Системы эконометрических уравнений

5.1. Структурная и приведенная формы модели

Экономические процессы и явления, как правило, представляют собой сложные системы, характеризующиеся большим количеством параметров и

сложными взаимосвязями. Использование отдельных изолированных уравнений регрессии для исследования экономических процессов является сильным упрощением. Оно предполагает, что факторы можно изменять независимо друг от друга и что изменение зависимой переменной (результативного признака) никак ни влияет на поведение изучаемой системы. В случае сложных экономических систем такое предположение, как правило, не может быть выполнено, так как изменение какого-либо признака повлечет за собой изменения во всей системе взаимосвязанных признаков. В таких ситуациях эконометрические модели строятся в виде систем эконометрических уравнений. Наиболее широко этот подход применяется в макроэкономических исследованиях, а также в исследованиях спроса и предложения.

Например, в рыночной экономике равновесные цены рассматриваются как

результат взаимодействия спроса и предложения. При этом предложение товара в существенной степени зависит от сложившейся цены, а цена, в свою очередь, определяется величиной среднего дохода потребителя и имеющимся на рынке предложением товара. Соответствующая модель определяется системой из двух уравнений

Qt = a₁₀ + b₁₁·P_t + ε_1t, (4.1)

Pt = a₂₀ + b₂₁·Q_t + a₁₁·I_t + ε_2t,

где P_t – средняя цена за единицу товара, Q_t – объем предложения товара, I_t –

средний уровень дохода, t – означает текущий период времени, a₁₀, a₂₀, b₁₁, b₂₁ –постоянные параметры, ε_1t, ε_2t– ошибки уравнений.

В качестве другого примера рассмотрим макроэкономическую модель

Клейна

CNt = α₀ + α₁(W_1t + W_2t) + α₂Р_t+ α₃Р_t-₁ + ε_1t, (4.2)

I_t= β₀ + β ₁Р_t+ β ₂Р_t-1 + β ₃K_t-1 + ε_2t, (4.3)

W_1t = γ₀ + γ ₁E_t+ γ ₂E_t-1 + γ ₃T + ε_3t, (4.4)

Y_t + Т_Хt ≡ CN_t + I_t + G_t, (4.5)

Y_t ≡ Р_t + W_t, (4.6)

K_t ≡ I_t + K_t-1, (4.7)

W_t= W_1t + W_2t, (4.8)

E_t ≡ Y_t + TX_t – W_2t. (4.9)

Первое уравнение называется функций потребления. Оно соотносит потребление CN и совокупный фонд заработной платы W, равный сумме заработных плат работников занятых в частном секторе W1, и государственном секторе W2, а также текущий и лаговый незарплатный доход (прибыль) Р.

Второе уравнение называется функций инвестиций. Оно соотносит чистые

инвестиции I с текущими и лаговыми прибылями Р и запасом капитала K в начале года:

Третье уравнение носит название уравнение спроса на труд. Оно соотносит

фонд заработной платы в частном секторе W₁ с текущими и лаговыми переменными, измеряющими частный продукт Е (определяемый как национальный доход Y плюс косвенные налоги на бизнес ТХ минус фонд оплаты труда в государственном секторе W2), и временем Т, где Т измеряется как текущий год (YEAR) минус 1931:

Случайные остатки ε1t, ε2t, ε3t предполагаются сериально некоррелированными (т. е. некоррелированными во времени).

Последние пять соотношений представляют собой тождества.(4.4-4.8)

Первое тождество устанавливает, что совокупный национальный продукт есть сумма товаров и услуг, необходимых потребителям, плюс инвестиции и плюс чистый спрос правительства. Второе тождество постулирует, что совокупный доход – это сумма прибылей и заработных плат, а третье (не учитываемое в оценивании, но используемое в динамических «симуляционных» расчетах) определяет запас капитала на конец года как остаток капитала на конец года плюс чистые инвестиции за год. Последние два тождества определяют совокупный фонд заработной платы, как сумму фондов заработной платы частного и государственного секторов, и частный продукт, как совокупный продукт за вычетом фонда заработной платы в государственном секторе.

Переменные в системах эконометрических уравнений подразделяются на

эндогенные и экзогенные.

Эндогенными переменными называются взаимозависимые переменные, которые определяются внутри модели (системы). Число эндогенных переменных, обозначаемых обычно буквой y, равно числу уравнений системы.

Экзогенными (предопределенные) переменными называются переменные,

которые определяются вне системы. Это независимые переменные, обозначаемые буквой x. К предопределенным переменным относятся и лаговые (значения переменных за предыдущие моменты времени) переменные системы.

