МАТЕМАТИЧЕЧСКАЯ СТАТИСТИКА

Выборочный метод

Для установления закономерностей, которым подчинены случайные события и случайные величины, теория вероятности, как и любая другая наука, обращается к опыту – наблюдениям, измерениям, экспериментам. Результаты наблюдений за случайными величинами объединяются в наборы статистических данных. Задачей математической статистики, раздела современной теории вероятностей, является разработка методов сбора и обработки статистических данных, а также их анализа с целью установления законов распределения наблюдаемых случайных величин [8, 9].

1. Генеральная и выборочная совокупность данных

Генеральной совокупностью является набор всех мыслимых статистических данных, при наблюдениях случайной величины:

.

Наблюдаемая случайная величина Х называется признаком или фактором выборки. Генеральная совокупность есть статистический аналог случайной величины, ее объем N обычно велик, поэтому из нее выбирается часть данных, называемая выборочной совокупностью или просто выборкой

, .

Использование выборки для построения закономерностей, которым подчинена наблюдаемая случайная величина, позволяет избежать ее сплошного (массового) наблюдения, что часто бывает ресурсоемким процессом, а то и просто невозможным. Однако выборка должна удовлетворять следующим основным требованиям:

- выборка должна быть представительной, т.е. сохранять в себе пропорции генеральной совокупности,

- объем выборки должен быть небольшим, но достаточным для того, чтобы полученные результаты ее анализа обладали необходимой степенью надежности. В табл. 1 приводятся примеры генеральных и выборочных совокупностей.

Таблица 1

Отметим, что в более строгом смысле выборку можно представить как многомерную случайную величину , у которой все компоненты распределены одинаково и по закону распределения наблюдаемой случайной величины. В этом смысле выборочные значения есть одна из реализаций величины .

2. Статистическое распределение выборки. Выборочный ряд, полигон, гистограмма и комулянта выборки

Возможные значения элементов выборки , называются вариантами выборки, причем число вариант m меньше чем объем выборки . Варианта может повторяться в выборке несколько раз, число повторения варианты в выборке называется частотой варианты .Причем . Величина называется относительной частотой варианты .

Упорядоченный по возрастанию значений набор вариант совместно с соответствующими им частотами называется вариационно-частотным рядом выборки:

; .

Ломаная линия, соединяющая точки вариационно-частотного ряда на плоскости или называется полигоном частот.

Пример 1. Пусть дана выборка полуденных температур месяца мая своим вариационно-частотным рядом, приведенным в табл. 2:

Таблица 2

На рис.10.1 приводится полигон частот рассматриваемой выборки.

Рис.10.1 Полигон частот

Вариационно-частотный ряд имеет существенный недостаток, а именно, ненаглядность полигона в случае малой повторяемости вариант, например, при наблюдении непрерывного признака его повторяемость в выборке маловероятна. Более общей формой описания элементов выборки, является гистограмма выборки. Для ее построения, разобьем интервал значений выборки на m интервалов длины с границами .Число элементов выборки , попадающих в интервал, называется частотой интервала, кроме того вводятся следующие величины:

~ относительная частота интервала,

_j ~ плотность относительной частоты интервала.

Совокупность интервалов, наблюдаемой в выборке случайной величины и соответствующих им частот, называется гистограммой выборки.

, ,

Для частот гистограммы выполнены следующие условия нормировки:

, ,

Число интервалов гистограммы mдолжно быть оптимальным, чтобы, с одной стороны, была достаточной повторяемость интервалов, а с другой стороны не должны сглаживаться особенности выборочной статистики. Рекомендуется значение . На плоскости гистограмма представляется ступенчатой фигурой.

Пример 2. Наблюдаемые значения полуденной температуры месяца мая разбиты на 6 интервалов, соответствующая гистограмма задана следующей табл. 3:

Таблица 3

Гистограмма наблюдаемых температур приводится на рис. 10.2.

Рис. 10.2 Гистограмма частот

Выборочной или эмпирической функцией распределения называется функция , определяющая для каждого значения х относительнуючастоту события {X<x} в выборке, которая вычисляется через сумму соответствующих частот:

.

В нашем примере выборочная функция распределения (иногда называемая комулянтой) приводится на рис.10.3.

При увеличении объема выборки относительная частота события приближается к вероятности этого события (теорема Бернулли), поэтому выборочная функция распределения является оценкой теоретической функции распределения для случайной величины .

