Лекция 3. Методы научного познания в обучении математике

Список использованных источников

1. Методика и технология обучения математике. Курс лекций: пособие для вузов/ под науч.ред. Н.Л. Стефановой, Н.С. Подходовой. – М.: Дрофа, 2005.

2. Подласый И.П. Педагогика. Новый курс: Учеб.для студ. Высших учеб.заведений: в 2-х кн.- М.: Гуманит.изд.центр ВЛАДОС, 2001.-Кн.1:Общие основы. Процесс обучения.

3. Сорокопуд Ю.В. Педагогика высшей школы. –Ростов н/Д: Феникс, 2011.

4. Зверева А.Т. Нетрадиционные технологии обучения математике в школе.- Курган, 1995.

Исходя из сформулированных в предыдущих лекциях задач, стоящих перед образовательными учреждениями, речь идет об обучении не только готовым знаниям, но и методам познания, приводящим к этим знаниям. В дидактике эти методы называются методами психологии. К ним относятся: наблюдение, опыт и измерение, сравнение, обобщение и конкретизация, анализ и синтез, абстрагирование, индукция и дедукция.

Наблюдением называется метод изучения и фиксирования свойств и отношений объектов и явлений окружающего мира, рассматриваемых в естественных условиях. Наблюдение отличается от простого восприятия – процесса непосредственного отражения в сознании некоторого объекта в момент его воздействия на органы чувств. Кроме восприятия, наблюдение за объектом включает в себя фиксирование в слове (или записи) результатов наблюдения.

Общий прием наблюдения:

1) Определить (или принять данную учителем) цель наблюдения;

2) Выделить объект наблюдения и организовать удобные условия наблюдения;

3) Определить наиболее целесообразные для данного случая способы фиксирования (кодирования) получаемой в процессе наблюдения информации (описание, зарисовка, запись данных в таблицу и т.д.).

4) Выполнить наблюдение, сопровождая его избранным способом фиксирования результатов.

5) Произвести анализ и обработку результатов наблюдения.

6) Сделать выводы.

Под опытом (экспериментом) понимают такой метод изучения объектов и явлений, с помощью которого вмешиваются в естественное состояние и развитие, создавая для них искусственные условия, искусственно их расчленяя на части, соединяя их с другими объектами и явлениями. Всякий эксперимент (опыт) связан с наблюдением и измерением каких-либо характеристик изучаемого объекта или явления.

Эти методы занимают центральное место в так называемых экспериментальных науках (физике, химии), к которым математика не относится, и поэтому не являются ведущими методами математических исследований, но имеют большое значение в преподавании математики.

Наблюдение, опыт и измерение направлены на создание в процессе обучения специальных ситуаций, при рассмотрении которых у учащихся формируются представления об изучаемых объектах и их свойствах, выявляются очевидные закономерности, геометрические факты, идеи доказательства и т.д. Тем самым создаются предпосылки для развития наглядно-образного и практически-действенного мышления – первой ступени развития всякого мышления. Результаты наблюдения, опыта и измерений служат основанием для индуктивных выводов, с помощью которых осуществляется открытие новых истин. Рассмотренные методы называются также эмпирическими методами (в отличие от логических).

Сравнение – мысленное установление сходства или различия изучаемых объектов.

О роли сравнения в познании свидетельствует известный афоризм: «все познается в сравнении». Сравнение помогает пониманию и открытию нового, т.к. оно сводит неизвестные отношения к известным, облегчает изучение сходных вопросов. Различают две основные формы сравнения: а) сопоставление (выделение существенных признаков, установление сходства); в) противопоставление (выделение несущественных признаков, от которых можно отвлечься при выделении существенных, установление различия, сравнение по разным признакам и в разных направлениях). Использование метода сравнения в обучении должно подчиняться следующим требованиям:

1) Сравнивать можно только такие объекты, которые имеют определенную связь друг с другом, т.е. сравнение должно иметь смысл. Например, можно сравнивать различные функции, одноименные величины, но не имеет смысла сравнивать периметр треугольника с массой тела.

2) Сравнение должно проходить планомерно с четким выделением тех свойств, по которым в определенной системе проводится сравнение.

3) Сравнение по одним и тем же свойствам должно быть полным, доведенным до конца.

