![]() Главная страница Случайная лекция ![]() Мы поможем в написании ваших работ! Порталы: БиологияВойнаГеографияИнформатикаИскусствоИсторияКультураЛингвистикаМатематикаМедицинаОхрана трудаПолитикаПравоПсихологияРелигияТехникаФизикаФилософияЭкономика ![]() Мы поможем в написании ваших работ! |
Предельные теоремыСейчас нас будут интересовать закон распределения и некоторые связанные с ним числовые характеристики суммы случайных величин при условии, что распределение и числовые характеристики слагаемых известны, а их число неограниченно возрастает. Неравенство Чебышева (приводится без доказательства). Для произвольной случайной величины x с математическим ожиданием a = M(x )и дисперсией s 2= D(x )для любого e > 0 справедливо неравенство
Из неравенства Чебышева следует: чем меньше дисперсия, тем меньше вероятность отклонения случайной величины от своего математического ожидания более чем на e. Теорема Чебышева(приводится без доказательства). Пусть {xn} - последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, имеющих конечные дисперсии. Тогда вероятность отклонения их среднего арифметического от их математического ожидания по модулю меньше чем на e стремится к 1 при неограниченном увеличении n.
В этом случае говорят, что среднее арифметическое случайных величин сходится по вероятности к среднему арифметическому математических ожиданий слагаемых. Пример. Обычно при определении численного значения некоторой постоянной величины проводится несколько измерений и в качестве искомого значения принимается их среднее арифметическое. Действительно, результат каждого измерения можно рассматривать как случайные величины x1, ..., xn. Если результаты измерений независимы, имеют одно и то же математическое ожидание и их дисперсии ограничены одной и той же константой (что на практике обычно выполняется), то согласно теореме Чебышева среднее арифметическое
Теорема Бернулли (следствие теоремы Чебышева).Эта теорема устанавливает связь между относительной частотой события n(A) и его вероятностью p(A). Пусть производится n независимых, однородных испытаний (схема Бернулли), в каждом из которых событие А может произойти с вероятностью p(A)=р. Введём в рассмотрение случайные величины x1, ... , xn- индикаторы испытаний. Напомним, что xiпринимает только два значения: a) 1, если в i -м испытании событие A наступило, b) 0 в противоположном случае. Ранее были найдены M(xi) = p и D(xi) = pq. Последовательность случайных величин {xi} удовлетворяет условиям теоремы Чебышева и поэтому Остаётся отметить, что сумма Таким образом, при неограниченном увеличении числа испытаний относительная частота n(A) события A сходится по вероятности к P(A) - вероятности его появления при одном испытании. Это утверждение и является теоремой Бернулли. Дата добавления: 2014-03-11; просмотров: 510; Нарушение авторских прав ![]() Мы поможем в написании ваших работ! |