Простейшие свойства кольца

Кольца

О. Кольцом называется алгебра с двумя алгебраическими операциями, называемыми сложением и умножением, если выполняются следующие свойства:

1) алгебра является абелевой группой, т.е.

а) сложение коммутативно и ассоциативно;

б) имеется нулевой элемент, обозначаемый через (и т.п.);

в) для каждого элемента в имеется противоположный ему элемент ;

2) умножение ассоциативно;

3) выполняется дистрибутивный закон умножения относительно сложения, т.е. для любых элементов имеют место равенства и .

Если умножение в кольце коммутативно, то кольцо называют коммутативным.

Если для умножения в кольце имеется единичный элемент, то кольцо называют кольцом с единицей. Единичный элемент обозначают через и т.п.).

Отметим, что в некоторых источниках существование единичного элемента включается в определение кольца (см., например, [3]).

О. Алгебру называют полукольцом, если в ней выполняются все условия определения кольца, за исключением существования противоположного элемента для произвольного элемента .

Примеры колец:

1. Непосредственно проверяется, что множество целых, рациональных и действительных чисел являются кольцами, но множество натуральных чисел не является кольцом, но является полукольцом.

2. Пусть - некоторое числовое кольцо. Таблицу вида , где , называют квадратичной матрицей второго порядка над или матрицей размерности и пишут .

Множество всех квадратных матриц второго порядка над кольцом будем обозначать через .

Две матрицы и называют равными, если , и пишут =.

На множестве введем операции сложения и умножения следующим образом:

+=и .

Очевидно, что указанные операции на этом множестве являются алгебраическими.

Покажем, что алгебра является кольцом с единицей. Действительно:

1) сложение ассоциативно и коммутативно, т.е. имеют место равенства

и

для любых матриц из ;

2) имеется нулевой элемент, а именно, нулевая матрица такая, что

;

3) для матрицы противоположной является матрица ;

4) умножение ассоциативно, т.е.

;

5) единичным элементом является единичная матрица, т.е. матрица , такая, что .

Выполнимость свойств 1-5 проверьте самостоятельно.

6) умножение матриц дистрибутивно относительно сложения, т.е. справедливы равенства:

и

.

Проверим только выполнимость первого равенства, выполнимость второго проверяется аналогично (проверьте самостоятельно). Подсчитаем отдельно левые и правые части равенства:

. (1)

. (2)

Правые части равенств (1) и (2) совпадают, стало быть, совпадают и левые части.

Итак, доказано, что является кольцом с единицей.

В качестве возьмем кольцо целых чисел и рассмотрим произведения матриц

и .

Этот пример показывает, что - некоммутативно, т.е. - в общем случае некоммутативное кольцо.

Так как число элементов кольца бесконечно, то и кольцо будет бесконечным.

Упр. 13. Найдите произведения матриц и , где .

Пусть - кольцо. Укажем некоторые его простейшие свойства:

1) для любых и из в нем разрешимо уравнение .

Действительно, существует , прибавим к обеим частям уравнения , тогда получим , но , где - нулевой элемент , или . Обычно вместо пишут и называют этот элемент разностью и . По определению разности имеет место равенство .

2) .

Действительно, или , получим . Докажите, что .

3) (распределительный закон умножения относительно вычитания).

Д.: или , к обеим частям прибавим , получим .

Аналогично доказывается, что .

Следствие. , т.к. .

4) Пусть - кольцо с , тогда существует и выполняется равенство .

Действительно, или, учитывая, что и , будем иметь .

5) Докажите, что имеют место равенства для любых :

а) ; б) ; в) .

Подкольца. Пусть - кольцо.

О. Подмножество кольца называется его подкольцом, если само является кольцом относительно операций, определенных в кольце .

Теорема (критерий подкольца). Подмножество кольца тогда и только тогда является его подкольцом, если выполняются следующие два условия:

1) для любых и из и , т.е. операции сложения и умножения замкнуты на ;

2) .

Необходимость и достаточность условий теоремы очевидны, докажите самостоятельно.

Упр. 14. Дано - кольцо квадратных матриц с элементами из числового кольца . Матрицу вида , , называют диагональными, а матрицу вида - верхнетреугольной. Докажите, что: а) множество всех диагональных матриц ; б) множество всех верхнетреугольных матриц являются подкольцами кольца .

Упр. 15. Докажите, что множество образует кольцо.

Упр. 16. Образует ли кольцо множество отрицательных целых чисел с добавлением нуля?

Дата добавления: 2014-03-11; просмотров: 614; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!