Передаточные функции четырёхполюсников

ЗАДАЧА 5.37. Для Г-схемы четырёхполюсника (рис. 5.28,а) рассчитать и построить частотные характеристики передаточной функции по напряжению в режиме холостого хода, если r = 50 Ом, С = 40 мкФ.

Решение

Искомую передаточную функцию можно рассчитать с помощью основных уравнений с коэффициентами любой формы, с помощью основных уравнений с характеристическими параметрами. Однако для простых схем четырёхполюсников эту работу проще выполнить с помощью законов

Кирхгофа, записав в комплексной форме выражения тока I_1X и напряжения U_2X в функции w : U_2X = I_1X · , а I_1X = , тогда

W(jw) = = · = = ,

Диаграмма Найквиста этой передаточной функции приведена на рис. 5.28,б и представляет собой полуокружность радиуса R = ½. Изображающая точка М определяет положение конца вектора W(jw) на комплексной плоскости при фиксированных частотах:

при частоте w = 0 координатами точки М являются (1, 0);

при частоте w = 0,5·t ^-1 = = 250

W(jw) = = = 0,8 - j0,4,

W(w) = = 0,894, j(w) = arctg = -26,56°,

эта точка М указана на рис. 5.28,б.

Положение точки М₁ соответствует частоте w = t ^-1 = 500 c ^-1, а при w = ¥ W(w) = 0, j(w) = -90° = -½p точка М оказывается в начале координат.

Заметим, что при изменении частоты w(0 … ¥) изображающая точка перемещается по часовой стрелке и фазовый угол для схемы с одним накопителем изменяется на 90°. Это является общим свойством диаграмм Найквиста, только фазовый угол при этом будет изменяться до (-n·½p), где n – число разнородных накопителей.

Амплитудная частотная характеристика W(w) = – чётная функция частоты, фазовая частотная характеристика j(w) = -arctg(wt) – нечётная функция, при этом размерность j(w) – радианы.

Вещественная и мнимая частотная характеристики рассчитываются по

W(jw) = · = – j ,

где B(w) = – вещественная частотная характеристика, чётная функция частоты,

M(w) = - – мнимая частотная характеристика, нечётная функция частоты.

Заметим, что фазовую частотную характеристику можно также рассчитать как j(w) = arctg .

Логарифмическая амплитудная частотная характеристика

L(w) = 20lgW(w) = -20lg = -10lg .

Результаты расчёта характеристик передаточной функции сведём в табл. 5.1.

Таблица 5.1

w, c -1	wt	1+(wt)2	W(w)	j(w), рад	L(w), дБ	lg(w)	B(w)	-M(w)
						-¥
¼t -1=125	0,25	1,063	0,97	-0,245	-0,264	2,09	0,94	0,235
½t -1=250	0,5	1,25	0,894	-0,464	-0,973	2,4	0,8	0,4
1t -1=500			0,707	-0,785	-3,01	2,7	0,5	0,5
1,5t -1=750	1,5	3,25	0,555	-0,983	-5,12	2,88	0,31	0,462
2t -1=100			0,447	-1,11	-6,99		0,2	0,4
3t -1=1500			0,316	-1,25	-10	3,18	0,1	0,3
4t -1=2000			0,243	-1,33	-12,3	3,3	0,06	0,235
5t -1=2500			0,196	-1,37	-14,1	3,4	0,04	0,192
10t -1=5000			0,01	-1,47	-20,04	3,7	0,01	0,09

В табл. 5.1 фигурной скобкой отмечен диапазон частот, соответству-ющий декаде, у которой отличие частот w составляет в 10 раз, а отличие lg(w) – на единицу.

Характеристики W(w), B(w), -M(w), j(w) приведены на рис. 5.29.

Логарифмические амплитудные частотные характеристики приведены на рис. 5.30,а (сплошные линии), а их асимптотические характеристики вы-полнены отрезками прямых (штриховые линии). Частота сопряжения прямых линий w₀ = t ^-1; максимальное отклонение асимптотических ЛАЧХ от факти-ческих составляет 3,01 дБ, угол наклона прямой составляет 20 дБ/декаду, что обычно обозначается как (-1) (соответственно, при 40 дБ/декаду будет (-2), при 60 дБ/декаду – (-3) и т.д.). ЛФЧХ приведена на рис. 5.30,б.

Ответ: W(jw) = = , где постоянная времени звена t = , структурная схема передачи сигнала приведена на рис. 5.31,б.

