Метод разделения переменных исследования устойчивости разностных схем

Внешнеэкономическая деятельность на всех этапах развития России оказывала влияние на решение экономических проблем как на уровне народного хозяйства в целом, так и на уровне отдельных регионов, предприятий и организаций.

Либерализация внешнеэкономической деятельности – одно из важнейших направлений реформирования экономики , проводимой с 1986 г. Союзным правительством, а с 1992 г. Российским. До этого в течение длительного периода времени внешнеэкономические связи рассматривались на государственном уровне как явления вынужденное ,влияние которого по возможности должно быть минимальным.

Реформа внешнеэкономической деятельности в СССР началась 1886 года. Именно в этот период были сделаны первые шаги по расширению прав министерств, ведомств, предприятий и организаций, по самостоятельному выходу их на внешний рынок, углублению экономической заинтересованности во внешнеэкономической деятельности. Постановление ЦК КПСС и Совета Министров СССР от 19.08.86 г. №991 « О мерах по совершенствованию управления внешнеэкономическими связями» была создана Государственная внешнеэкономическая комиссия при Совете Министров СССР, на которую были возложены задачи по координации деятельности внешнеэкономического комплекса страны. В соответствии с этим постановлением было предоставлено право непосредственного осуществления экспортно-импортных операций более 20 министерствам, ведомства СССР и союзных республик, а также крупнейшим объединением и предприятиям, которые имели условия для значительных поставок на экспорт высококачественной продукции.

Следующим шагом, направленным на развитие торгово-экономического сотрудничества, были постановления Совета Министров СССР от 13.01.87 г. №48 ,49 в соответствии с которыми юридические лица на территории СССР получили возможность создавать совместные предприятия с участием иностранных фирм. Позднее Совет Министров СССР постановлением № 412 от 16.05.89 г. « О развитии хозяйственной деятельности советских организаций за рубежом» разрешил юридическим лицам СССР создавать предприятия (с участием иностранного капитала или без него) на территории зарубежных стран. В результате предоставления права всем предприятиям и организациям с 1 апреля 1989 г. Самостоятельного выхода на внешний рынок и ведения на нем оперативно-коммерческой деятельности главным звеном внешнеэкономического комплекса СССР стало предприятие (организация).

Это право было предоставлено постановлением Совета Министров СССР от 2 декабря 1988 г. №1465 «О дальнейшем развитии внешнеэкономической деятельности государственных, кооперативных и иных общественных предприятий, организаций и объединений».

Таким образом, практически любое государственное и кооперативное предприятие могло выйти на внешний рынок.

В основе осуществления экспортно-импортных операций с самого начала был заложен принцип валютной самоокупаемости во внешнеэкономической деятельности. В соответствии с вышеназванным постановлением от 7 марта 1989 г. №203 « О мерах государственного регулирования внешнеэкономической деятельности» был установлен следующий порядок государственного регулирования внешнеэкономической деятельности:

1. Регистрация участника внешнеэкономических связей;

2. Декларирование товаров и иного имущества, перемещаемых через государственную границу СССР;

3. Оперативные регулирования внешнеэкономических связей;

4. Контроль экспорта и импорта товаров общегосударственного назначения, включающий квотирование и лицензирование.

Стремление многих предприятий и организаций к самостоятельному выходу на внешний рынок имело массовый характер и привело к хаотичному экспорту из страны ряда товаров, например, угля, металлолома, макулатуры, древесины, цветных и редких металлов, что вызвало в стране их нехватку и резкое падение цен на зарубежных рынках в связи с множественностью советских экспортеров, их неоправданной конкуренцией и продажей продукции по демпинговым ценам .Поэтому Правительством СССР был подготовлен перечень лицензируемых товаров на 1989 – 1990 годы, который охватывал более 90 % стоимости советского экспорта и около 8% импорта.

Основы становления новой системы государственного регулирования внешнеэкономических связей в России были заложены указом Президента «О либерализации внешнеэкономической деятельности на территории РСФСР» от 15 ноября 1991 г.№213.

Прежде всего, указ отменил специальную регистрацию предприятий и организаций в качестве участников внешнеэкономической деятельности, в том числе и для осуществления посреднической деятельности, которая была обязательной последние три года. Российские предприятия независимо от форм собственности получили право осуществлять внешнеэкономическую деятельность с момента их создания.

12 декабря 1993 года на Всенародном референдуме принята Конституция РФ, которая закрепила разграничение полномочий в области ВЭД между государством, регионами и предприятиями.

В 1993 году был введен в действие Таможенный Кодекс РФ и принят Закон «О таможенном тарифе», что стало началом перехода на тарифные методы регулирования ВЭД.

В 1995 году на основании Указа президента РФ №245 от 6 марта « Об основных принципах осуществления внешнеторговой деятельности в РФ» подготовлен и введен в действие ФЗ « О государственном регулировании внешнеторговой деятельности». Внешнеэкономический механизм основывается на тарифных методах регулирования с сохранением ограниченного использования нетарифных методов в отношении ряда товаров. Формируется современная система стимулирования кредитования и страхования экспорта, ведется работа по обеспечению конвертируемости национальной валюты, созданию благоприятных условий для притока иностранных инвестиций в Российскую экономику.

