Интегральное исчисление функций многих переменных и элементы векторного анализа

Пусть некоторая замкнутая ограниченная область, а произвольная функция, определенная и ограниченная в этой области. Потребуем также, чтобы граница этой области была кусочно-непрерывной, то есть состояла из конечного числа кривых вида или , где и непрерывные функции.

Разобьем область произвольно на частей (), таких что и , . Обозначим площадь (). В каждой области выберем произвольно точку и составим сумму

.

Сумма называется интегральной суммой для функции в области .

Диаметром области называется наибольшее расстояние между граничными точками этой области. Обозначим .

Если существует предел интегральной суммы при и , не зависящий ни от способа разбиения области на части , ни от выбора точек , то этот предел называется двойным интегралом от функции по области , и обозначается

.

Функция при этом называется подынтегральной функцией, – областью интегрирования, – переменными интегрирования, (или ) – элементом площади. Функция , для которой в области существует двойной интеграл, называется интегрируемой в области .

Область называется правильной или элементарной по отношению к оси (), если прямая, параллельная оси () и проходящая через любую внутреннюю точку области , пересекает границу этой области не более, чем в двух точках.

Пусть функция интегрируема на правильной по отношению к оси области , ограниченной прямыми , и графиками функций и , причем . Тогда двойной интеграл от функции по данной области равен

.

Геометрический смысл двойного интеграла заключается в том, что если в области , то двойной интеграл численно равен объёму криволинейного цилиндра, ограниченного сверху поверхностью , снизу плоскостью и сбоку цилиндрической поверхностью с направляющей и образующими, параллельными оси , вырезающей на плоскости область , то есть .

Пусть некоторая замкнутая ограниченная область в , а произвольная функция, определенная и ограниченная в этой области.

Разобьем область произвольно на частей (), таких что и , . Обозначим объем (). В каждой области выберем произвольно точку и составим сумму

.

Сумма называется интегральной суммой для функции в области . Обозначим .

Если существует предел интегральной суммы при и , не зависящий ни от способа разбиения области на части , ни от выбора точек , то этот предел называется тройным интегралом от функции по области , и обозначается

.

Функция при этом называется подынтегральной функцией, – областью интегрирования, – переменными интегрирования, (или ) – элементом объема. Функция , для которой в области существует тройной интеграл, называется интегрируемой в области .

Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах сводится к последовательному вычислению одного однократного и одного двойного интегралов или к вычислению трех однократных интегралов.

Область называется правильной или элементарной по отношению к оси (или ), если прямая, параллельная оси (или ) и проходящая через любую внутреннюю точку области , пересекает границу этой области не более, чем в двух точках. Область называется простой, если её можно разбить на конечное число элементарных областей.

Пусть функция непрерывна в правильной по отношению к оси области , ограниченной снизу и сверху поверхностями и , причем , и ограничена с боков прямым цилиндром, сечением которого плоскостью, параллельной плоскости , является область . Тогда тройной интеграл от функции по данной области равен

.

Если правильная область , ограничена прямыми , и графиками функций и , причем , то тройной интеграл от функции по области равен

.

Пусть на спрямляемой (имеющей конечную длину) простой кривой с началом в точке и концом в точке задана непрерывная функция , . Разобьем кривую на частей точками , , , , , причем так, чтобы при , где функция определяет длину дуги кривой . Такое разбиение задает ориентацию кривой, то есть определяет направление движения вдоль кривой от точки к точке .

Выберем на каждой дуге произвольную точку и составим интегральную сумму

,

где – длина дуги , . Пусть .

Если существует предел

,

не зависящий ни от способа деления дуги на части , ни от выбора точек , то этот предел называется криволинейным интегралом первого рода по дуге от функции и обозначается.

Таким образом, по определению,

.

Пусть – непрерывная функция, а – гладкая кривая, заданная параметрическими уравнениями , , , , , причем для начала и конца кривой выполняются соотношения , , , , , . Тогда

.

Иногда кривую можно параметризовать, выбирая в качестве параметра одну из прямоугольных декартовых координат , или . Например, пусть кривая задана на плоскости графиком функции , , то есть , и пусть – непрерывная функция на . Параметризуем кривую, полагая . Тогда и

.

Пусть на простой кривой с началом в точке и концом в точке задана некоторая функция . Разобьем кривую точками на частей (длина каждой равна ). На каждой дуге выберем точку и составим интегральную сумму

,

где – проекция дуги на ось (то есть , а , – абсциссы точек и , соответственно). Обозначим .

Если существует предел интегральной суммы при и , не зависящий ни от способа разбиения кривой на части , ни от выбора точек , то этот предел называется криволинейным интегралом второго рода по координате от функции по кривой , и обозначается

.

Аналогично определяются криволинейные интегралы второго рода по координатам и . Рассмотрим общий случай.

Пусть на простой кривой заданы функции , , . Проведем разбиение кривой как в предыдущем случае и составим интегральную сумму

,

где , , – проекции дуги на оси , , , соответственно. Пусть .

Если существует предел интегральной суммы при и , не зависящий ни от способа разбиения кривой на части , ни от выбора точек , то этот предел называется криволинейным интегралом второго рода (общего вида) от функций , , по кривой , и обозначается

.