Передаточную функцию W(jw) можно представить как произведение двух передаточных функций W(jw) = W₁(jw)·W₂(jw). Этому произведению соответствует каскадное соединение двух четырёхполюсников (рис. 5.31,в), для которого W₁(jw) = jwt – передаточная функция идеального дифферен-цирующего звена, а W₂(jw) = – передаточная функция апериодиче-ского звена, характеристики которого построены при решении задачи 5.37.

На рис. 5.32,а приведено построение ЛАЧХ функций W₁(w), W₂(w) и результирующей W(w), на рис. 5.32,б приведено построение логарифмиче-ской фазовой частотной характеристики.

ЗАДАЧА 5.39. Для Г-образного четырёхполюсника, нагруженного активным сопротивлением r_Н = 150 Ом (рис. 5.33), рассчитать передаточ-ную функцию по напряжению, если r = 50 Ом, С = 40 мкФ.

Ответ: W(jw) = , где k = , t = C.

ЗАДАЧА 5.40. Для Г-образного четы-рёхполюсника, нагруженного активным сопротивлением r = 50 Ом (рис. 5.34), рассчитать передаточную функцию по напряжению, если L = 0,5 Гн, С = 40 мкФ.

Построить асимптотические лога-рифмические частотные характеристики передаточной функции по напряжению.

Указание. При построении ЛАЧХ и ЛФЧХ представить четырёхполюсник исходной схемы в виде каскадного соединения двух апериодических звеньев с передаточными функциями W₁(jw) = и W₂(jw) = .

Ответ: W(jw) = , где t_1,2 = .

ЗАДАЧА 5.41. Задан четы-рёхполюсник с обратной связью (рис. 5.35): х_L = 80 Ом, х_С = 40 Ом, r = 40 Ом, U₁ = 100 В,коэффи-циент обратной связи К_ОС = 0,2. Четырёхполюсник нагружен на сопротивлением Z₂ = 20 Ом.

Определить выходное напряжение четырёхполюсника с обратной связью и без неё.

Пояснения к решению:для характеристики условий передачи сигналов с учётом произвольной нагрузки пользуются так называемыми рабочими параметрами, к которым относятся вносимое затухание а_ВН и коэффициенты передачи по напряжению K_U и по току K_I, которые ещё называют передаточными функциями четырёхполюсника H(jω).

Коэффициенты передачи четырёхполюсника по напряжению без обратной связи K_U¢ и при наличии обратной связи K_U¢¢ на основании основных уравнений четырёхполюсника определяются выражениями:

K_U¢ = , K_U¢¢ = .

А-коэффициенты четырёхполюсника:

А = 1,2 – j0,6, В = 4 – j52 Ом, С = 0,01 – j0,005 См, D = 0,7 – j0,1.

Для четырёхполюсника без обратной связи при напряжении U₁ = 100 В находим коэффициент передачи по напряжению и выходное напряжение:

K_U¢ = 0,286 е ^j68,37°, U₂ = K_U¢·U₁ = 28,6 е ^j68,37° В.

Коэффициент передачи четырёхполюсника при наличии обратной свя-зи:

K_U¢¢ = = 0,292е ^j71,48°.

Напряжение на выходе: U₂ = K_U¢¢∙U₁ = 29,2 е ^j71,48° В.

В связи с развитием вычислительной техники использование передаточных функций и характеристик для расчёта реакции цепи по известному воздействию произвольной формы становится актуальным. В задачах 5.42 и 5.43 на примере простейшего четырёхполюсника сделана попытка проиллюстрировать применение передаточных функций. При расчётах интенсивно использовалась математическая система MathCAD. К сожалению, имеются некоторые отличия в обозначении величин, функций и чисел в системе MathCAD от общепринятых математических обозначений. Так, комплексные величины не подчёркиваются, иначе представляются степени числа 10 в ответах, использование индексации символизирует числовой массив. Поэтому при решении задач приведены формулы как в общепринятом виде, так и фрагменты MathCAD-программы. На наш взгляд, отличия непринципиальные и на понимании решения не сказываются. В данном параграфе рассмотрены вопросы получения передаточных характе-ристик и их использования при гармоническом воздействии. Использование характеристик в случае других типов воздействий будет рассмотрено в по-следующих разделах «Цепи несинусоидального тока (при негармонических воздействиях)» и «Переходные процессы в линейных электрических цепях».

Различные величины в обобщённой цепи четырёхполюсника, подклю-ченного к источнику с ЭДС Е и внутренним сопротивлением Z₁ и нагружен-ного сопротивлением Z₂, могут быть вычислены через А-параметры:

- входное напряжение U₁ = Е(А₁₁Z₂+ А₁₂)/Н_A;

- входной ток I₁ = Е(А₂₁Z₂+ А₂₂)/Н_A;

- выходное напряжение U₂ = Е·А₁₂/Н_A;

- выходной ток I₂ = -Е/Н_A.

