![]() Главная страница Случайная лекция ![]() Мы поможем в написании ваших работ! Порталы: БиологияВойнаГеографияИнформатикаИскусствоИсторияКультураЛингвистикаМатематикаМедицинаОхрана трудаПолитикаПравоПсихологияРелигияТехникаФизикаФилософияЭкономика ![]() Мы поможем в написании ваших работ! |
Входная информация для самопроверки. Для изучения данной темы Вам необходимо восстановить в памятиДля изучения данной темы Вам необходимо восстановить в памяти: - из курса прикладной математики - понятия линейной алгебры, числовой последовательности, функциональной последовательности, предела; -из настоящего спецкурса - понятия: пространства, метрического пространства; расстояния; фундаментальной последовательности; полноты пространства; оператора, линейного оператора. 4.2. Содержание темы
Тематическое содержание Как упоминалось в лекции ММ-1, при значительных абсолютных и относительных деформациях (или напряжениях) проявляются нелинейности различной природы – физическая нелинейность, геометрическая нелинейность и нелинейность уравнений равновесия; кроме того, в ряде случаев независимо от уровня деформаций имеет место ещё один, достаточно специфический, вид нелинейности – конструктивная нелинейность. В результате математическая модель деформирования конструкции (системы конструкций) становится нелинейной, что предопределяет необходимость применения специальных методов анализа таких моделей (решения соответствующих нелинейных уравнений или систем таких уравнений). Эти методы, как правило, предусматривают совместное выполнение двух приёмов: сведение исходной нелинейной задачи к последовательности линейных задач и дискретизацию континуальной задачи. Для усвоения этих методов вначале необходимо ознакомиться с распространёнными стандартными методами аппроксимации и линеаризации, реализуемыми раздельно, независимо друг от друга. При этом для нас представляет интерес только линеаризация, осуществляемая с применением итераций, или последовательных приближений. Идея любого итерационного метода заключается в следующем. 1. В области
где Оператор
Пространство Далее следует убедиться, что в этой области уравнение имеет единственный корень, либо разбить область 2. В каждой подобласти некоторого пространства, в которой разыскивается приближённое решение, выбирается «нулевое приближение» - первый элемент последовательности решений. Это достаточно трудная задача, так как он должен быть достаточно близок к точному решению, которое неизвестно. Обычно (но не всегда!) существует некоторая область, включающая точное решение, из любой точки которой может стартовать вычислительный процесс, порождающий сходящуюся к точному решению последовательность приближённых решений. Эта область называется областью сходимости данного точного решения. 3. Организуется вычислительный процесс, порождающий последовательность линейных задач и соответствующую последовательность приближённых решений
причём на первом шаге Обозначение Следовательно, эти задачи линейны, так как Все вычисления при фиксированном значении В редких случаях удаётся на каждой итерации найти в замкнутом виде оператор, обратный оператору На каждой итерации проверяется выполнение условия выхода из итерационного цикла– некоторая оценка погрешности(см. лекцию ММ-1) не должна превышать определённую заранее допустимую величину. Обычно такая оценка погрешности выражается через расстояние между двумя последовательными итерациями (для нас это понятие совпадает с понятием нормы их разности), которое легко определяется в процессе счёта. Как указывалось в лекции ММ-1, такое сведение нелинейной задачи к последовательности линейных задач (и их решений) называется линеаризацией. Алгоритм такого счёта иногда называется итерационной схемой. Может быть предложено множество различных итерационных схем, причём каждая из них имеет свою область применения и не может быть применена вне пределов этой области. Такая область применения устанавливается заранее (обычно, математиками – специалистами в конкретной области вычислительной математики) и формулируются в виде условий (обычно неравенств), накладываемых на функции, записанные в правой части уравнений, на область, в которой разыскивается решение и т.д.