Сравнение подготавливает почву для обобщения. При обобщении выявляют какое-нибудь свойство, общее для сравниваемых объектов и объединяющее эти объекты воедино. При этом общие свойства различают двух видов: сходные и существенные (в данном случае, с точки зрения математики) признаки. Всякое существенное сходство является вместе с тем и общим для данной группы однородных объектов, но не наоборот (например, цвет для геометрических фигур). Отсюда – две формы обобщения: а) первичное, эмпирическое обобщение посредством соотнесения и выделения общего в двух или нескольких объектах или явлениях и в) высшая форма научного обобщения, основанного на выделении существенных свойств объектов или явлений.

Под обобщением понимают также переход от единичного к общему, от менее общего к более общему. Это один из основных путей расширения математических знаний, предпосылка и результат понятийного и структурного мышления. Роль обобщения в обучении математике не только в том, что оно составляет сущность математики, это – необходимый этап полного цикла учебно-познавательной деятельности учащихся по усвоению знаний.

Конкретизация – переход от более общего к менее общему, от общего к конкретному, единичному. Используется два вида конкретизаций: конкретизация – иллюстрация или конкретизация – подтверждение.

Обобщение и конкретизация тесно связаны с такими мыслительными операциями как анализ и синтез. Под анализом принято понимать:

· Форму мышления, исследования и познания, когда изучаемый объект мысленно или практически расчленяется на составные части, каждая из которых изучается отдельно, с тем, чтобы в дальнейшем соединить с помощью синтеза в единое целое, рассматриваемое уже на более высоком уровне;

· Метод рассуждения, при котором мысль движется от неизвестного к известному;

· Метод мышления от целого к частям этого целого;

· Прием мышления, при котором переходят от следствия к причине;

· Особую форму процесса мышления, когда объект включается во все новые связи и в силу этого выступает во все новых качествах, которые фиксируются в новых понятиях (с точки зрения психологии).

Синтезом называют:

· Форму мышления, исследования и познания, когда изучаемый объект мысленно или практически соединяется в единое целое из составных частей объекта, расчлененного в процессе анализа;

· Метод рассуждения, при котором мысль движется от известного к неизвестному;

· Метод мышления от частей к целому;

· Прием мышления, при котором переходят от причины к следствию;

· Особую форму процесса мышления, когда происходит соотнесение, сопоставление и установление всяких связей между различными элементами (с точки зрения психологии).

Анализ и синтез используются при решении текстовых задач, при доказательстве теорем и решении задач на доказательство, при решении задач на построение.

Аналитический и синтетический методы доказательства теорем известны с древних времен. Аналитический метод доказательства заключается в том, что отправляясь от заключения и опираясь на известные предложения, показывают, что заключение является логическим следствием условия; рассуждают от неизвестного к известному, от искомого к данным. Рассуждение осуществляется по схеме: «Для того чтобы доказать ……, нужно установить ……». Здесь существуют две разновидности: а) восходящий (или совершенный) анализ, в) нисходящий анализ.

При восходящем анализе ведущим вопросом является: «что надо знать, чтобы ответить на поставленный вопрос?». Таким образом, для доказываемого утверждения последовательно подбирают достаточные основания, от следствия «восходят» к основанию. Достоинства восходящего анализа: а) рассуждение имеет отправной пункт, мотивируется каждый его шаг, в процессе доказательства развертывается осознаваемый учащимися план рассуждений; б) усиливается эвристический элемент, учащиеся принимают активное участие в создании доказательства; в) если доказательство пойдет другим путем, то восходящий анализ дает один из ключей к его созданию. Недостатки: восходящий анализ не является безотказным для отыскания доказательства, т.к. для каждого высказанного предложения можно подобрать несколько оснований и доказательство может пойти не по тому пути; некоторые ограничения на его применение накладывает то обстоятельство, что школьные доказательства практически все синтетические, а учителя не всегда проводят анализ доказательства.

