Метод оценки устойчивости разностных схем

Рассмотренные схемы обладают разной степенью устойчивости. Для оценки абсолютной устойчивости схем предлагается простой способ.

В узел i-1 дополнительно к решению задается возмущение Δ1, а в узле i фиксируется реакция Δ2. Для явной схемы Эйлера можно записать(2.6).

(2.6)

Вычитая почленно уравнение b из уравнения a, получим выражение для относительного значения реакции ε= Δ2/ Δ1. Для явной схемы Эйлера:

(2.7)

На n^ом шаге от узла, где задано возмущение, (если значения A, k и Δx остаются неизменными) относительная реакция составляет εⁿ= Δ2_n/ Δ1.Для обеспечения абсолютной устойчивости разностной схемы необходимо, чтобы при n® ¥выполнялосьεⁿ <1. А это возможно, если выполняется условие (2.8).

0 < ε < 1(2.8)

Для рассмотренных разностных схем на рис.2.2 приведены графики зависимости значения ε от величины Δx/A. Видно, что неявная схема всегда устойчива, а схемы явная и трапеций имеют ограничения на величину шага:

¾ явная схема Δx/A < 1;

¾ схема трапеций Δx/A < 2.

Аналогичным образом можно оценить устойчивость различных разностных схем.

Дата добавления: 2014-10-10; просмотров: 351; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!