Настоящая лекция посвящена простейшему методу линеаризации – методу простых итераций. Этот метод предназначен непосредственно для решения нелинейных задач разнообразной природы, однако операторное представление этих уравнений должно иметь специальный вид
где Идея метода чрезвычайно проста. Выбирается начальное приближение
Для метода простых итераций установлены достаточно общие условия, обеспечивающие сходимость последовательности решений линейных задач (иначе – условия сходимости итерационного процесса, или условия сходимости метода), порождаемых этим методом, к точному решению задачи (7.1). Благодаря отмеченной выше возможности сведения разнообразных задач к виду (7.1) возможен анализ условий сходимости различных методов линеаризации на базе отмеченных выше общих условий сходимости метода простых итераций. Вначале введём некоторые определения. Пусть мы нашли решение уравнения (4.3), то - есть, такой элемент
![]()
Для того, чтобы метод простых итераций сходился, необходимо выполнение определённых условий. В общем случае это условие достаточно неопределённо:
![]()
Условия сходимости метода простых итераций, установленные Банахом, содержат требования к оператору задачи
к оператору задачи
Иногда Теперь мы можем сформулировать теорему Банаха о неподвижной точке в метрическом пространстве Теорема Банаха. Пусть
Лемма.
Доказательство леммы. Умножим левую часть (4.4) на
(здесь в первых скобках записана первая сумма, во вторых скобках – вторая). Разделив теперь первое и последнее выражения на Доказательство теоремы. По условию теоремы, заданное пространство – полное. Следовательно, для того, чтобы установить наличие предела, достаточно доказать, что последовательность
Дадим оценку расстояния между двумя последовательными элементами
Итак,
Подставляя (7.4) в (7.3), получим
Используя доказанное в лемме равенство (4.4) для вычисления
Теперь мы можем проверить, является ли при выполнении условий теоремы последовательность
Таким образом, последовательность приближённых решений Таким образом, мы установили существование неподвижной точки и возможность её определения методом простых итераций. Единственность такой точки можно установить следующим образом. Пусть оператор сжатия
При Добавления. 1. 2. Оценка погрешности
где 3. Из (4.10) легко получить количество итераций, гарантирующее, что погрешность не будет превосходить заданную величину
4. В ряде случаев может быть более эффективной проверка такого признака, который легко прослеживать на каждой итерации. Такой признак может быть установлен на основании (4.6)
и оценки (4.10) в сочетании с требованием
Из (4.13) непосредственно следует
Подставляя (4.14) в (4.12), получим искомое условие выхода из цикла, использующее расстояние между двумя последовательными приближениями, контроль которого во время вычислений осуществляется наиболее легко
Анализ приведенных условий выхода из цикла показывает, что чем меньше
Если необходимо решить нелинейное уравнение, то – есть, уравнение (4.3) имеет вид
где
где Тогда для каждого
При
где Для всего отрезка
Тогда условие выхода из цикла (4.15) приводится к виду
В случае решения одного нелинейного уравнения возможны два варианта модификации теоремы Банаха. Вариант 1. Пусть на В этом варианте итерационный процесс стартует с левого конца области поиска решения. Вариант 2 отличается: а) областью поиска (она расположена слева от начального приближения: В случае, если решается система
или в компактной векторно – матричной записи
где Исходя из этого, введём в рассмотрение матрицу Якобиуказанной выше совокупности функций
Другое обозначение матрицы Якоби
По
Теперь по аналогии со случаем одного уравнения заменим производные (то - есть, тоже функции) максимумами их модулей
Таким образом, мы вместо одного числа, которому можно было бы приписать роль константы Липшица, имеем Для преодоления этой трудности нам потребуется ввести понятие нормы матрицы. Здесь для нас важна роль матрицы как оператора
Поэтому дадим вначале более общее понятие нормы линейного оператора.