При нисходящем анализе рассуждение с предположения: «допустим, что доказываемое утверждение верно, что отсюда следует?». Опираясь на допущение и доказанные ранее утверждения, выводим одно или несколько следствий, из этих следствий следующие и так до тех пор пока не получим заведомо верное утверждение или придем к противоречию. В первом случае сделаем вывод, что доказываемое верно, а во втором – ложно. Однако вывод о верности доказываемого не является надежным, т.к. из неверной посылки можно получить верное следствие. Достоинства нисходящего анализа: а) он имеет преимущества перед восходящим анализом в отношении поиска плана доказательства, т.к. учащиеся делают переход от предложения к следствию легче (это привычнее), чем от предложения к его обоснованию; б) широко используется в учебном процессе в качестве педагогического метода Сократа: при появлении неверного утверждения со стороны ученика, учитель, не отклоняя этого предложения, ставит ученику целесообразно подобранные вопросы и в результате подводит его к явному противоречию с известным предложением; затем вскрывается ошибочность первоначального утверждения ученика.

Синтетический метод доказательства заключается в том, что отправляясь от условия и пользуясь известными предложениями, получают заключение как логическое следствие условия; рассуждают от известного к неизвестному, от данных к искомому. Недостатки метода: а) доказывающий теорему не может мотивировать, на каком основании взяты те или иные положения за исходные, сделаны те или иные преобразования (дополнительные построения), и только в последний момент видна целесообразность доказательства; поэтому синтетические доказательства для начинающих изучать математику кажутся искусственными и, следовательно, в чистом виде мало удобны для обучения; б) в распоряжении доказывающего нет критерия выбора пути доказательства и тех положений, которые нужно использовать дальше, он может пойти неправильным путем и не достигнуть цели. Таким образом, синтетический метод не пригоден как метод поиска доказательства. Применение чисто синтетического метода доказательства на уроках неизбежно приводит к использованию лекционного метода, что ограничивает активность учащихся. Достоинства: а) если синтетическое рассуждение исходит из верных посылок и с логической точки зрения безупречно, то оно приводит к верному выводу; синтетическим методом теорема доказывается или опровергается; б) синтетическое изложение доказательства отличается исчерпывающей полнотой и краткостью, а поэтому удобно для представления в письменной форме; в) синтетический метод уместен в логически нетрудных теоремах и простых задачах, где нет необходимости особо искать план и способ доказательства, потому что они очевидны (анализ здесь может присутствовать в скрытом виде и не осознаваться).

Таким образом, недостатки анализа являются преимуществами синтеза и наоборот, поэтому оба метода применяются совместно, они неизменно связаны и взаимодействуют. В поиске доказательства первенствует анализ, но он скрывает в себе синтез; в изложении доказательства и в простых теоремах первенствует синтез, но он скрывает в себе анализ. Поэтому анализ и синтез составляют единый аналитико-синтетический метод.

Аналогично анализ и синтез используются при решении задач на доказательство и вычисление, при условии, что учащимся неизвестен алгоритм или специальный прием их решения. Анализ при решении геометрических задач на построение, так называемый анализ древних или классический анализ состоит в следующем:

1) Предположить, что задача решена и выполнить эскиз;

2) Рассмотреть эскиз, выделить данные и искомые элементы, установить зависимость между ними, если нужно, сделать дополнительные построения;

3) Установить, какие и в каком порядке нужно выполнить простейшие геометрические построения, чтобы по данным элементам построить искомую геометрическую фигуру.

Синтез в этом случае – в выполнении построений по намеченному плану.

Анализ при решении текстовых задач алгебраическим методом, так называемый алгебраический анализ, состоит в следующем: 1) выделить в условии задачи величину (две или более), которую удобно обозначить (принять) за неизвестное; 2) выразить все величины, входящие в условие задачи (и связанные между собой с помощью формул, законов и т.п.), через данные задачи и выбранное неизвестное (два или более); 3) на основе условия задачи установить равенство (два или более) между полученными алгебраическими выражениями одноименных величин. Синтез в этом случае состоит в решении полученного уравнения (или системы уравнений), и переводе решения на язык данной задачи.

Т.к. математика не изучает реальные объекты, а лишь модели этих объектов, то мыслительные операции анализа, синтеза, обобщения невозможны без мыслительной операции абстрагирования.

Абстрагирование – это мысленное отвлечение, отделение общих, существенных свойств, выделенных в результате обобщения, от прочих несущественных или необщих свойств рассматриваемых предметов или отношений и отбрасывание (в рамках нашего изучения) последних.

Когда говорят «несущественные свойства», то имеют в виду несущественные с математической точки зрения или с точки зрения поставленной задачи.

