Входная информация для самопроверки. Для изучения данной темы Вам необходимо восстановить в памяти

Для изучения данной темы Вам необходимо восстановить в памяти:

:- из курса прикладной математики- решение однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, в случае, когда его характеристическое уравнение имеет комплексно-сопряженные корни; определение собственного значения и собственной функции дифференциального уравнения, полная система ортогональных функций;

- из настоящего спецкурса – ортогональные функции.

9.2. Содержание темы.

9.2.1. Структурно – логическая схема содержания темы

Тематическое содержание.

К чимслу задач сопротивления материалов,помимо расчетов на прочность и жесткость, относятся также расчеты на устойчивость. Расчет на устойчивость имеет первостепенное значение для тех элементов конструкций, которые представляют собой сравнительно длинные и тонкие стержни, тонкие пластины и оболочки.

В механике равновесие называют устойчивым, если при любом малом отклонении от положения равновесия тело возвращается в исходное положение при устранении причины, вызывающей это отклонение. Равновесие называют неустойчивым, если при любом малом отклонении от положения равновесия тело не возвращается в исходное положение, а все далее отклоняется от него.

В сопротивлении материалов, т.е. в механике деформируемого тела, основным является установление зависимости вида равновесия от величины сил, действующих на элемент конструкции.

Рассмотрим сравнительно длинный и тонкий прямолинейный стержень длиной l. Стержень защемлен одним концом, а другой конец стержня свободен. На свободный конец в центре тяжести концевого сечения действует сжимающая сила , направленная вдоль оси стержня. Допустим, что главные оси инерции всех сечений стержня лежат в двух фиксированных направлениях.

Рис. 9.1. Продольный изгиб стержня, защемленного на одном конце и свободного на другом.

Если приложить к стержню поперечную нагрузку, т.е. слегка изогнуть его, то при малых значениях сжимающей силы после снятия поперечной нагрузки стержень вернется в прямолинейное состояние. Это значит, что прямолинейная форма равновесия оси стержня устойчива. При большем значении сжимающей силы слегка изогнутый поперечной нагрузкой стержень после ее устранения “ медленнее “ возвращается в прямолинейное положение. Но всеже прямолинейная форма равновесия еще устойчива. Наконец, при некотором значении сжимающей силы прямолинейная форма равновесия оси стержня становится неустойчивой и возникает новая устойчивая форма равновесия – криволинейная. Происходит выпучивание стержня. Существенно, что при достижении сжимающей силы того значения ( критического ), при котором прямолинейная форма равновесия оси стержня становится неустойчивой, для перехода к криволирейной форме нет надобности прикладывать к стержню поперечную нагрузку, и изгиб стержня происходит без видимых внешних причин. Изгиб стержня, связанный с потерей устойчивости прямолинейной формы его равновесия, называют продольным изгибом.

Рассмотрим вопрос о велечине критической силы сжатого стержня один конец которого защемлен, а второй свободен ( рис. 9.1 ). Пусть стержень находится в несколько изогнутом состоянии. На рис. 9.1 это положение изображено пунктирной линией.

Упругой линией ( кривой изгиба ) в сопротивлении материалов называется кривая y=f(z), которую принимает нейтральный слой, т.е. слой, в котором волокна стержня не деформируются ( не растягиваются и не сжимаются ) под действием сил. Прогибом стержня называется ордината упругой линии в рассматриваемом сечении.

Выберем систему координат, как показано на рис.9.1. Из курса сопротивления материалов известно, что радиус кривизны ρ упругой линии для стержня любого сечения равен:

,

где E – модуль упругости стержня, J – момент инерции поперечного сечения стержня относительно нейтральной оси ( нейтральная ось – прямая пересечения нейтрального слоя с плоскостью данного сечения ), M – изгибающий момент для данного сечения, равный алгебраической сумме моментов относительно нейтральной оси всех внешних сил, приложенных к стержню. Так как изгибы стержней обычно малы, то упругая линия мало отклоняется от оси z и в любой ее точке угловой коэффициент касательной y′(z) весьма мал. Поэтому в выражении для радиуса кривизны

величиной можно пренебречь и для упругой линии получим дифференциальное уравнение

.

В рассматриваемом случае абсолютная величина изгибающего момента в произвольном сечении стержня равна и дифференциальное уравнение изогнутой оси стержня имеет вид:

. ( 9.1 )

Знак минус поставлен потому, что независимо от выбора положительного направления оси O y

Знаки кривизны и ординаты прогиба y противоположны.

Рассмотрим случай постоянного поперечного сечения EJ=const и положим . Тогда дифференциальное уравнение ( 9.1 ) примет вид:

. ( 9.2 )

Это однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Его характеристическое уравнение имеет пару комплексно-сопряженных корней и решение уравнения ( 9.2 ) имеет вид:

,

где A и B – постоянные интегрирования, которые определяются из граничных условий.

Рассмотрим граничные условия, которые зависят от способа закрепления стержня и в данном случае они имеют вид:

, .

. Из условия следует, что А=0. Второе граничное условие дает

.

От сюда следует три случая:

1. , то есть P =0 - нагрузка отсутствует;
2. , тогда. Это решение соответствует прямолинейному положению равновесия;

1. , то есть. Данным значениям k соответствуют критические нагружения

и каждому из этих специальных значений соответствует определенная функция прогиба .

Таким образом, математически задача формулируется в следующем виде: рассматривается линейное однородное дифференциальное уравнение

с однородными граничными условиями . Требуется найти такие значения , при которых задача имеет нетривиальное решение. Эти значения называются собственными значениями и для каждого собственного значения есть собственная функция .

К подобного рода проблемам приводятся задачи: о продольно сжатом стержне на упругом основании; о потере устойчивости консольной балки при изгибе; о сжатии и кручении вала; о выпячивании круговой арки; об изгибных колебаниях стержня; о крутильных колебаниях диска и т.д.

Если объединить выше перечислены примеры, то можно сформулировать математическую задачу на собственные значения дифференциального уравнения в следующем виде.

Рассматривается дифференциальное уравнение вида

где и G(y) – линейно- однородные обыкновенные дифференциальные уравнения вида

и 2n линейных однородных относительно значений y и ее производных в двух фиксированных точках a и b граничных условия

где и действительные, не равные нулю одновременно постоянные. Граничные условия должны быть линейно-независимые. Требуется определить, при каких значениях эта задача имеет не нулевое решение.

В частности, при n=1 , , m=0 , , j=2, a=0 , b=l , , , , , , , , имеем классическую задачу о продольном изгибе упругого стержня, защемленного на одном конце.

На практике аналитическое решение поставленной задачи очень сложно получить. Поэтому рассмотрим наиболее часто употребляемые численные методы решения задачи на собственные значения и собственные решения.

Дата добавления: 2014-04-15; просмотров: 411; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!