Следует заметить, что криволинейный интеграл второго рода также как и криволинейный интеграл первого рода обладает свойствами линейности и аддитивности, однако для интегралов второго рода при изменении направления интегрирования меняется знак интеграла. Если кривая интегрирования является замкнутой кривой, то криволинейный интеграл второго рода по этой кривой обозначается

.

Пусть , , – непрерывные функции, а – гладкая кривая, заданная параметрическими уравнениями , , , , , причем для начала и конца кривой выполняются соотношения , , , , , . Тогда

.

Говорят, что граница области ориентирована положительно (отрицательно),если при движении по область располагается с левой (правой) стороны. При этом говорят, что область D ориентирована положительно (отрицательно), если ее граница ориентирована положительно (отрицательно).

Пусть функции и и их частные производные и непрерывны в замкнутой области (односвязной или многосвязной), ограниченной кусочно-гладкой кривой . Тогда справедливо равенство

,

где криволинейный интеграл вычисляется по границе области , ориентированной положительно. Это равенство называется формулой Грина. Формула Грина связывает криволинейный интеграл второго рода по замкнутой кривой с двойным интегралом по области, ограниченной этой кривой.

Пусть в пространстве на кусочно-гладкой поверхности задана непрерывная функция . Разобьём поверхность кусочно-гладкими линиями на части с соответствующими площадями , . В каждой части произвольно выберем точку и составим интегральную сумму

.

Обозначим максимальный из диаметров частей .

Если существует предел интегральной суммы при и , не зависящий ни от способа разбиения поверхности на части , ни от выбора точек , , то он называется поверхностным интегралом первого рода от функции по поверхности , и обозначается .

Если поверхность задана явно уравнением , то поверхностный интеграл первого рода от функции по поверхности равен

.

Пусть в пространстве задана некоторая гладкая поверхность . В каждой точке такой поверхности существует вектор нормали . Пусть некоторая внутренняя точка поверхности , а некоторая замкнутая кривая, целиком лежащая на поверхности и проходящая только через внутренние точки поверхности , кроме того . Выберем направление вектора в точке .

Гладкая поверхность называется двусторонней, если для любых точки и кривой вектор нормали после обхода кривой при возвращении в исходную точку имеет первоначально выбранное направление. В противном случае гладкая поверхность называется односторонней.

Пусть на двусторонней поверхности выбрана одна сторона, тогда говорят, что поверхность ориентирована. Ориентацию поверхности задают выбором в точках этой поверхности направления вектора нормали в выбранную сторону.

Пусть в точках ориентированной поверхности задана функция . Разобьем кусочно-гадкими кривыми на куски , . В пределах каждого куска выберем произвольно точку и составим интегральную сумму

,

где – величина, равная площади проекции ориентированной поверхности на плоскость , взятая со знаком плюс, если и ось образуют острый угол, и минус, если этот угол тупой. Обозначим .

Если существует предел интегральной суммы при и , не зависящий ни от способа разбиения поверхности на части , ни от выбора точек , , то он называется поверхностным интегралом второго рода по переменным и от функции по ориентированной поверхности , и обозначается .

Аналогично определяются поверхностные интегралы второго рода по переменным , и , . Рассмотрим общий случай.

Пусть на ориентированной поверхности заданы функции , , . Как в предыдущем случае проведем разбиение поверхности и составим интегральную сумму

,

где , , – площади проекции поверхности на плоскости , , , взятые со знаком плюс или минус, в зависимости от того составляет ли острый (тогда «+») или тупой (тогда «–») угол вектор и осями , , . Обозначим .

Если существует предел интегральной суммы при и , не зависящий ни от способа разбиения поверхности на части , ни от выбора точек , , то он называется поверхностным интегралом второго рода (общего вида) от функций , , по ориентированной поверхности , и обозначается

.

Если – замкнутая поверхность, то поверхностный интеграл второго рода обозначается

.

Пусть поверхность однозначно проектируется на координатные плоскости , , в области , , . В этом случае возможно явное задание поверхности с помощью уравнений

, ; , , , .

Тогда поверхностный интеграл второго рода от функций , , по ориентированной поверхности равен

,

где знак перед первым интегралом выбирается плюс, если и ось образуют острый угол (минус – если угол тупой); знак перед вторым интегралом выбирается плюс, если и ось образуют острый угол (минус – если угол тупой); знак перед третьим интегралом выбирается плюс, если и ось образуют острый угол (минус – если угол тупой).

Формула Остроградского-Гаусса устанавливает связь между поверхностным интегралом по внешней стороне замкнутой поверхности и тройным интегралом по пространственной области , ограниченной этой поверхностью.

Пусть , , – непрерывно дифференцируемые функции в замкнутой области , ограниченной кусочно-гладкой поверхностью . Тогда справедлива формула Остроградского-Гаусса

,

где поверхностный интеграл берется по замкнутой поверхности , ориентированной внешней нормалью.

Формула Стокса связывает криволинейный интеграл второго рода по замкнутому контуру с поверхностным интегралом второго рода по поверхности , ограниченной этим контуром.

