Дифференциальное исчисление функций многих переменных

Пусть – множество точек пространства .

Если каждой точке из множества поставлено в соответствие по закону некоторое число , то говорят, что на множестве задана функция переменных . Для функции переменных используются также обозначения или . Числовые переменные называются независимыми переменными или аргументами функции. Множество называется областью определения (или областью задания) функции . Число , соответствующее данной точке из множества , называется значением функции в точке . Совокупность всех значений функции называется множеством значений этой функции.

В евклидовом пространстве для функции двух независимых переменных , обычно полагают , , , имея в виду, что точка лежит на координатной плоскости прямоугольной декартовой системы координат . Более того, если , то есть предположить, что значение функции определяет аппликату , то уравнение определяет поверхность в евклидовом пространстве . Таков геометрический смысл функции двух независимых переменных. По тем же мотивам в пространстве для функции трех независимых переменных вводят обозначение .

Если каждому натуральному числу поставлена в соответствие точка евклидова пространства , то говорят, что в этом пространстве определена последовательность точек Эту последовательность обозначают также символом .

Последовательность точек пространства называется сходящейся, если существует точка пространства такая, что для любого положительного числа найдется номер такой, что при выполняется неравенство . При этом точка называется пределом последовательности . Для предела последовательности используются следующие обозначения:или при .

Существование предела последовательности означает, что в любой – окрестности точки находятся все точки последовательности , начиная с некоторого номера , зависящего, вообще говоря, от .

Последовательность точек пространства называется ограниченной, если существует такое число , что для всех выполняется неравенство , где – точка, все координаты которой равны нулю. Ограниченность последовательности точек означает, что все точки этой последовательности содержатся в шаре радиуса с центром в начале координат .

Число называется пределом функции в точке , если для любой сходящейся к последовательности точек множества , все элементы которой отличны от , соответствующая числовая последовательность значений функции сходится к числу . Для обозначения предела функции в точке используются следующие обозначения:

или ,

где () – координаты точки . Заметим, что в определении предела не рассматривается значение функция в точке .

Функция называется непрерывной в точке , если предел этой функции в точке существует и равен значению . Точки пространства , в которых функция не обладает свойством непрерывности, называются точками разрыва этой функции. Функция , определенная на множестве , называется непрерывной на множестве , если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Приращением или полным приращением функции в точке называется функция , определяемая равенством

,

где – произвольная точка из области определения функции.

Пусть точки и имеют соответственно координаты и . Обозначая приращения аргументов , ,…, , получим для приращения функции следующее выражение:

.

Очевидно, для непрерывности функции в точке необходимо и достаточно, чтобы ее приращение представляло собой бесконечно малую в точке функцию, то есть

или .

Зафиксируем все аргументы, кроме , и придадим произвольное приращение такое, чтобы точка с координатами находилась в области определения функции.

Частным приращением функции в точке , соответствующим приращению аргумента , называется функция , определяемая равенством

.

Функция называется непрерывной в точке по переменной , если частное приращение этой функции в точке представляет собой бесконечно малую функцию от . Очевидно, из условия непрерывности функции в точке вытекает непрерывность этой функции в данной точке по каждой из переменных . Однако из непрерывности функции в точке по каждой из переменных не вытекает, вообще говоря, непрерывность этой функции в точке.

Зафиксируем все аргументы, кроме , и придадим произвольное приращение такое, чтобы точка с координатами находилась в области определения функции.

Частным приращением функции в точке , соответствующим приращению аргумента , называется функция , определяемая равенством

.

Если существует предел

,

то он называется частной производной функции по переменной в точке и обозначается любым из следующих символов:

, , , .

Таким образом,

.

Отметим, что при фиксированных значениях всех аргументов, кроме , функция становится функцией одной переменной. Производная этой функции одной переменной и есть частная производная функции по аргументу . Поэтому вычисление частных производных производится по тем же правилам, что и вычисление производных функций одной переменной.

Функция называется дифференцируемой в точке , если ее полное приращение в этой точке может быть представлено в виде

,

где – некоторые не зависящие от , ,…, числа, – бесконечно малые функции при , ,…, , равные нулю при .

Дифференциалом (полным или первым дифференциалом) дифференцируемой в точке функции называется линейная относительно приращений аргументов часть приращения этой функции в точке .

Таким образом, дифференциалом дифференцируемой в точке функции называется выражение

.

Можно переписать выражение для полного дифференциала следующим образом:

.

Дифференциалом независимой переменной будем называть приращение этой переменной . Тогда эту формулу можно записать в виде

.

Пусть функция имеет частную производную в каждой точке некоторой окрестности точки . В этом случае частная производная представляет собой функцию переменных , определенную в данной окрестности.

Если имеет в точке частную производную по аргументу , то эта производная по аргументу называется частной производной второго порядка или второй частной производной функции в точке по аргументам , и обозначается одним из следующих символов:

, , , , .

Если , то частная производная второго порядка называется смешанной. Если , то частная производная второго порядка обозначается или . После того как введено понятие второй частной производной, можно последовательно ввести понятие третьей частной производной, затем четвертой и так далее.

Пусть в некоторой области пространства определена дифференцируемая функция независимых переменных . Тогда в этой области дифференциал , определяемый выражением

,

так же можно рассматривать как функцию тех же независимых переменных. Если дифференциал будет дифференцируемой функцией в соответствующей области пространства , то можно определить полный дифференциал этой функции. Такой дифференциал обозначается символом и называется вторым дифференциалом или дифференциалом второго порядка первоначальной функции . Дифференциал будет функцией тех же переменных, и если является дифференцируемой функцией в соответствующей области, то его полный дифференциал , обозначаемый символом , приведет к третьему дифференциалу или дифференциалу третьего порядка первоначальной функции . Следуя индукции, нетрудно определить дифференциал любого порядка .