Здесь Н_A = А₁₁·Z₂ + А₂₂·Z₁ + А₁₂ + А₂₁·Z₁·Z₂– вспомогательная частотная характеристика, выраженная через А-параметры четырёхполюсника. Отметим, что последовательно соединённые Е-Z₁ могут быть заменены параллельно соединёнными J-Z₁, то есть воздействие может быть как в виде напряжения Е, так и в виде тока J = Е/Z₁. В этом случае приведенные формулы корректируются соответствующим образом.

ЗАДАЧА 5.42. Источник, представленный схемой замещения j(t)-r₁, питает нагрузку r₂ через Г-образный безындукционный фильтр низкой частоты, являющийся пассивным четырёхполюсником (рис. 5.36). Числовые значения:

r₁ = 5000 Ом, r₂ = 2000 Ом, r = 1000 Ом, С = 10 мкФ.

Вычислить: 1) коэффициенты формы А четырёхполюсника; 2) опреде-лить комплексное передаточное сопротивление канала связи; 3) построить АЧХ и ФЧХ; 4) нарисовать диаграмму Найквиста; 5) пользуясь комплексным передаточным сопротивлением, определить выходное напряжение u₂ для следующих случаев –

j(t) = 0,05 А, j(t) = 0,05·sin(100t + 45°) А,

j(t) = 0,05·sin(1000t – 100°) А, j(t) = 0,05·sin(10000t + 100°) А.

Решение

1. Обозначим сопротивления ветвей анализируемого четырёхполюсни-

ка как Z₁ = r и Z₂ = . Коэффициенты А-формы определяем по известным

формулам Г-образного четырёхполюсника:

А₁₁ = 1 + ; А₁₂ = Z₁; А₂₁ = ; А₂₂ = 1.

Коэффициенты представим в функции частоты:

Z1(jw) := r Z2(jw) :=

А11(jw) := 1+ А11(jw) 1.+.1000е-1·jw

А12(jw) :=Z1(jw) А12(jw) 1000

А21(jw) := А21(jw) .1000е-4·jw

А22(jw) := 1 А22(jw) 1

Проверка: А11(jw)·А22(jw) – А12(jw)·А21(jw) 1.

Таким образом, значения коэффициентов следующие:

А₁₁ = 1 + 0,01·jw ; А₁₂ = 1000 Ом; А₂₁ = 10 ^-5·jw См; А₂₂ = 1.

2. Входной величиной (воздействием) в данной задаче выступает j(t), выходной (реакцией) – напряжение на нагрузке u₂(t). Поэтому комплексная передаточная функция (КПФ) Н(jw) = Х_ВЫХ(jw)/Х_ВХ(jw) здесь является комплексным передаточным сопротивлением, которое обозначим как

Z(jw) = U₂(jw)/J(jw).

Вычислим Z(jw) двумя способами. В первом способе используются полученные коэффициенты формы А. Сначала вычисляем вспомогательную частотную функцию

НА(jw) := А11(jw)·r2 + А22(jw)·r1 + А12(jw) + А21(jw)·r1·r2

НА(jw) 8000. + 120.·jw,

Искомое сопротивление

Z(jw) := Z(jw) .

Выполним проверочный расчёт вторым способом, задавшись выход-ным напряжением u₂ = 1 и определив входной ток J, используя законы Ома и Кирхгофа:

I1(jw) := + jw ·C U1(jw) := 1 + r·I1(jw) J(jw) := I1(jw) +

Z(jw) := Z(jw) .

Таким образом, ответ для комплексного передаточного сопротивления следующий: Z(jw) = = = Ом.

Значения коэффициентов в данной задаче:

b₁ = 0, b₀ = 83333, a₀ = 66,67.

3. АЧХ и ФЧХ канала связи строятся в соответствии со следующими формулами:

Z(w) = |Z(jw)| = = ;

j(w) = arg(Z(jw)) = arctg – arctg = arctg – arctg .

Графики АЧХ и ФЧХ приведены на рис. 5.37,а и б.

4. Диаграмма Найквиста представляет собой график зависимости Z(w) = f(j(w)) в полярной системе координат. Расчёты по построению графи-ка сведём в табл. 5.2. Сама диаграмма представлена на рис. 5.38.

Таблица 5.2

Z(0) = 1250 Ом, Z(j100) = 693,4·е ^–j56,31° Ом,

Z(j1000) = 83,15·е ^–j86,19° Ом, Z(j10000) = 8,33·е ^–j89,62° Ом.