Переход от частного к общему, от единичных фактов, установленных с помощью наблюдения, опыта, измерения, к обобщениям является закономерностью познания. Неотъемлемой логической формой такого перехода является индукция, представляющая собой метод рассуждения от частного к общему, вывод заключения из частных посылок.

Если вывод сделан на основании рассмотрения двух или нескольких частных суждений, то говорят о неполной индукции. Вывод по неполной индукции носит вероятностный характер, он может быть истинным или ложным. Поэтому неполная индукция не применяется при изложении математических теорий, но она имеет место при их возникновении и развитии в творчестве математиков и в процессе обучения.

Полной (совершенной, формальной) индукцией называется такое умозаключение, в котором вывод делается на основании рассмотрения всех без исключения частных случаев. В названии этого вида индукции отражены ее достоинства: «совершенная» означает, что она дает безупречные, совершенные выводы; «формальная» означает, что она может быть методом доказательства: если нужно доказать теорему относительно понятия А и дать единое доказательство невозможно, то родовое понятие разбивается на подвиды А , А ,….А , полностью исчерпывающие понятие А; затем отдельно доказывается истинность теоремы для каждого из подвидов и, опираясь на эти частные суждения, утверждается правильность (истинность) доказываемой теоремы А. Примеры: область значений показательной функции - есть множество всех положительных чисел; теорема косинусов, теорема об измерении вписанного угла и др.

Термин «индукция» употребляется также в следующих его значениях: а) индукция как метод исследования предполагает переход от знания менее общих положений к знанию более общих положений; б) как форма изложения информации, когда от менее общих, единичных, частных положений идут к более общим выводам. В этих значениях индукция используется в преподавании, особенно в младших классах, как конкретно-индуктивный метод обучения, дающий возможность наводить учащихся на открытие и формулировку нового для них предложения и играющий, таким образом, эвристическую роль. Однако учитель должен не только обучать индуктивным умозаключениям и их применению, но и стоять на страже правильности индуктивного вывода. Постепенно доводить до сознания учащихся несовершенство индуктивных умозаключений, приводя примеры неверных выводов по неполной индукции, и даже при использовании полной индукции следить за тем, чтобы были исчерпаны все возможные случаи. Показательны примеры из истории математики. Например, П. Ферма предположил, что все числа вида 2 + 1 простые, исходя из того, что при п = 1,2,3,4 они являются таковыми, но Л. Эйлер нашел, что уже при п = 5 число 2 + 1 является составным, оно делится на 641. Аналогично, предполагалось, что числа вида п + п +17 – простое. Докажите, что при п = 16 это число является составным.

Дедукция (лат.deductio – выведение) есть форма умозаключения, при которой от одного общего суждения и одного частного суждения, получают новое менее общее или частное суждение.

Простейшая и типичная форма дедуктивного умозаключения – силлогизм: из двух посылок (большой и малой, имеющих общий термин), получается третье суждение – вывод. Аксиома силлогизма: все что утверждается относительно всего множества элементов распространяется на любой элемент этого множества. Например, доказывая подобие данных на чертеже треугольников, опираются на общие признаки подобия треугольников.

В логике формулируется система правил, которые нужно соблюдать для получения истинного заключения в силлогизме. Приведем некоторые из них: 1) в силлогизме должно быть только три термина – не больше и не меньше, причем общий (средний) термин должен быть одним и тем же; 2) если одна из посылок является отрицательной, то и вывод не может быть положительным; 3) из двух отрицательных посылок нельзя получить никакого вывода; 4) из двух частных посылок нельзя сделать с помощью силлогизма никакого вывода; 5) если одна из посылок частная, то и вывод, если он возможен, может быть только частным.

Дедуктивное умозаключение может быть в трех видах: а) от более общего суждения к менее общему; б) от общего к общему, от единичного к частному. Пример последнего: «число 2 – простое», «число2 – натуральное», следовательно, «некоторые натуральные числа являются простыми».

Если часть силлогизма в рассуждениях опускается, получается сокращенный силлогизм (энтимема); если заключение одного силлогизма служит посылкой для другого, и затем следует общий вывод, получается сложный силлогизм (полисиллогизм). Весь процесс доказательства теоремы строится как цепь силлогизмов; в качестве больших посылок используются аксиомы или ранее доказанные теоремы, или следствия из них, или определения; малыми (или подводящими) посылками служат условия теорем, или следствия из них, полученные на основании умозаключений.

