Студопедия

Главная страница Случайная лекция


Мы поможем в написании ваших работ!

Порталы:

БиологияВойнаГеографияИнформатикаИскусствоИсторияКультураЛингвистикаМатематикаМедицинаОхрана трудаПолитикаПравоПсихологияРелигияТехникаФизикаФилософияЭкономика



Мы поможем в написании ваших работ!




Предельные теоремы

Читайте также:
  1. Дифференциальная форма теоремы о циркуляции.
  2. Запредельные формы психического напряжения
  3. Интерпретация теоремы Пригожина.
  4. Краткосрочный и долгосрочный периоды произвдства. Постоянные, переменные, общие, средние, предельные издержки. Закон убывающей отдачи. Эффект масштабов производства.
  5. Лекция 1. Роль и значение земляного полотна в обеспечении надежной работы железных дорог. Показатель надежности и предельные условия работы.
  6. Лекция 5. Основные теоремы теории вероятностей
  7. Лекция № 14 Числовая последовательность. Сходящиеся и расходящиеся последовательности. Основные теоремы о пределе последовательности.
  8. Лекция № 16 Предел функции в точке и на бесконечности. Основные теоремы о пределе функции. Односторонние пределы. Непрерывность функции. Первый и второй замечательные пределы.
  9. Лекция №6 МЕТОД ЭКВИВАЛЕНТНОГО ГЕНЕРАТОРА (МЭГ) ИЛИ ТЕОРЕМЫ ТЕВЕНИНА И НОРТОНА
  10. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ

Сейчас нас будут интересовать закон распределения и некоторые связанные с ним числовые характеристики суммы случайных величин при условии, что распределение и числовые характеристики слагаемых известны, а их число неограниченно возрастает.

Неравенство Чебышева (приводится без доказательства). Для произвольной случайной величины x с математическим ожиданием a = M(x )и дисперсией s 2= D(x )для любого e > 0 справедливо неравенство

. (2.22)

Из неравенства Чебышева следует: чем меньше дисперсия, тем меньше вероятность отклонения случайной величины от своего математического ожидания более чем на e.

Теорема Чебышева(приводится без доказательства). Пусть {xn} - последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, имеющих конечные дисперсии. Тогда вероятность отклонения их среднего арифметического от их математического ожидания по модулю меньше чем на e стремится к 1 при неограниченном увеличении n.

(2.23)

В этом случае говорят, что среднее арифметическое случайных величин сходится по вероятности к среднему арифметическому математических ожиданий слагаемых.

Пример. Обычно при определении численного значения некоторой постоянной величины проводится несколько измерений и в качестве искомого значения принимается их среднее арифметическое. Действительно, результат каждого измерения можно рассматривать как случайные величины x1, ..., xn. Если результаты измерений независимы, имеют одно и то же математическое ожидание и их дисперсии ограничены одной и той же константой (что на практике обычно выполняется), то согласно теореме Чебышева среднее арифметическое сходится по вероятности к (истинному значению измеряемой величины).

 

Теорема Бернулли (следствие теоремы Чебышева).Эта теорема устанавливает связь между относительной частотой события n(A) и его вероятностью p(A). Пусть производится n независимых, однородных испытаний (схема Бернулли), в каждом из которых событие А может произойти с вероятностью p(A)=р. Введём в рассмотрение случайные величины x1, ... , xn- индикаторы испытаний. Напомним, что xiпринимает только два значения: a) 1, если в i -м испытании событие A наступило, b) 0 в противоположном случае. Ранее были найдены M(xi) = p и D(xi) = pq. Последовательность случайных величин {xi} удовлетворяет условиям теоремы Чебышева и поэтому

Остаётся отметить, что сумма равна числу появлений события A при n испытаниях, а значит, является относительной частотой, которую ранее обозначали через n(A).

Таким образом, при неограниченном увеличении числа испытаний относительная частота n(A) события A сходится по вероятности к P(A) - вероятности его появления при одном испытании. Это утверждение и является теоремой Бернулли.


<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Нормальное распределение. Нормальное распределение - распределение Гаусса играет особую роль в теории вероятностей и её приложениях | Центральная предельная теорема. Снова рассмотрим последовательность случайных величин {xi} и найдём закон распределения zn= x1+

Дата добавления: 2014-03-11; просмотров: 510; Нарушение авторских прав




Мы поможем в написании ваших работ!
lektsiopedia.org - Лекциопедия - 2013 год. | Страница сгенерирована за: 0.015 сек.