Пусть в области определены непрерывно дифференцируемые функции , , , и в этой области расположена положительно ориентированная гладкая поверхность , ограниченная кусочно-гладким контуром . Тогда справедлива формула Стокса

.

Закон, по которому каждой точке поставлено в соответствие некоторое число , называется скалярным полем, и обозначается . Другими словами, скалярное поле – есть некоторая скалярная функция нескольких переменных , . Если скалярное поле задано функцией двух переменных , то оно называется плоским.

Геометрической характеристикой скалярного поля служат поверхности уровня (для плоского скалярного поля – линии уровня). Поверхность уровня – это множество точек пространства, в которых значение скалярного поля постоянно, то есть (для линий уровня ).

Пусть в некоторой области евклидова пространства задано скалярное поле . Рассмотрим это поле в прямоугольной декартовой системе координат , , и зафиксируем точку . Проведем через эту точку прямую в направлении вектора с началом в точке и рассмотрим значения скалярной функции в точке и в близких к ней точках . Введем число , равное длине вектора (), если векторы и совпадают по направлению, и равное , если эти векторы противоположны по направлению.

Производной скалярной функции в точке по направлению вектора называется предел , обозначаемый символом .

Их этого определения следует, что производная скалярной функции по заданному направлению является скаляром. Рассмотрим приращение . Для этого введем обозначение и единичный вектор по направлению :

,

где ; , , – соответствующие проекции вектора на оси , , . Тогда

,

где и – радиус-векторы точек и соответственно. В прямоугольных декартовых координатах приращение примет вид

.

Таким образом, приращение можно рассматривать как сложную функцию независимой переменной . Предполагая дифференцируемость функции в точке , запишем

,

где – бесконечно малая функция более высокого порядка, чем при .

Подставляя найденное приращение в определение производной скалярной функции по направлению, получаем

,

то есть

.

В частности, если вектор сонаправлен с одной из координатных осей, то производная по направлению совпадает с соответствующей частной производной. Например, если , то

.

Производная поля в точке по направлению характеризует скорость изменения поля по направлению , а частные производные , , – скорость изменения скалярного поля по направлению осей , , соответственно.

Градиентом скалярного поля в точке называется вектор, обозначаемый и равный

.

Можно показать, что не зависит от выбора прямоугольной декартовой системы координат. С помощью градиента скалярного поля можно записать

,

где – угол между и вектором .

Поскольку принимает максимальное значение при , то вектор указывает направление наискорейшего возрастания функции в точке , и при .

Закон, по которому каждой точке поставлен в соответствие некоторый вектор , называется векторным полем, и обозначается . Таким образом, векторное поле – есть некоторая векторная функция нескольких переменных, В прямоугольной декартовой системе координат задание векторного поля равносильно заданию трех скалярных функций , , , то есть . Векторное поле вида называется плоским.

Геометрическими характеристиками векторного поля являются векторные линии и векторные трубки.

Кривая , в каждой точке которой направление касательной совпадает с направлением вектора , называется векторной линией. Векторные линии определяются системой дифференциальных уравнений

.

Векторной трубкой называется поверхность, образованная векторными линиями, проходящими через точки некоторой лежащей в поле замкнутой кривой не совпадающей (даже частично) с какой-либо векторной линией.

Пусть – дифференцируемое в области векторное поле.

Скаляр, обозначаемый и равный

,

называется дивергенцией векторного поля в точке .

Применяя понятие дивергенции векторного поля, сформулируем теорему (формулу) Остроградского Гаусса в векторной форме.

Пусть – непрерывно дифференцируемое векторное поле в замкнутой области , ограниченной кусочно-гладкой поверхностью . Тогда справедлива формула Остроградского-Гаусса

,

где поток векторного поля вычисляется через замкнутую поверхность , ориентированную внешней нормалью.

Таким образом, поток векторного поля через замкнутую поверхность в сторону внешней нормали равен тройному интегралу от дивергенции векторного поля по области, ограниченной этой поверхностью.

Из теоремы Остроградского Гаусса в векторной форме следует инвариантное определение дивергенции векторного поля.

Пусть в области , ограниченной кусочно-гладкой поверхностью , задано непрерывно дифференцируемое векторное поле , и пусть – внутренняя точка области . Тогда дивергенцией векторного поля в точке называется скаляр, обозначаемый и равный

,

где и – соответственно диаметр и объем области .

Ротором (или вихрем) векторного поля в точке называется вектор, обозначаемый (или ) и равный

,

где частные производные вычислены в этой точке.

Ротор векторного поля часто записывают в виде символического определителя

.

Сформулируем теорему (формулу) Стокса в векторной форме.

Пусть в области определено непрерывно дифференцируемое векторное поле , и в этой области расположена положительно ориентированная гладкая поверхность , ограниченная кусочно-гладким контуром . Тогда

.

Следовательно, циркуляция векторного поля вдоль замкнутого контура равна потоку ротора поля через поверхность , натянутую на этот контур.

Введем поверхностный интеграл следующе

Дата добавления: 2014-02-26; просмотров: 2121; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!