Пусть – целое число, функция задана в некоторой - окрестности точки и имеет в этой окрестности непрерывные частные производные по всем переменным до порядка включительно. Тогда полное приращение этой функции в точке может быть представлено в форме

,

при этом – некоторая точка указанной окрестности, зависящая, вообще говоря, от , а дифференциалы переменных , входящие в выражения и , равны . Данный результат называется формулой Тейлора для функции с центром разложения в точке , а последний член формулы называется остаточным членом, записанным в форме Лагранжа.

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки пространства .

Говорят, что функция имеет в точке локальный максимум (локальный минимум), если существует такая окрестность точки , в которой выполняется неравенство (). Если же существует окрестность точки , в которой при выполняются неравенства (), то говорят, что функция имеет в точке строгий локальный максимум (строгий локальный минимум). Если функция имеет в точке локальный максимум или локальный минимум, то говорят, что она имеет в этой точке локальный экстремум (или просто экстремум).

Необходимые условия локального экстремума. Если функция имеет в точке локальный экстремум, и в этой точке существуют частные производные первого порядка по всем переменным , то

, ,…, .

Точки, в которых обращаются в нуль все частные производные первого порядка функции , называются стационарными точками этой функции.

Квадратичная форма относительно переменных , ,…,

называется положительно определенной (отрицательно определенной), если для любых значений , ,…, , одновременно не равных нулю, эта форма принимает строго положительные (строго отрицательные) значения. Квадратичная форма называется знакоопределенной, если она является либо положительно определенной, либо отрицательно определенной. Квадратичная форма называется знакопеременной, если она принимает как строго положительные, так и строго отрицательные значения.

Достаточные условия локального экстремума. Пусть функция дифференцируема в некоторой окрестности точки и имеет в этой точке непрерывные производные по всем переменным до второго порядка включительно. Кроме того, пусть точка является стационарной точкой функции . Тогда если второй дифференциал

,

представляет собой положительно определенную форму (отрицательно определенную) квадратичную форму от переменных , ,…, , то функция имеет в точке строгий локальный минимум (строгий локальный максимум). Если же второй дифференциал представляет собой знакопеременную квадратичную форму, то функция не имеет локального экстремума в точке .

В предыдущей лекции рассмотрен вопрос отыскания локальных экстремумов функции, аргументы которой не связаны никакими дополнительными условиями, то есть являются независимыми переменными. Вместе с тем, в различных приложениях часто встречается задача об отыскании экстремумов функции, аргументы которой удовлетворяют дополнительным условиям связи. Экстремумы такого рода называют условными, чтобы отличить их от безусловных (или абсолютных) экстремумов, изученных ранее.

Функция имеет условный максимум (условный минимум) в точке , если существует такая окрестность точки , что для всех точек , удовлетворяющих уравнениям связи

(, ),

выполняется неравенство (соответственно ).

Общий принцип нахождения условного экстремума заключается в следующем. Из уравнений связи выражаются одни переменные через другие, и после их подстановки в исходную функцию приходят к задаче на обычный (безусловный) экстремум, но уже для функции переменных. Данный метод использован в рассмотренном примере, однако, зачастую такой подход приводит к громоздким выкладкам, поэтому чаще используют другой метод – метод неопределенных множителей Лагранжа.

Рассмотрим метод неопределенных множителей Лагранжа для нахождения условного экстремума. Задача нахождения условного экстремума сводится к исследованию на обычный экстремум функции Лагранжа

,

где числа () – называются множителями Лагранжа.

Необходимые условия условного экстремума выражаются системой уравнений

, , , ,

из которой могут быть найдены неизвестные

,

где – координаты точки, в которой возможен условный экстремум.

Рассмотрим теперь достаточные условия условного экстремума функции нескольких переменных. Предположим, что в точке выполнены необходимые условия экстремума. Кроме того, дополнительно потребуем непрерывности всех частных производных второго порядка функций и , в окрестности точки . Как было показано, для формулировки достаточного условия экстремума в точке у функции при наличии связей , следует присоединить к необходимым условиям требование знакоопределенности в этой точке. При этом можно утверждать наличие в точке минимума, если , и максимума, если .

Дифференцируемая функция в ограниченной замкнутой области достигает своего наибольшего (наименьшего) значения либо в стационарной точке, лежащей внутри области , либо на границе этой области. Покажем на примере способ нахождения наибольшего и наименьшего значения функции двух переменных в замкнутой ограниченной области.

Пусть требуется найти наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области , ограниченной линиями , , .

Выясним сначала, существуют ли стационарные точки, лежащие внутри области , то есть внутри треугольника , где , , . Имеем

, .

Решая полученную систему уравнений, находим стационарную точку . Она лежит вне области , следовательно, при решении задачи ее не учитываем. Исследуем значения функции на границе области .

На стороне (, ) треугольника функция имеет вид . Стационарных точек на отрезке нет, так как . В точках и соответственно , .

На стороне (, ) треугольника , . Стационарную точку находим из уравнения . Отсюда . Полученная точка с координатами не принадлежит области , поэтому исключается ее из рассмотрения. В точке значение функции равно .

Находим наибольшее и наименьшее значения на стороне : , . Здесь , , тогда и из следует , то есть стационарная точка принадлежит границе области . Значение функции в ней . Сравнивая все полученные значения функции: , , , , видим, что , .

Дата добавления: 2014-02-26; просмотров: 2086; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!