![]() Главная страница Случайная лекция ![]() Мы поможем в написании ваших работ! Порталы: БиологияВойнаГеографияИнформатикаИскусствоИсторияКультураЛингвистикаМатематикаМедицинаОхрана трудаПолитикаПравоПсихологияРелигияТехникаФизикаФилософияЭкономика ![]() Мы поможем в написании ваших работ! |
Входная информация для самопроверки. Для изучения данной темы Вам необходимо восстановить в памятиДля изучения данной темы Вам необходимо восстановить в памяти: -из курса прикладной математики – разложение вектора по ортам; проектирование вектора на плоскость и ось; скалярное произведение векторов в векторной и линейной алгебре; определённый интеграл; -из настоящего спецкурса - понятия: пространства, оператора, последовательности, функциональной последовательности, предела, сходимости. 2.2. Содержание темы 2.2.1.Структурно-логическая схема содержания темы
При разработке численных методов возникает необходимость выразить какой-либо элемент некотрого пространства, искомый или заданный, через некоторые заранее выбранные элементы того же пространства. Для последующего использования эти элементы следует упорядочить, например, пронумеровать. В качестве примера можно привести разложение вектора на компоненты
Систему элементов Такую приближённую замену одного элемента другим называют аппроксимацией. Здесь мы будем рассматриватьтолько один вариант аппроксимации – линейную аппроксимацию, или аппроксимацию при помощи линейной комбинации заданных элементов линейного пространства (так как такая аппроксимация предусматривает умножение элементов на число и их сложение).
При изменении чисел
Говорят, что линейная оболочка порождена элементами Линейная оболочка является также линейным пространством, так как каждая линейная комбинация вместе с порождающими оболочку элементами принадлежит ей.
Возможны случаи, когда требуется установить, является ли линейно независимой бесконечная система элементов.(например, в пространстве
Обычно приближённое решение выбирается не из всех элементов пространства, а из некоторого их подмножества. Это подмножество должно быть пространством, одноимённым данному (метрическим, линейным, нормированным, и т.д.). В наиболее важных случаях, когда процесс решения должен порождать последовательности приближённых решений, оно должно содержать в себе пределы всех сходящихся последовательностей своих элементов. Эти подмножества называются подпространствами.
![]()
. . .
Нулевой элемент линейного протранства и само линейное пространство являются подпространствами этого пространства. Примеры подпространств. В трёхмерном пространстве элементарной геометрии, рассматриваемом как линейное пространство радиусов-векторов его точек, подпространствами являются трёхмерная область, плоскость, прямая; в метрическом пространстве, образованном функциями класса Все рассматривавшиеся линейные пространства, а также их подпространства 3.6, 3.7, 3.8 порождаются системами своих элементов.
![]() Так, известное из линейной алгебры пространство Для того, чтобы можно было выразить каждый элемент какого-либо линейного пространства в виде линейной комбинации элементов какой-то системы элементов этого пространства, нужно подчинить выбор этой системы элементов определённым условиям. Система элементов, удовлетворяющая таким условиям, называется базисом этого пространства. У каждого пространства таких базисов может быть бесконечно много. Каждое подпространство пространства, имеющего базис, ведёт себя, как всё пространство, в котором оно содержится, поэтому также имеет базис.
Примеры базисов конечномерных пространств.Базисом трёхмерного пространства элементарной геометрии может быть система его ортов Любой элемент конечномерного пространства может быть разложен в линейную комбинацию элементов базиса. Бесконечномерное пространство в общем случае может не иметь базиса. Если он всё же существует, он обязательно бесконечен. Для нас интересен случай, когда он счётен. Пространство
В этом смысле базис – полная система элементов любого нормированного пространства, в том числе – пространств Пространство, в котором можно указать конечный или счётный базаис, называется сепарабельным. Для нас важно, что пространство Примеры базисов бесконечномерных пространств. Базисом линейного пространства В некоторых случаях в Множество конечных линейных комбинаций элементов такого базиса плотно в Если из базиса какого-либо пространства вычеркнуть элемент, мы не сможем аппроксимировать с любой точностью любой элемент этого пространства. Если же к базису дописать ещё один элемент этого пространства, полученная система будет линейно зависимой, и этот элемент не добавит базису никаких новых возможностей (он итак позволял описать любой элемент пространства). В этом смысле базис может быть назван минимальной системой. Очень важную роль в прикладной математике играют базисы, которые называют ортогональными. Примерами ортогональных базисов являются: система ортов
Для ортогональной системы это означает, что в Почти всегда при численном решении краевых задач явно или без специального упоминания используется понятие проекции элемента в подпространство.
Говорят, что элемент Для применения очень мощных прямыхчисленных методов важно понятие энергетического произведения. Действительно, при формулировании этих методов требуется определять скалярное произведение
Можно доказать, что энергетическое произведение удовлетворяет определению скалярного произведения, попросту, также является скалярным призведением. Если на множестве
Энергетическая норма одновременно может служить (и является) обычной нормой и, в частности, может использоваться при определении сходимости последовательностей. Для построения численных методов необходимо, чтобы пространство, которому принадлежат все получаемые последовательности, было замкнутым (чтобы пределы всех получаемых последовательностей принадлежали тому же пространству). Поэтому принято добавлять: «Полученное евклидово пространство пополняем пределами всех его сходящихся последовательностей», хотя это не всегда легко осуществимо в численно анализе, но часто выполняется автоматически. Полученное замыкание Введенные определения скалярого произведения произведения, нормы и сходимости используются при построении численных методов решения краевых задач для дифференциальны уравнений строительной механики в обыкновенных и частных производных и анализе условий сходимости последовательности решений при при увеличении длины отрезка координатной системы, используемого для аппроксимации их решения.
Энергетическое пространство оператора Это понятие чрезвычайно важно для численных методов, так как используемые в них системы элементов должны принадлежать энергетическому пространству дифференциального оператора левой части дифференциального уравнения задачи. Кроме того, как мы позже увидим, эти системы должны быть полны в
Дата добавления: 2014-04-15; просмотров: 524; Нарушение авторских прав ![]() Мы поможем в написании ваших работ! |