Разделение переменных на эндогенные и экзогенные зависит от теоретических рассуждений, лежащих в основе модели. Чтобы отразить влияние эндогенных переменных за предшествующие периоды у_t–1 на уровень эндогенных переменных в текущем периоде у_t, они вводятся в уравнения в качестве экзогенных переменных. Например, уровень ВВП текущего года (у_t) не может считаться независимым от уровня ВВП в предыдущем году (у_t–1).

В рассмотренной выше модели Клейна:

CN_t, I_t, W_1t, Y_t, Р_t, К_t, W_t, E_t – эндогенные переменные;

G_t, W_2t, ТХ_t и (YEAR – 1931) – экзогенные переменные;

К_t-1, Р _t-1 и E _t-1 – лаговые переменные.

В общем случае система эконометрических уравнений с n зависимыми переменными y_i имеет вид

Система (4.10) называется системой взаимозависимых, одновременных уравнений, а также структурной формой модели, так как она показывает взаимное влияние между всеми переменными модели.

Частными случаями системы (4.10) являются система независимых уравнений, в которой каждая зависимая переменная y_i является функцией только предопределенных переменных х_i

и система рекурсивных уравнений

когда каждая зависимая переменная y_i - является функцией только предопределенных переменных х_i и зависимых переменных y_i, определенных в предыдущих уравнениях системы.

В системах независимых и рекурсивных уравнений отсутствует взаимное

влияние зависимых переменных, предпосылки регрессионного анализа не нарушаются и поэтому для нахождения параметров а_ij и b_ij, называемых структурными коэффициентами, можно применять обычный МНК.

В моделях 4.10, 4.13, 4.14 отсутствуют свободные члены в каждом уравнении системы, так как предполагается, что значения переменных предварительно центрированы (выражены в отклонениях от среднего уровня).

Следует отметить, что структурная форма модели может включать не только

уравнения, содержащие параметры (константы, подлежащие определению) и называемые поведенческими уравнениями, но и тождества, т. е. уравнения, не содержащие параметров и определяющие фиксированные отношения между переменными, например, соотношения (4.4) – (4.9).

Наличие взаимозависимости между эндогенными переменными в системе

одновременных уравнений (4.10) приводит к нарушению предпосылки о независимости объясняющих переменных и случайных членов, в результате чего обычный метод наименьших квадратов будет давать несостоятельные и смещенные оценки параметров.

Если с помощью преобразований исключить зависимые переменные из

правых частей уравнений (4.10), то полученная система уравнений называется приведенной формой модели (ПФМ)

параметры которой δ_ij являются алгебраическими функциями от структурных параметров и называются приведенными коэффициентами.

Например, для конъюнктурной модели, определяемой соотношениями:

где С – расходы на потребление, Y – ВВП, I – инвестиции, r – процентная ставка, М – денежная масса, G – государственные расходы, t и t–1 обозначают текущий и предыдущий периоды, u₁, u₂, u₃ – случайные ошибки, приведенная форма модели будет иметь следующий вид:

По своей структуре приведенная форма модели представляет собой систе-

му независимых уравнений, поэтому ее параметры δij можно оценивать с помощью обычного метода наименьших квадратов. Полученные численные значения параметров δij позволяют вычислять модельные значения эндогенных переменных через предопределенные переменные. На этом процесс построения модели не заканчивается, так как для исследователя наибольший интерес представляют значения именно структурных коэффициентов аij и bij, характеризующих внутренние взаимосвязи в системе и допускающих экономическую интерпретацию.

5.2Оценка параметров структурной формы модели

Получение оценок параметров приведенной формы модели, как уже отмечалось, затруднений не представляет. Следующим этапом должно быть определение оценок параметров структурной формы модели по оценкам приведенной формы модели. Здесь возникает проблема идентифицируемости, заключающаяся в том, что не всегда возможно по приведенным коэффициентам модели однозначно определить ее структурные коэффициенты.

Это связано с тем, что в общем случае структурная и приведенная формы

модели содержат разное число параметров п·(п–1) + n·т и n·т. Чтобы уравнять число параметров, необходимо предположить равенство нулю некоторых структурных коэффициентов модели либо наличие между ними определенных соотношений, например, а₁₁ + b₁₂ = 0.

