентки?

, .

4. Из урны, в которой находятся 5 красных, 2 синих и 4 желтых шара наудачу без возвращения в урну извлекаются:

1. 7 шаров. Найти вероятность того, что среди этих шаров окажется ровно 3 красных;

2. 2 шара. Найти вероятность того, что:

а) это будут желтые шары;

б) эти шары будут одного цвета;

в) эти шары будут разного цвета;

г) среди этих шаров будут хотя бы один красный;

3. 3 шара. Найти вероятность того, что:

а) эти шары будут одного цвета;

б) эти шары будут разных цветов;

в) взятый из них наудачу один шар окажется желтым;

4. 2 шара и они оказались одного цвета. Найти вероятность того, что это красные шары.

Решение.

1. В урне 5 красных и 6 некрасных шаров

.

2. a) P(ж и ж) = = 0.11.

б) P(к и к или с и с или ж и ж) =

в) Для двух шаров событие «шары разного цвета» противоположно

событию «шары одного цвета» => P(в) = 1 − P(б) = 1 – 0.31 = 0.69.

г) Считаем, что в урне 5 красных и 6 некрасных шаров и найдем

P(A) = 1 – P( ) = 1 – P(н и н) = .

3. а) Р(к и к и к или с и с и с или ж и ж и ж) = = 0.085.

б) P(к, ж, с) = = 0.24

Примечание. Множитель 3! Соответствует числу перестановок 3-х элементов.

в) Решим задачу по формуле полной вероятности. В урне находятся 4 желтых и 7 нежелтых шаров. Событие А – желтый шар из 3-х.

Гипотезы: H1 – 3 желтых шара;

H2 – 2 желтых и 1 нежелтый;

H3 − 1 желтый и 2 нежелтых;

H4 – 3 нежелтых.

Контроль

4. Считаем, что в урне 5 красных и 6 некрасных шаров. Событие А – шары одного цвета.

Гипотезы:

Н₁ – 2 красных шара;

Н₂ – 2 некрасных шара;

Н₃ – 1 красный и 1 некрасный.

Надо найти . По формуле Байеса .

Контроль

5. В урне находятся 5 красных и 8 синих шаров. Шар извлекается и возвращается в урну 4 раза. Найти вероятность того, что красный шар появится:

а) ровно 3 раза; б) не менее 2-х раз.

Для решения задачи применяем формулу Бернулли ,

а)

б)

6. Из урны, содержащей 7 синих и 8 желтых шаров наудачу извлекаются 4 шара. Построить ряд распределения и найти математическое ожидание случайной величины равной числу синих шаров среди извлеченных 4-х шаров.

Значение случайной величины

Найдем их вероятности:

Проверим свойство ряда: .

Xk
Pk

Итак, ряд распределения Х :

Математическое ожидание

7. Дискретная случайная величина Х с известным математическим ожиданием М(Х) = 3.7 задана рядом распределения:

Xi
Pi	0.1	р2	0.2	р4	0.2

Требуется:

а) найти p₂ и p₄;

б) построить многоугольник распределения;

в) построить интегральную функцию F(x) и ее график;

г) вычислить дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Решение:

а) найдем из условий и

Получим систему уравнений:

.

б) для ряда распределения:

строим многоугольник распределения:

в) интегральную функцию строим с помощью свойства :

при
при
при
при
при
при

г) дисперсия .

(по условию) и

среднее квадратическое отклонение .

8. Задана дифференциальная функция (плотность) распределения

Найти:

а) параметр ;

б) интегральную функцию ;

в) математическое ожидание и дисперсию ;

г) вероятность события .

Решение:

а) из условия

тогда

б)

При построении воспользуемся свойством

.

При
при
при	.

в) .

г) .

9. На запуск двигателя тратится в среднем 2.5 попытки. Считая, что вероятность запуска в каждой попытке одинакова, найти вероятность запуска двигателя не более, чем за 3 попытки.

Здесь имеет место геометрическое распределение случайной величины Х равной числу попыток до запуска двигателя, причем . Тогда из и .

10. Случайная величина Х имеет биномиальное распределение (распределение Бернулли) с математическим ожиданием и дисперсией . Найти вероятность события .

Для биномиального распределения ,

получим систему уравнений:

, тогда и .

Искомую вероятность находим с помощью формулы Бернулли.

11. Для случайной величины Х, имеющей распределение Пуассона вероятность события равна 0.4. Найти вероятность события .

Из формулы для ,

Тогда

12. Случайная величина Х имеет равномерное распределение в интервале , причем и . Найти вероятность события .

Для равномерного распределения , .

По условию

. Для и интегральная функция имеет вид:

13. Случайная величина Х имеет показательное распределение и при этом численно . Найти вероятность события .

Из формул , или .

Тогда и интегральная функция будет:

14. Методами математической статистики установлено, что для данного региона роста призывников в ряды вооруженных сил имеют нормальное распределение с параметрами . Найти ожидаемое число призывников 3-го роста из 1000 человек.

Отметим, что третий рост соответствует интервалу (167, 173).

По формуле получим

Тогда ожидаемое число призывников третьего роста

человек.

Примечание: значения и взяты из таблицы значений функции Лапласа .

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Для получения своих личных данных надо подставить α и β в задания и посчитать соответствующие им выражения.

α – предпоследняя, а β – последняя цифра шифра студента.

Например, если шифр студента 1004-206, то α=0, β=6.

1 Из урны, в которой находятся (12-β) белых, (2+α) черных и 3 синих шара наудачу, без возвращения в урну извлекаются:

1) 5 шаров. Найти вероятность того, что среди этих шаров окажется ровно два белых.

2) 2 шара. Найти вероятность того что:

а) эти шары будут разного цвета;

б) эти шары будут одного цвета;

в) взятый из них наудачу один шар окажется белым.

3) 3 шара. Найти вероятность того, что:

а) эти шары будут разного цвета;

б) эти шары буду одного цвета;

в) среди этих шаров будет хотя бы один белый.

4) 2 шара, и они оказались разного цвета. Найти вероятность того, что это белый и черный шары.

2 В урне находятся (5­­­­+β) белых и (15-β) черных шаров. Наудачу, шар извлекается и возвращается в урну 3 раза. Найти вероятность того, что белый шар появится:

а) ровно 2 раза;

б) не менее одного раза.

3 В урне находятся (12-β) белых и (12-α) черных шаров. Наудачу извлекаются без возвращения в урну 3 шара. Построить ряд распределения и найти математическое ожидание случайной величины, равной числу белых шаров среди извлеченных трех шаров.

4 Дискретная случайная величина Х с математическим ожиданием М(Х)=6+0,1α-0,3β задана рядом распределения

а) Найти р₁ и р₃;

б) построить многоугольник распределения;

в) построить интегральную функцию распределения F(x) и её график;

г) вычислить дисперсию D(x).

5 Плотность распределения непрерывной случайной величины X имеет вид

Найти: а) параметр k;

б) математическое ожидание М(х);

в) интегральную функцию распределения F(x) и её график;

г) вероятность события X >10-α.

6 Случайная величина имеет биноминальное распределение с математическим ожиданием M(x)= и дисперсией D(x)= . Найти вероятность события X ³ 2.

7 Случайная величина имеет нормальное распределение с математическим ожиданием M(x)= и дисперсией D(x)= . Найти вероятность события X >0.

Дата добавления: 2014-11-24; просмотров: 1040; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!