![]() Поскольку в определении нормы оператора участвует понятие нормы элемента
если норма вектора
если норма вектора можно применять два варианта определения нормы матрицы
1) норма Шмидта (иногда называется евклидовой, а также сферической)
2) спектральная норма – определяется как наибольшее собственное число матрицы Теперь мы можем определить константу Липшица для матрицы - оператора
Из определения расстояния, нормы вектора и нормы оператора, а также приведенных способов определения нормы матрицы легко усмотреть, что (4.30) действительно задаёт константу Липшица оператора Решение системы (4.22) методом простых итераций заключается в многократном повторении вычислений по формуле
где При решении системы (4.22) возможна модификация метода, сходная с методом Зейделя решения систем линейных алгебраических уравнений
Смысл этой модификации состоит в том, что на каждой Пример. Требуется найти решение системы
с допустимой погрешностью 1. Локализуем корень системы. Из первого уравнения и неравенств 2. Определим оценку константы Липшица, установим возможность применения метода и определим условие прекращения вычислений:
Следовательно, Итак, применение метода простых итераций возможно. Условие выхода из цикла 3. Назначим начальное приближение (трудоёмкие прикидки отвлекли бы нас от основной идеи лекции, поэтому опущены): 4. Организуем модифицированный итерационный цикл
Следовательно, решение
4.3. Критерии усвоения После изучения содержания данной темы Вы должны: ·
как решаются методом простых итераций нелинейные уравнения и системы нелинейных уравнений; каким условиям должны удовлетворять уравнения для того, чтобы их можно было решать методомпростых итераций; как контролируется погрешность очередной итерации; · понимать роль каждого условия применения метода; смысл алгоритма решения на каждой итерации; · Уметь применять метод простых итераций для решения нелинейных уравнений и их систем..
4.4. Выход темы в другие темы и дисциплины Данная тема имеет выход в дипломные, магистерские и диссертационные работы. 4.5. Тест - контроль для самопроверки 4.1. Что называется линеаризацией нелинейной задачи? А. Следующая последовательность процедур: 1. Проверка выполнения условий применения данной итерационной схемы. 2. Разделение корней (выделение подобластей, включающих единственный корень) и выбор нулевых приближений для каждой подобласти.. 3. Выполнение итераций, включающих - формулирование линейной задачи - решение этой задачи с использованием результатов предыдущей итерации (предыдущих итераций); - проверка условий выхода из итерационного цикла; - при выполнении указанных условий – выход из цикла. Б. Формулирование линейной задачи В. Формулирование и решение линейной задачи Г. Преобразование нелинейной задачи в линейную задачу. 4.2. Что называется неподвижной точкой оператора? А. Наименьшее из таких чисел
где Б. Элемент В. Элемент Г. Элемент 4.3. Что такое область сходимости неподвижной точки оператора А. Область Б. Область В. Множество всех элементов
Г. Множество всех элементов 4.4. Что называется оператором сжатия? А. Оператор Б. Оператор В. Оператор Г. Оператор 4.5. Что называется методом простых итераций? А. Следующая последовательность вычислительных процедур. 1. Проверка возможности использования метода. 2. Выбор начальной точки. 3. Последовательное выполнение итераций, причём любая 4. Условия выхода из цикла могут иметь следующий вид:
Б. Следующая последовательность вычислительных процедур: 1. Проверка возможности использования метода. 2. Выбор начальной точки. 3. Последовательное выполнение итераций, причём любая 4. Условия выхода из цикла могут иметь следующий вид:
В. Следующая последовательность вычислительных процедур: 1. Проверка возможности использования метода. 2. Выбор начальной точки. 3. Последовательное выполнение итераций, причём любая 4. Условия выхода из цикла могут иметь следующий вид:
Г. Следующая последовательность вычислительных процедур: 1. Проверка возможности использования метода. 2. Выбор начальной точки. 3. Последовательное выполнение итераций, причём любая 4. Условия выхода из цикла могут иметь следующий вид:
![]() ![]()
А. Следующая последовательность процедур: 1. Проверка выполнения условий применения данной итерационной схемы. 2. Разделение корней (выделение подобластей, включающих единственный корень) и выбор нулевых приближений для каждой подобласти.. 3. Выполнение итераций, включающих - формулирование линейной задачи - решение этой задачи с использованием результатов предыдущей итерации (предыдущих итераций); - проверка условий выхода из итерационного цикла; - при выполнении указанных условий – выход из цикла
Дата добавления: 2014-04-15; просмотров: 404; Нарушение авторских прав ![]() Мы поможем в написании ваших работ! |