В Советский период руководство сферы внешних и экономических связей осуществлялось Министерством внешней торговли СССР, в ведении которого находились экспортно-импортные операции, и Государственным комитетом СССР по внешним экономическим связям, ответственным за научно-техническое содействие с зарубежными странами. Такая структура была по-своему логичной. Предприятия не обладали правом самостоятельно выходить на мировой рынок, не имели валютных счетов и не были объективно заинтересованы в развитии контактов с зарубежными компаниями и фирмами. В то же время во внешних экономических связях большую роль играли идеологические соображения: экономическое и техническое сотрудничество с социалистическими и развивающимися странами имело приоритетное значение.

Россия унаследовала от СССР механизм внешних экономических связей, однако в него со временем были внесены существенные коррективы.

В 1991 году перестала существовать общесоюзная система централизованного планирования экспорта и импорта. Изменилась институциональная структура участников регулирования внешнеэкономических отношений.

В 90-х годах ХХ в. руководство внешними экономическими связями России осуществлялось Министерством внешних экономических связей РФ, которое обеспечивало разработку и реализацию государственной внешнеэкономической политики, координацию и регулирование внешней торговли.

Постепенное утверждение в экономике России рыночных отношений и становления процесса открытости российской экономики привели к существенному сближению внутренней и внешней составляющих экономической политики. В этих условиях существование особого министерства, руководящего сферой внешнеэкономических связей, утратило свой прежний смысл. Поэтому в 1998 году Министерство внешних экономических связей и торговли РФ было упразднено, а его функции переданы вновь образованному Министерству торговли РФ и Министерству экономики РФ.

В течение непродолжительного времени Министерство торговли РФ (Минторг РФ) занималось разработкой и реализацией единой государственной торговой политики, осуществляло управление в области внешнеторговой деятельности, торгово-экономических связей и военно-технического сотрудничества с иностранными государствами. Особая функция Минторга РФ состояла в проведении расследований, предшествующих введению специальных защитных, антидемпинговых и компенсационных мер.

Министерство экономики РФ в рамках своих полномочий должно было участвовать в разработке предложений по формированию внешнеэкономической политики, развитию и совершенствованию механизма государственного регулирования внешнеэкономических связей, налаживанию взаимовыгодного экономического и научно-технического сотрудничества с иностранными государствами, международными организациями и осуществлению совместных проектов и программ, а также принимать участие в составлении платежного баланса России.

Таким образом, вопросы внешней торговли и внешнеэкономической политики снова оказались раздробленными , что не способствовало получению положительных результатов.

В 2000 году оба министерства были упразднены, а их полномочия частично переданы вновь образованному министерству экономического развития и торговли РФ (Минэкономразвития РФ).

В настоящее время, начиная с 2008 года, вопросами внешнеэкономической деятельности занимаются Министерство промышленности и торговли РФ и Министерство экономического развития РФ.

Деятельность российских субъектов внешнеэкономических отношений регулируются положениями Конституции РФ, Таможенным Кодексом РФ 1993 г., Законом о таможенном тарифе 1993 года и др. нормативными актами. Общее регулирование внешнеэкономической деятельности осуществляет правительство РФ.

За годы реформирования в России создана определенная база для осуществления внешнеэкономической деятельности в рыночных условиях.

Метод разделения переменных исследования устойчивости разностных схем

Этот метод применяется для строгого обоснования устойчивости многих линейных схем и нестрогого, но плодотворного исследования большинства нелинейных задач, возникающих в практике вычислений. При его помощи устанавливается устойчивость в

Рассмотрим применение метода к линейным двуслойным схемам, записанным в канонической форме

(29.4)

где В и А – некоторые разностные операторы, действующие на у (или ) как на функцию пространственной переменной. Например, для явной схемы для уравнения теплопроводности имеем

При фиксированной правой части погрешность решения удовлетворяет однородному уравнению

. (29.5)

Будем искать для этого уравнения частное решение с разделяющимися переменными

. (29.6)

При этом так что - есть множитель роста q-й гармоники при переходе со слоя на слой. Подставляя (29.6) в (29.5), получим уравнение для определения . (29.7)

Будем считать, что схема (29.4) имеет постоянные коэффициенты и задана на равномерной сетке. Тогда уравнение (29.7) после сокращения множителя exp(iqx) не будет зависеть от координаты х (или от ее индекса n). Следовательно величина не будет зависеть от х или t.

Признак устойчивости. Схема (29.4) с постоянными коэффициентами устойчива по начальным данным, если для всех q выполняется неравенство

(29.8)

Доказательство. Система функций полна и ортогональна на равномерной сетке Разложим произвольную ошибку начальных данных в ряд Фурье по этой системе

= .

Поскольку для линейного уравнения (29.4) справедлив принцип суперпозиции, то метод разделения переменных дает для ошибки на слое t_m следующее выражение

= .

