Студопедия

Главная страница Случайная лекция


Мы поможем в написании ваших работ!

Порталы:

БиологияВойнаГеографияИнформатикаИскусствоИсторияКультураЛингвистикаМатематикаМедицинаОхрана трудаПолитикаПравоПсихологияРелигияТехникаФизикаФилософияЭкономика



Мы поможем в написании ваших работ!




Математическая формулировка задачи

Читайте также:
  1. IV. СОВРЕМЕННЫЕ ЗАДАЧИ И ПЕРСПЕКТИВЫ РАЗВИТИЯ БИОТЕХНОЛОГИИ.
  2. Базисное решение задачи ЛП.
  3. Билет 2. Задачи и характеристика основных методов психологической науки.
  4. Боевые задачи
  5. БУХГАЛТЕРСКИЙ УЧЕТ ЕГО РОЛЬ И ЗАДАЧИ
  6. Виды диагностики, цель, задачи
  7. Виды инвентаризации. Цели, задачи, сходства и различия проведения инвентаризации
  8. Виды эксперимента в патопсихологии, задачи и специфика экспериментально - психологического исследования.
  9. Вопрос 1. Задачи и виды группировок
  10. Вопрос 1. Понятие и задачи КИВМИ

 

Линейное дифференциальное уравнение теплопроводности для тел классической формы при отсутствии внутренних источников теплоты имеет вид

,

где x1 – первая координата в ортогональной системе координат; k = 1, 2 или 3 – коэффициент формы тела; k – коэффициент температуропроводности.

Температурное поле будем находить в расчетной области, ограниченной осью симметрии тела и его внешней границей (см. рис. 1.2). Для выделения единственного решения данного уравнения зададим условия однозначности:

— размер расчетной области ;

— теплофизические свойства материала тела известны: a и λ;

— внутренние источники теплоты отсутствуют: ;

— начальные условия: Т (х1, 0)=Т0;

— граничные условия:

а) на внутренней границе из условия симметрии температурного поля следует, что ;

б) на внешней границе теплообмен определяется температурой окружающей среды Tf и коэффициентом теплоотдачи

.

Решением поставленной задачи будет температурное поле для заданных условий однозначности.

 

Рис. 3.1. К расчету температурного поля при ГУ III рода

 

В практике инженерных расчетов находят общее решение температурного поля в безразмерном виде в зависимости от безразмерного коэффициента теплоотдачи – критерия Био (Bi) в безразмерных точках пространства (X) в моменты времени Fo. В этом случае математическая формулировка задачи имеет вид:

.

Начальное условие

Граничные условия:

а) на внутренней границе ;

б) на внешней границе ,

где – безразмерная температура; – безразмерная координата; R – характерный или определяющий размер тела; – критерий Биó; λw – коэффициент теплопроводности твердого тела; – безразмерное время – критерий Фурье.

В результате решения задачи нестационарной теплопроводности, записанной в безразмерном виде, получаем функциональную зависимость . Для удобства анализа решения данную зависимость представляют графически для теплового центра и поверхности каждого тела в отдельности. Т.о. наиболее часто используют шесть графиков зависимости для конкретных значений k=1,2 и 3 в точках X=0 и X=1, которые приведены в учебниках по ТМО и в методических указаниях №1684. На рис. 3.2. показан общий вид номограммы расчета нестационарной теплопроводности в телах простейшей формы при граничных условиях III рода.

 

Рис.3.2. Номограмма для расчета нестационарной теплопроводности при ГУ III рода

 

При расчете нестационарной теплопроводности существует 2 основные постановки задачи: прямая и обратная. Целью решения прямой задачи является определение температурного поля (Θ) при заданных условиях однозначности (Fo, Bi). В результате решения обратной задачи теплопроводности по известному температурному полю (Θ) находят условия однозначности – время процесса теплопроводности или коэффициент теплоотдачи. Если по условию задачи заданы Θ и Bi, то по графику определяют критерий Fo, а затем время процесса. Если по условию задачи заданы Θ и Fo, то по графику определяют критерий Bi, по значению которого рассчитывают коэффициент теплоотдачи.

 

Прямая постановка задачи расчета нестационарной теплопроводности

Дано: , где – время нагрева или охлаждения тела

Найти: 1) температуру поверхности тела

2) температуру теплового центра тела

3) среднюю по массе температуру тела .

Алгоритм поставленной выше задачи заключается в следующем.

1. Перед началом расчета необходимо рассчитать размер расчетной области R, который для бесконечного цилиндра и шара равен радиусу тела, а для бесконечной пластины – при симметричном нагреве или охлаждении и, соответственно, , если теплообмен на одной из сторон пластины отсутствует – несимметричный процесс теплопроводности.

2. Рассчитываем критерии и по графикам для поверхности и теплового центра тела определяем безразмерные температуры поверхности и центра соответственно.

 

3. Находим температуры на поверхности и в центре тела. Т.к. по определению , то, выражая неизвестную температуру, получим , где Т = Тw, если и Т = Тс, если .

4) Рассчитываем среднюю по массе температуру тела в конце процесса теплопроводности. При допущении параболического распределения температуры по сечению тел простейшей формы формула для расчета среднемассовой температуры будет иметь вид:

,

где k – коэффициент формы тела; – перепад температур по сечению тела.

Обратная постановка задачи расчета нестационарной теплопроводности

А. Определение времени процесса нагрева/охлаждения

 

Дано:

Найти: 1) время процесса теплопроводности – ;

2) температуру теплового центра , либо температуру поверхности ;

3) среднюю по массе температуру тела .

 

Алгоритм поставленной выше задачи заключается в следующем.

1. Перед началом расчета необходимо рассчитать размер расчетной области R, который для бесконечного цилиндра и шара равен радиусу тела, а для бесконечной пластины – при симметричном нагреве или охлаждении и, соответственно, , если теплообмен на одной из сторон пластины отсутствует – несимметричный процесс теплопроводности.

2. Рассчитываем температурные критерии , либо в зависимости от исходных данных и критерий Bi. Затем по графикам или определяем критерий Фурье.

 

3. Рассчитываем время процесса по формуле .

4. Неизвестную температуру и среднемассовую температуру находим по алгоритму решения прямой задачи.

 

Б. Определение коэффициента теплоотдачи от внешней среды к поверхности тела

 

Дано:

Найти: 1) коэффициент теплоотдачи – ;

2) температуру теплового центра , либо температуру поверхности ;

3) среднюю по массе температуру тела .

 

Алгоритм поставленной выше задачи заключается в следующем.

1. Перед началом расчета необходимо рассчитать размер расчетной области R, который для бесконечного цилиндра и шара равен радиусу тела, а для бесконечной пластины – при симметричном нагреве или охлаждении и, соответственно, , если теплообмен на одной из сторон пластины отсутствует – несимметричный процесс теплопроводности.

2. Рассчитываем температурные критерии , либо в зависимости от исходных данных и критерий Fo. Затем по графикам или определяем критерий Био.

 

3. Рассчитываем коэффициент теплоотдачи по формуле .

4. Неизвестную температуру и среднемассовую температуру находим по алгоритму решения прямой задачи.

 


<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Тема 3. Нестационарная теплопроводность в телах простейшей формы | Стационарная теплопроводность в плоской и цилиндрической стенках

Дата добавления: 2014-03-11; просмотров: 398; Нарушение авторских прав




Мы поможем в написании ваших работ!
lektsiopedia.org - Лекциопедия - 2013 год. | Страница сгенерирована за: 0.004 сек.