Тема 4. Системы счисления, используемые в ЭВМ

Позиционные и непозиционные системы счисления. Перевод чисел из любой системы счисления в десятичную. Перевод чисел из десятичной системы счисления в любую. Системы счисления, используемые в ЭВМ (с основанием 2ⁿ). Арифметические действия в различных системах счисления

Система счисления – это принятый способ записи чисел и сопоставления этим записям реальных значений. Разнообразные системы счисления, которые существовали раньше и которые используются в наше время, можно разделить на два класса: непозиционные и позиционные.

В непозиционных системах счисления от положения цифры в записи числа не зависит величина, которую она обозначает. Наиболее известным примером непозиционной системы счисления является римская система (римские цифры). В римской системе в качестве цифр используются латинские буквы:

I(1) V(5) X(10) L(50) C(100) D(500) M(1000)

В римских числах цифры записываются слева направо в порядке убывания. В таком случае их значения складываются. Если же слева записана меньшая цифра, а справа – большая, то их значения вычитаются.

Примеры: III(три), VI(четыре),LIX(пятьдесят девять), DXV(пятьсот пятнадцать)

В позиционных системах счисления величина, обозначаемая цифрой (знаком) в записи числа, зависит от ее позиции. Количество используемых цифр (знаков) называется основанием позиционной системы счисления. За основание системы можно принять любое натуральное число — два, три, четыре и т.д.

Система счисления, применяемая в современной математике, является позиционной десятичной системой. Ее основание равно десяти, т.к. запись любых чисел производится с помощью десяти цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Позиционный характер этой системы легко понять на примере любого многозначного числа.

Например, в числе 333 первая тройка означает три сотни, вторая – три десятка, третья – три единицы. Для записи чисел в позиционной системе с основанием n нужно иметь алфавит из n цифр. Обычно для этого при n < 10 используют n первых арабских цифр, а при n > 10 к десяти арабским цифрам добавляют буквы. Вот примеры алфавитов некоторых систем:

Если требуется указать основание системы, к которой относится число, то оно приписывается нижним индексом к этому числу. Запись чисел в каждой из систем счисления с основанием q означает сокращенную запись выражения

A_q=±(a_n-1q^n-1+ a_n-2q^n-2+...+ a₀q⁰+ a_-1q^-1+ a_-2q^-2+ a_-mq^-m),

здесь А – само число, q – основание системы счисления, а_i – цифры (знаки) данной системы счисления, n – число разрядов целой части числа, m – число разрядов дробной части числа.

Примеры (индекс внизу указывает основание системы счисления):

37,25₁₀ =3*10¹+7*10⁰+2*10^-1+5*10^-2,

325,7₈=3*8²+2*8¹+5*8⁰+7*8^-1,

А5,F₁₆=10*16¹+5*16⁰+15*16^-1.

При работе с компьютерами приходится параллельно использовать несколько позиционных систем счисления, поэтому большое практическое значение имеют процедуры перевода чисел из одной системы в другую. Способ перевода чисел из любой позиционной системы счисления в десятичную продемонстрирован в приведенных выше примерах.

Для перевода десятичных чисел в другие системы счислениянеобходимо:

Перевод целых чисел.

1) Основание новой системы счисления выразить в десятичной системе счисления и все последующие действия производить в десятичной системе счисления;

2) последовательно выполнять деление данного числа и получаемых неполных частных на основание новой системы счисления до тех пор, пока не получим неполное частное, меньшее делителя;

3) полученные остатки, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления;

4) составить число в новой системе счисления, записывая его, начиная с последнего частного.

Перевод дробных чисел.

1) Основание новой системы счисления выразить в десятичной системе и все последующие действия производить в десятичной системе счисления;

2) последовательно умножать данное число и получаемые дробные части произведений на основание новой системы до тех пор, пока дробная часть произведения не станет равной нулю или не будет достигнута требуемая точность представления числа в новой системе счисления;

3) полученные целые части произведений, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления;

4) составить дробную часть числа в новой системе счисления, начиная с целой части первого произведения.

Перевод смешанных чисел, содержащих целую и дробную части, осуществляется в два этапа. Целая и дробная части исходного числа переводятся отдельно по соответствующим алгоритмам. В итоговой записи числа в новой системе счисления целая часть отделяется от дробной запятой (точкой).

Для перевода чисел из 2-ной в 8-ную и наоборот, из 2-ной в 16-ную и наоборот, из 8-ной в 16-ную и наоборот, используется таблица следующего вида:

При переводе в 8-ную систему или из нее необходимо группировать в тройки биты, а при переводе в 16-ную или из нее – группировать их в четверки битов.

Примеры.

Вопросы для самоконтроля

1. Что такое система счисления? Каковы основные атрибуты системы счисления?

2. Как переводятся целые числа из десятичной системы счисления в другую систему? Привести примеры.

3. Как переводятся дробные числа из десятичной системы счисления в другую систему? Привести примеры.

4. Какая система называется позиционной (непозиционной)?

5. Объясните переводы чисел из одной системы в другую по схемам:

2↔8, 8↔2, 2↔16, 16↔2, 8↔16, 16↔8,

Дата добавления: 2014-11-24; просмотров: 1084; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!