Выражение условия совместности деформаций через напряжения

Продифференцируем первое выражение закона Гука два раза по x, второе два раза по y и третье по x и y. Получим следующие выражения

,

,

,

Подставим полученные производные в уравнение совместности деформаций.

После сокращения на общий множитель получим

(а)

Полученное уравнение является уравнением совместности деформаций в напряжениях. Чтобы исключить из этого выражения касательные напряжения, используем дифференциальные уравнения равновесия, дифференцируя первое по x, второе - по y.

,

Складывая продифференцированные уравнения равновесия, выразим из них касательное напряжение

Подставим полученное выражение в (а)

,

которое после преобразований можно записать в виде

Получили окончательное уравнение совместности деформаций в напряжениях или уравнение Мориса Леви.