С позиции идентифицируемости можно выделить три вида структурных

моделей:

– идентифицируемые системы, в которых число параметров структурной

и приведенной форм модели совпадает, и структурные коэффициенты модели однозначно оцениваются через параметры приведенной формы модели;

– неидентифицируемые системы, в которых число структурных параметров превышает число приведенных, и структурные коэффициенты не могут

быть получены из коэффициентов приведенной формы модели;

– сверхидентифицируемые системы с числом приведенных параметров

превышающих число структурных. В этом случае возможно неоднозначное определение значений структурных коэффициентов при полученных значениях приведенных коэффициентах.

При исследовании структурной модели на идентифицируемость необходимо проверять каждое уравнение. Модель считается идентифицируемой, если

каждое уравнение системы идентифицируемо, и неидентифицируемой, если хотя бы одно из уравнений системы неидентифицируемо. Сверхидентифицируемая модель содержит только идентифицируемые и сверхидентифицируемые уравнения.

Необходимое условие идентифицируемости.Обозначим через H число

эндогенных переменных в уравнении, а через D – число предопределенных переменных, отсутствующих в уравнении, но присутствующих в системе. Необходимое условие идентифицируемости формулируется следующим образом:

– уравнение идентифицируемо, если D+1 = H;

– уравнение неидентифицируемо, если D+1 < H;

– уравнение сверхидентифицируемо, если D+1 > Н.

Иными словами, для того, чтобы уравнение было идентифицируемо, необходимо, чтобы число предопределенных переменных модели, отсутствующих в данном уравнении, было на единицу меньше, чем число эндогенных переменных, входящих в данное уравнение.

Например, для первого уравнения системы (4.16) выполняются соотноше-

ния Н = 2, D = 3. Следовательно, D+1 > Н, и первое уравнение системы (4.16)

сверхидентифицируемо.

Достаточное условие идентифицируемости. Уравнение, соответствующее переменной yi, идентифицируемо, если ранг матрицы, составленной из коэффициентов при переменных модели, отсутствующих в исследуемом уравнении, но входящих в остальные уравнения системы, равен числу эндогенных переменных системы без единицы

Rank([B Ai ]) = n- 1,

где [B A] – блочная матрица коэффициентов, составленная из матриц B и A;

[B A] _i – матрица, полученная из матрицы [B A] в результате удаления i-строки и столбцов, соответствующих объясняющим переменным входящим в

i-уравнение.

.5.3 Косвенный метод наименьших квадратов

Наиболее часто для оценки параметров системы одновременных уравнений

применяются косвенный, двухшаговый и трехшаговый методы наименьших квадратов (КМНК, ДМНК и ТМНК). Первый из них используется только в случае идентифицируемых уравнений. Реже применяется универсальный, но очень сложный в вычислительном отношении метод максимального правдоподобия.

Косвенный МНК используется в случае идентифицируемой системы уравнений и заключается в следующем:

1) исходная система уравнений преобразуется в приведенную форму моде-

ли и определяются численные значения параметров δ_ij для каждого ее уравнения в отдельности с помощью традиционного МНК;

2) путем алгебраических преобразований осуществляется переход от приведенной формы к уравнениям структурной формы модели, что автоматически дает численные оценки структурных параметров.

5.4. Двухшаговый метод наименьших квадратов

Двухшаговый МНК основан на использовании, так называемых, «инструментальных» переменных и является универсальным методом. Как уже отмечалось, в системе одновременных уравнений нарушаются предпосылки о независимости факторов (выражаемых эндогенными переменными) и ошибок уравнений. Для преодоления этой трудности можно использовать замену эндогенных переменных у_i в правых частях уравнений модели на вспомогательные «инструментальные» переменные ŷ_i, которые были бы близки к исходным эндогенным переменным и при этом не зависели бы от ошибок уравнений. В качестве таких переменных предлагается использовать переменные, определяемые уравнениями приведенной формы модели (4.15).

Согласно двухшаговому МНК, численные значения структурных параметров определяются в следующей последовательности:

1) Исходная система уравнений преобразуется в приведенную форму модели и определяются численные значения параметров δ_ij для каждого ее уравнения в отдельности с помощью традиционного МНК;

2) По полученным уравнениям приведенной формы находятся расчетные

значения инструментальных переменных ŷ_i, соответствующих эндогенным переменным у_i для каждого наблюдения;

3) С помощью обычного МНК определяются параметры каждого структурного уравнения в отдельности, используя в качестве факторов фактические значения предопределенных переменных и полученные расчетные значения инструментальных переменных ŷ_i.

5.5 Трехшаговый метод наименьших квадратов

Более эффективным, но требующим существенно больших вычислительных затрат, является трехшаговый метод наименьших квадратов (ТМНК) [3].