Комплексные амплитуды воздействия J(jw)

и реакции U₂(jw) = Z(jw)·J(jw) на этих же частотах:

J(0) = 0,05 А, J(j100) = 0,05·е ^j45° А,

J(j1000) = 0,05·е ^–j100° А, J(j10000) = 0,05·е ^j100° А,

U₂(0) = 62,5 В, U₂(j100) = 34,7·е ^–j11,31° В,

U₂(j1000) = 4,16·е ^j173,81° В, U₂(j10000) = 0,42·е ^j10,38° В.

Мгновенные значения выходного напряжения:

u₂(t) = 62,5 В, u₂(t) = 34,7·sin(100t – 11,31°) В,

u₂(t) = 4,16·sin(1000t + 173,81°) В, u₂(t) = 0,42·sin(10000t + 10,38°) В.

Обращаем внимание на то, как стремительно убывают амплитуды напряжения u₂ с ростом частоты при том, что амплитуда воздействия сохраняется неизменной 0,05 А. Здесь проявляются фильтрующие свойства рассматриваемого четырёхполюсника.

ЗАДАЧА 5.43. Решить задачу 5.42 после замены резистора r ин-дуктивностью L = 10 Гн (рис. 5.39). Значение ёмкости взять равным С = 1 мкФ.

Решение

Порядок решения задачи 5.43 тот же, что и задачи 5.42. Поэтому приведём ответы.

1. Z1(jw) := jw ·L Z2(jw) :=

А11(jw) := 1+ А11(jw) 1.+.1000е-4·(jw)²

А12(jw) :=Z1(jw) А12(jw) 10.·jw

А21(jw) := А21(jw) .1000е-5·jw

А22(jw) := 1 А22(jw) 1

Проверка: А11(jw)·А22(jw) – А12(jw)·А21(jw) 1.

Таким образом, значения коэффициентов следующие:

А₁₁ = 1 + 10 ^-5·(jw)²; А₁₂ = 10jw Ом; А₂₁ = 10 ^-6·jw См; А₂₂ = 1.

2. Первый способ вычисления Z(jw).

НА(jw) := А11(jw)·r2 + А22(jw)·r1 + А12(jw) + А21(jw)·r1·r2

НА(jw) 7000. + .2000е-1·(jw)² + 20.·jw,

Z(jw) := Z(jw) .

Второй способ вычисления Z(jw).

I1(jw) := + jw ·C U1(jw) := 1 + Z1(jw)·I1(jw) J(jw) := I1(jw) +

Z(jw) := Z(jw) .

Таким образом, ответ для комплексного передаточного сопротивления следующий: Z(jw) = Ом.

3. АЧХ и ФЧХ канала связи строятся в соответствии со следующими формулами:

Z(w) := ;

j(w) := arg .

Графики АЧХ и ФЧХ приведены на рис. 5.40,а и б.

4. Расчёты по построению диаграммы Найквиста сведём в табл. 5.3. Сама диаграмма представлена на рис. 5.41.

Таблица 5.3

5. Значения комплексного передаточного сопротивления на заданных в условии задачи частотах следующие:

Z(0) = 1429 Ом, Z(j100) = 1411·е ^–j16,39° Ом,

Z(j1000) = 419,2·е ^–j123,02° Ом, Z(j10000) = 4,99·е ^–j174,27° Ом.

Комплексные амплитуды воздействия J(jw)

и реакции U₂(jw) = Z(jw)·J(jw) на этих же частотах:

J(0) = 0,05 А, J(j100) = 0,05·е ^j45° А,

J(j1000) = 0,05·е ^–j100° А, J(j10000) = 0,05·е ^j100° А,

U₂(0) = 71,43 В, U₂(j100) = 70,54·е ^j28,61° В,

U₂(j1000) = 20,96·е ^j136,98° В, U₂(j10000) = 0,25·е ^-j74,27° В.

Мгновенные значения выходного напряжения:

u₂(t) = 71,43 В, u₂(t) = 70,54·sin(100t + 28,61°) В,

u₂(t) = 20,96·sin(1000t + 136,98°) В, u₂(t) = 0,25·sin(10000t – 74,27°) В.

Обращаем внимание на то, как стремительно убывают амплитуды напряжения u₂ с ростом частоты, начиная с 500 рад/с. Здесь проявляются фильтрующие свойства рассматриваемого четырёхполюсника.

[1] Здесь и далее в скобках приведены встречающиеся в литературе альтернативные обозначения и названия.

Дата добавления: 2014-10-10; просмотров: 525; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!