для любого х и .

Это утверждение строго доказано и носит форму теоремы Гливенко [7].

Рис. 10.3 Комулянта частот

3. Выборочные характеристики

Помимо полигона и гистограммы выборка характеризуется следующими числовыми величинами:

Основные характеристики

~ выборочное среднее;

~ выборочная дисперсия;

~ выборочное среднеквадратическое отклонение;

~ исправленная выборочная дисперсия;

~ исправленное выборочное среднеквадратическое

отклонение (выборочный стандарт).

Дополнительные характеристики

~ выборочный начальный момент порядка k;

~ выборочный центральный момент порядка k;

Часто используются моменты 3-го и 4-го порядков в следующей форме:

~ выборочная асимметрия;

~ выборочный эксцесс.

В статистической практике рассматриваются так же групповые характеристики, например, в интервальных группах гистограммы выборки вычисляются средние интервальные значения и дисперсии.

Пример 3.Рассмотрим вычисление выборочных характеристик для выборки, представленной в примере 1. У этой выборки объема имеется m=13 вариант и столько же соответствующих им частот , которые расположены в первых двух столбцах табл. 4.

Таблица 4

В последующих столбцах табл. 4, в соответствие с методом сводных таблиц, приводится расчет выборочных моментов и выборочных характеристик через варианты и частоты выборки:

; ; ;

;

Причем выполняется .

; ;

; .

Отметим, что все приведенные числовые характеристики являются случайными величинами, поскольку получены по элементам случайно взятой выборки. На элементах другой выборки наблюдений над той же случайной величиной числовые характеристики в общем случае изменят свое значение, то есть характеристики являются функцией от выборки , например:

; .

Выборочные распределения

Если наблюдаемая случайная величина является нормальной, т.е , где - математическое ожидание, - среднеквадратическое отклонение, то случайная величина среднего выборочного так же является нормальной . Здесь нормальные случайные величины, совпадающие с наблюдаемой величиной. Рассмотрим стандартные нормальные величины в виде:

,

и построим из них случайные величины Пирсона и Стьюдента .

Тогда получим [9,10]:

,

.

Отсюда видно, что случайная величина выборочной дисперсии D_В распределена пропорционально «Хи-квадрат» случайной величине с n степенями свободы, а отклонение выборочного среднего от математического ожидания распределено пропорционально t-величине Стьюдента с n-1 степенью свободы.

При сравнении двух выборок объемов n₁ и n₂ часто используется случайная величина Фишера со степенями свободы n₁ и n₂ :

.

1. Распределения Стьюдента и Пирсона

Распределения величин и известны аналитически в виде функции плотности распределения вероятностей

здесь - функция Эйлера, обладающая свойством , в силу которого при целом положительном имеет место

Графический вид функций плотности представлен ниже на рис. 11.1, 11.2 для различного количества степеней свободы.

Рис.11.1 Кривые «Хи-квадрат» распределения

Рис.11.2 Кривые распределения Стьюдента

Числовые характеристики распределений «Хи-квадрат» и Стьюдента следующие:

, , , .

Можно заметить, что с ростом числа степеней свободы, указанные распределения будут приближаться к нормальному распределению, что соответствует центральной предельной теореме теории вероятностей.

2. Таблицы распределения выборочных величин

Обычно выборочные распределения задаются таблично в виде левосторонних функций распределения и/или обратных к ним правосторонних квантилей , графический смысл которых изображен на рис.11.3. Таблица значений этих величин известна [10] и они приводятся в приложениях 2-5.

Рис.11.3 Правосторонняя квантиль

В статистическом комплексе программ MS Excel-2007 эти распределения представлены следующими функциями:

- правостороннее распределение Пирсона,

- правосторонняя квантиль Пирсона,

- правостороннее t-распредел. Стьюдента,

- двухстороннее t –распределение,

- двухсторонняя t –квантиль,

- правостороннее F-распределение

Фишера,

FРАСПОБР - правосторонняя квантиль Фишера.

Для работы с нормальной случайной величиной имеются следующие полезные функции:

- весовая функция

- интегральная функция

- обратная интегральная функция;

- весовая функция со стандартными

параметрами

- обратная стандартная интегральная функция;

Ф - Функция Лапласа.

Дата добавления: 2014-08-09; просмотров: 624; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!