Правильность дедуктивного умозаключения зависит от истинности обеих посылок и соблюдения правил вывода. В этом случае заключение всегда истинно, это одно из достоинств дедукции. Другое достоинство – ее выводы являются общими, охватывающими все множество возможных случаев. Недостаток дедукции для преподавания – большие трудности для понимания и усвоения учащимися.

Термин «дедукция» употребляется также в следующих значениях: а) дедукция как метод исследования предполагает переход от знания более общих к знанию менее общих положений; б) дедукция как форма изложения материала, когда от общих положений, законов и т.п. переходят к менее общим положениям. В этих значениях дедукция играет огромную роль в науке математике и ее преподавании. Математика является дедуктивной наукой, в которой только небольшое число суждений принимается за истинные без доказательства, истинность всех остальных проверяется (доказывается). Доказать теорему – это значит, опираясь на суждения, истинность которых установлена, показать, что заключение теоремы также истинно. Доказательство обосновывает общность доказываемого предложения, т.е. применимость его ко всем частным случаям. При помощи доказательств все математические суждения приводятся в стройную систему истинных знаний, в которой раскрываются все внутренние связи между понятиями.

Впервые теория дедукции была разработана Аристотелем, она развивалась и совершенствовалась с развитием науки логики. Особое развитие с учетом потребностей математике она получила в виде теории доказательства в математической логике.

Так как математика является дедуктивной наукой, то важнейшую роль в этом отношении играет аксиоматический метод – такой метод научного построения теории, при котором из конечного числа аксиом выводят остальные положения этой теории.

Аксиоматический метод возник в древней Греции (4-3 в. в.до н.э.), в связи с разработкой системы геометрии. Наиболее совершенным для того времени образцом его являются «Начала» Евклида, которые и считались таковыми до второй половины 19 в. Аксиоматика Евклида была так называемой «содержательной» аксиоматикой – аксиомы и вытекающие из них теоремы рассматривались как содержательные (т.е. имеющие реальный смысл) высказывания об объектах геометрии, а сам логический вывод из них предполагался интуитивно понятным. Но с появлением геометрии Н.И. Лобачевского стало ясно, что нельзя дать единые общие определения основных понятий и сформулировать их свойства, так как если мыслимых геометрий много, то в каждой из них должны быть свои основные понятия и аксиомы.

Переход от содержательного к формальному пониманию математической теории связан с работами Д. Гильберта, который начинает аксиоматическое построение геометрии словами: «Мы имеем три различные системы вещей называемые точками, прямыми и плоскостями. В множестве этих вещей введем некоторые отношения, обозначаемые словами «принадлежит», «между», «конгруэнтность» т.д. Не затрагивается не только природа вещей, но и смысл отношений, используются лишь их формальные свойства, составляющие содержание аксиом. Таким образом осуществляется переход от аксиоматизации содержания к аксиоматизации формы – в одну и ту же форму можно включить различное содержание, т. е. создать различные модели или интерпретации данной аксиоматики.

Сила такого аксиоматического метода в том, что он, во-первых расширяет число и объем математических дисциплин, во-вторых, связывает воедино такие теории, которые первоначально казались совершенно обособленными, в-третьих, становится методом их развития. Сравнительно за короткий срок современный аксиоматический метод оказал благотворное влияние на обоснование и развитие теории множеств, теоретической арифметики, алгебры, топологии, метрической геометрии, теории вероятностей, а также некоторых разделов естествознания.

Аксиоматический метод – наиболее совершенная разновидность свойственного математике процесса формализации, необходимый его элемент. Под формализацией понимается отвлечение от изменчивости, текучести, подвижности предметов или явлений действительности и сопоставление им некоторых математических конструкций, обладающих устойчивым характером (точка, геометрическая фигура, математический маятник и т.д.). Характерной чертой формализации в математике является появление особой символики, построение логических счислений, создание различных формализованных языков (теории множеств, математической логики и др.), которые сами становятся зародышами новых понятий и свойств, средством познания новых истин.

