Теорема сложения вероятностей для несовместных событий и следствия из нее

Вероятность появления какого-либо из нескольких несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий, то есть

Р (А₁, или А₂, или ..., или А_n) = Р(А₁) + Р(А₂) + ...+Р(А_n).

Доказательство. Докажем теорему вначале для двух несовместных событий А и В. Пусть N - общее число единственно возможных, равновозможных и несовместных исходов. Из них М₁ исходов благоприятствуют событию А, а М₂ - событию В.

Тогда Р(А) =M₁/N, Р(В) = M₂/N.

По условию задачи, события А и В несовместны. Следовательно, ни один из М₁ исходов, благоприятствующих событию А, не благоприятствует событию В. И наоборот, ни один исход из М₂ не благоприятствует событию А. Отсюда следует, что сумме событий А+В (А или В) благоприятствует (М₁+М₂) исходов из N, а поэтому

P(A или B)=(M₁+M₂)/N

Последнее равенство можно записать так:

P(A или B) Р(А)+Р(В) = M₁/N + M₂/N

Итак, для двух несовместных событий теорема доказана. Применяя метод математической индукции, докажем справедливость теоремы для любого конечного числа несовместных событий.

Допустим, что теорема справедлива для n несовместных событий, то есть

Р (А₁, или А₂, или ..., или А_n) = Р(А₁) + Р(А₂) + ...+Р(А_n).

Докажем, что она справедлива и для (n+1) событий. Сумму событий (А₁, или А₂, или ..., или А_n, или А_n+1) представим в виде суммы двух событий: (А₁, или А₂, или ..., или А_n ) или А_n+1 . Применяя теорему сложения вероятностей для двух несовместных событий, будем иметь

P(А₁, или, А₂ или …, или А _n, или A _n+1)=

= P((А₁, или А₂, или …, или А_n), А_n+1 или)=

= P(А₁, или А₂, или …, или А_n)+P(А_n+1).

Так как для n событий мы предположили, что теорема справедлива, то получим

,

что и требовалось доказать.

Следствие 1. Сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна единице.

Доказательство. События А₁, А₂, ..., А_n образуют полную группу событий. Следовательно, с одной стороны, эти события единственно возможные (наступит хотя бы одно из них), а поэтому их сумма является достоверным событием, его вероятность равна единице, то есть

Р(А₁, или А₂, или ..., или А_n )=1.

С другой стороны, события А₁, А₂, ..., А_n - несовместные. Тогда по теореме сложения вероятностей имеем

= .

Объединяя два последних равенства, получаем

,

что и требовалось доказать.

Следствие 2. Сумма вероятностей двух противоположных событий равна единице.

Доказательство. Противоположные события А и образуют полную группу событий. Тогда на основании следствия 1 имеем

Р(А) + Р( )=1.
Замечание. Следствие 2 часто используется при решении задач. Это связано с тем, что иногда проще рассчитать вероятность противоположного события , а не события А. В таких случаях сначала вычисляют Р( ), а затем находят Р(А) =1 - Р( ).

Дата добавления: 2014-09-01; просмотров: 679; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!