Эквивалентность

Импликация

Импликация[3] – это суждение, полученное из любых двух суждений посредством логического союза «если …, то …».

Примеры. «Если есть огонь, то есть дым», «Если число делится на 9, то оно делится на 3» и т.п.

Суждение, которому предпослано слово «если», называется основанием, или антецедентом[4]. Суждение, идущее после слова «то», называется следствием, или консеквентом[5]. Антецедент ‒ достаточное условие для консеквента, консеквент – необходимое условие для антецедента.

Логический союз «если ..., то ...» может выражаться с помощью различных языковых средств.

Пример. «Так как вода ‒ жидкость, она передает давление во все стороны равномерно».

Импликация не предполагает, что суждения А и В как-то связаны между собой по содержанию. В случае истинности В суждение «если А, то В» истинно независимо от того, является А истинным или ложным и связано оно по смыслу с В или нет.

Не может случиться так, чтобы основание было истинным, а следствие – ложным.

Только когда основание истинно, а следствие ложно, вся импликация ложна.

Примеры. Истинными считаются суждения: «Если на Солнце есть жизнь, то дважды два равно четырем», «Если Волга – озеро, то Токио – большой город» и т.п. К истинным относятся, к примеру, высказывания: «Если Солнце – куб, то Земля – треугольник», «Если дважды два равно пяти, то Токио ‒ маленький город» и т.п.

В обычном рассуждении все эти суждения вряд ли будут рассматриваться как имеющие смысл и еще в меньшей степени как истинные.

Будем обозначать импликацию символом «→». Таблица истинности для импликации такова.

Эквивалентность[6] – это суждение, которое получено из любых двух суждений при помощи логического союза «тогда и только тогда, когда …».

Эквивалентность распадается на две импликации: «если А, то В» и «если В, то А».

Пример. «Треугольник является равносторонним, если и только если он является равноугольным».

Логический союз «тогда и только тогда, когда …» может выражаться с помощью различных языковых средств: «..., если и только если ...», «... в том и только том случае, когда ... ».

Эквивалентность истинна тогда и только тогда, когда составляющие ее суждения оба истинны или оба ложны.

Соответственно, эквивалентность является ложной, когда одно из входящих в нее суждений истинно, а другое ложно.

Обозначим эквивалентность символом «↔».

С использованием введенной логической символики связь эквивалентности и импликации можно представить так:

«А ↔ В» означает «(А → В) ˄ (В → А)».

Пример. Суждение «Ромб является квадратом, если и только если все углы ромба прямые» означает «Если ромб есть квадрат, то все углы ромба прямые, и если все углы ромба прямые, то ромб есть квадрат».

Таблица истинности для эквивалентности такова.

В следующей таблице перечислены все шесть логических связок, которые были введены ранее.

Дата добавления: 2014-03-11; просмотров: 462; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!