Он заключается в том, что двухшаговый метод наименьших квадратов применяется не к исходным уравнениям модели, а к уравнениям, преобразованным согласно обобщенному методу наименьших квадратов. Трехшаговый МНК является итерационной процедурой:

1) Параметры модели определяются обычным или двухшаговым МНК.

2) Вычисляются ошибки модели и определяется оценка корреляционной

матрицы ошибок.

3) Уравнения преобразуются согласно обобщенному МНК.

4) Применяется двухшаговый МНК к преобразованным уравнениям и получается улучшенная модель (с улучшенными параметрами).

5) Процесс повторяется, начиная со второго шага, пока не будет достигнута заданная точность (либо превышено заданное количество итераций).

Если случайные члены структурной модели не коррелируют, то трехшаговый метод сводится к двухшаговому.

5.6Динамические эконометрические модели. Общая характеристика динамических моделей

При изучении поведения экономических процессов на достаточно длительном промежутке времени есть все основания предполагать о наличии определенных взаимосвязей между их последовательными состояниями. Т. е. состояние экономического явления в данный момент или период времени определяется, в том числе, и его состояниями, а также состояниями окружающей среды в предшествующие моменты или периоды времени. Данное обстоятельство является следствием наличия запаздывания в действии факторов либо инерционностью изучаемых процессов.

Модели, связывающие состояния экономических явлений в последовательные моменты (периоды) времени, принято называть динамическими. Такие модели позволяют изучать явления в динамике, в развитии. Аналитическое представление динамических моделей включает значения переменных, относящиеся как к текущему, так и к предыдущим моментам (периодам) времени.

Эконометрические модели, включающие в качестве факторов значения

факторных переменных в предыдущие моменты времени, называются моделями с распределенным лагом.

y_t = a + b₀ * x_t  b₁ * x_t-1  +b₂ * x_t-2+  ... + b_p * x_{t- p} +Ɛ _t

Моделями этого типа описываются ситуации, когда влияние причины (независимых факторов) на следствие (зависимую переменную) проявляется с некоторым запаздыванием. Например, при изучении зависимости объемов выпуска продукции от величины инвестиций, выручки от расходов на рекламу и т. п.

Эконометрические модели, включающие в качестве факторов значения результативной переменной в предыдущие моменты времени. Эти модели называются моделями авторегрессии.

yt = a + b₀ * x_t+  c₁ * y_t-1 + c2 * y_t-2  +... + cq * yt-q +Ɛ t .

Моделями такого типа предполагают наличие определенной инерционности в изменении рассматриваемого явления, когда уровень изучаемого явления

существенно зависит от его уровней, достигнутых в предыдущих периодах. Например, уровень спроса на товар либо уровень ВВП в данном периоде во многом определяется уровнями, достигнутыми в предшествующем периоде.

Применение находят также и различные комбинации упомянутых выше

моделей.

Отдельную группу динамических моделей составляют модели, учитывающие ожидаемые уровни переменных, которые определяются экономическими

субъектами на основе информации, которой они располагают в текущий и предыдущий момент времени. Например, модели адаптивных ожиданий или частичной корректировки.

Включенные в модель в качестве факторов значения переменных в предыдущие моменты времени называются лаговыми переменными. Значениями лаговых переменных являются временные ряды исходных уровней, сдвинутые назад на один или более моментов времени. Величина этого сдвига называется лагом.

Включение в эконометрическую модель лаговых значений зависимой переменной осложняет проблему получения несмещенных и эффективных оценок ее параметров.

Во-первых, наличие нескольких лаговых переменных y_t–1, y_t–2, ... либо

x_t–1, x_t–2, ... , зачастую сильной коррелирующих между собой, ведет к потере качества модели вследствие ухудшения точности оценок ее параметров, снижению их эффективности и устойчивости к незначительным колебаниям исходной информации, ошибкам округления.

Во-вторых, как правило, существует сильная корреляционная зависимость

между переменными y_t–1, y_t–2, ... и ошибкой ε_t, ведущая к появлению смещения в оценках параметров при использовании МНК.

В-третьих, временной ряд ошибки модели εt часто характеризуется наличием автокорреляционной связи, вследствие чего оценки параметров модели,

полученные непосредственно на основе МНК, являются неэффективными.

Отметим, что важным этапом при построении моделей с распределенным

лагом и моделей авторегрессии является выбор оптимальной величины лага и

определение его структуры.

Дата добавления: 2014-08-09; просмотров: 749; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!