Используя ортогональность гармоник, получаем отсюда

При помощи условия (это условие теоремы) преобразуем это неравенство к виду

что совпадает с признаком устойчивости по начальным данным

Утверждение доказано.

Замечание 1. Из признака устойчивости (29.8) и условия æ/ следует устойчивость схемы по правой части в

Замечание 2. Фактически константа с в (29.8) не должна быть большой, иначе устойчивость будет слабой. Поэтому при проверке этого признака обычно полагают с = 0.

Признак неустойчивости. Если хотя бы для одного q величину нельзя мажорировать величиной , то схема (29.4) неустойчива.

Доказательство. Пусть в начальных данных имеется ошибка вида с данным q. Тогда к моменту она возрастет в раз, что по модулю больше величины при сколь угодно большом с. Неограниченный рост ошибки означает неустойчивость схемы.

Пример. Исследуем устойчивость явной схемы

для уравнения теплопроводности. Для этой схемы уравнение

(29.7) примет вид

Отсюда вытекает, что множитель роста

Тогда уравнение с учетом замечания 2 (т.е. условия с = 0) приобретает вид Это неравенство выполняется для любого q, если

то есть или .

Таким образом, явная схема устойчива условно.

Сходимость разностных схем

Основная теорема. В этом пункте мы рассмотрим задачу для дифференциальных уравнений с граничными условиями

которая на сетке, состоящей из множества регулярных узлов и множества нерегулярных узлов аппроксимирована разностной схемой

(30.10)

В конечном итоге нас будет интересовать близость разностного решения у(х) к точному решению u(x), поскольку у(х) определено только на сетке + то сравнивать эти решения надо в сеточной норме.

Определение. Разностное решение у(х) сходится к решению u(x) задачи (30.9), если при (30.11)

разностное решение имеет порядок р, если при

(30.12)

Анализируя сходимость схемы ломаных для обыкновенного дифференциального уравнения, мы видели, что погрешность решения вызвана погрешностью начальных данных и погрешностью аппроксимации, усиливающимися (или ослабляющимися) в ходе расчета. Интуитивно ясно, что для хорошей точности расчета достаточно, чтобы эти погрешности были малы и в ходе расчета не сильно возрастали.

Определение. Разностная схема (30.10) корректна, если ее решение существует и единственно при любых входных данных и , принадлежащих заданным классам функций, и схема устойчива.

Теорема. Если решение дифференциальной задачи существует, разностная схема (30.10) корректна и аппроксимирует дифференциальную задачу (30.9) на данном решении, то разностное решение сходится к точному.

Доказательство. Напишем цепочку преобразований

где есть, по определению, невязка разностной схемы. Делая аналогичное преобразование для краевых условий, получим

(30.13)

Равенства (30.13) представляют собой схему (30.10) с правыми частями, измененными на величину невязки. Поскольку разностная схема устойчива, то для любого найдется такое что если

В силу аппроксимации для любого найдется такое что при .

Следовательно, для любого > 0 найдется такое что при .

Сходимость доказана.

(Эту теорему кратко формулируют так: «Из аппроксимации и устойчивости следует сходимость»).

Замечание 1. Некоторые начальные или граничные условия аппроксимируются точно; примером являются граничные условия первого рода если узел х_N сетки расположен на границе х = а. Устойчивости по таким условиям можно не требовать, ибо никакой ошибки в расчет они не вносят (кроме ошибки округления).

Устойчивость по правой части требуется почти во всех случаях, поскольку погрешность аппроксимации в (30.13) эквивалентна некоторой погрешности правой части.

Замечание 2. Аппроксимацию часто проверяют не на решениях дифференциальной задачи (30.9), а на некотором широком классе функций, которому принадлежит решение (обычно на классе функций, непрерывных и ограниченных вместе с некоторым числом своих производных).

Ясно, что если на всех функциях этого класса имеется аппроксимация порядка р, то аппроксимация на решении имеет порядок не ниже р. Так вот из этого замечания следует, что такая аппроксимация достаточна для доказательства теоремы о сходимости.

Замечание 3. При исследовании аппроксимации и устойчивости конкретных разностных схем нередко используют разные нормы для одной и той же функции. Например, при установлении локальной аппроксимации для берется , а при спектральном исследовании устойчивости - . Доказательство сходимости в этом случае справедливо, только если аппроксимация установлена в нормах более сильных (или тех же самых), чем нормы, использованные для правых частей в определении устойчивости.

Замечание 4. Если аппроксимация или устойчивость условные, то сходимость имеет место при выполнении условий устойчивости и аппроксимации (т.е. при определенных соотношениях между шагами по разным переменным).

Замечание 5. Устойчивость является, как не трудно убедиться, необходимым условием сходимости. В самом деле, если схема неустойчива, то найдутся такие сколь угодно малые ошибки входных данных, которым соответствует значительная погрешность решения. Сходимости при этом быть не может.

Дата добавления: 2014-07-30; просмотров: 555; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!