Таким образом, современный аксиоматический метод состоит из двух частей: 1) абстрагирование теории от конкретных образов и 2) дедуктивное построение теории вне интерпретации на базе какой-нибудь системы аксиом. Предметом многолетней дискуссии в методической литературе являются следующие аспекты отражения аксиоматического метода в школьном обучении математике: а) в какой мере аксиоматический метод может быть использован как способ построения школьного курса математики или отдельных его разделов; б) в каком виде и на каком конкретном материале, на каком этапе обучения возможно ознакомление учащихся с самим аксиоматическим методом; в) в какой форме и в какой мере аксиоматический метод может быть адаптирован как метод обучения.

Методические исследования и практика обучения математике показывают, что как способ построения школьного курса аксиоматический метод в полном объеме не может быть использован в силу возрастных особенностей учащихся. Можно осуществить частично только одну его часть – дедуктивное построение теории, и то не в абстрактной форме, а в определенной конкретной модели (например, рассмотреть логическое строение школьного курса геометрии на аксиоматике Евклида).

Список использованных источников

1. Епишева О.Б. Общая методика преподавания математики в средней школе: Курс лекций. – Тобольск, 1997.

2. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика/ сост. Р.С. Черкасов, А.А. Столяр. – М.: Просвещение, 1985.

3. Методика и технология обучения математике. Курс лекций/ под ред. Н.Л. Стефановой, Н.С. Подходовой. – М.: Дрофа, 2005.

Лекция 4. Организация контроля обученности

1. Понятие диагностики обученности. Диагностические процедуры.

2. Контроль знаний и умений как диагностическая процедура.

3. Виды, формы и средства контроля.

Понятие диагностики. Диагностические процедуры

С позиций общей методологии науки диагностика рассматривается как специализированная область познания, включающая в себя теорию и методы организации процессов распознавания, а также принципы организации и построения средств диагноза.

Педагогическая диагностика используется в учебно-воспитательных системах и ее объектом может быть: субъект системы (личность, коллектив, процесс), учебно-воспитательная ситуация, деятельность субъектов систем.

Предметом педагогической диагностики может быть: уровень обученности и образованности, содержание и эффективность предметной деятельности, воспитанность личности и сформированность личностных качеств.

Педагогическая диагностика является неотъемлемой частью каждого планомерного учебного процесса. Тот, кто обучает другого в самом широком смысле этого слова, всегда следит за тем, как обучаемый усваивает материал. Эти наблюдения за успеваемостью на протяжении многих столетий велись в значительной степени интуитивно и без научного анализа. Независимо от условий, в которых проводится занятие, диагностика, служащая улучшению учебного процесса, должна ориентироваться на следующие цели:

- подтверждение успешных результатов обучения;

- определение пробелов в обучении;

-внутренняя и внешняя коррекция в случае неверной оценки результатов обучения;

- планирование последующих этапов учебного процесса;

- мотивация с помощью поощрения за успехи в учебе и регулирование сложности последующих шагов;

- улучшение условий учебы.

В диагностической деятельности можно выделить следующие компоненты:

1) Сравнение. Оно является отправной точкой процесса диагностики. Наблюдая за результатами обучения учащегося, мы сравниваем его прежние результаты с настоящими или с результатами других в настоящем или прошлом, или с результатами какого-то неизвестного нам лица. Важным моментом здесь является сопоставимость сравниваемых характеристик. В педагогической диагностике эти характеристики называются соотносительной нормой (эталоном). Нормы, т.е. требования, которые представляют собой краткую характеристику минимально необходимых результатов, задаются государственными образовательными стандартами.

2) Анализ. При анализе мы устанавливаем, почему результаты того или иного ученика отличаются от прежних, от результатов других учеников или же отклоняются от нормы. Наша задача определить, за счет чего удалось достигнуть высоких результатов, либо что помешало достичь норму.

3) Прогнозирование. Результат анализа позволяет внести необходимые процедуры в организацию учебного процесса, прогнозировать исправление ситуации неуспеха или закрепление достигнутого.

4) Интерпретация. Преподаватель должен постоянно давать оценку, в которую наряду с его собственной точкой зрения и ожиданиям вплетается информация, накопленная им за какой-то промежуток времени.

5) Объявление, т.е. доведение до сведения учащихся результатов диагностической деятельности и контроль за воздействием на них этой информации. Сообщение результатов диагностической деятельности играет несравненно важную роль в педагогической диагностике. Обратная связь необходима для того, чтобы оказывать педагогическую помощь.

Таким образом, любая диагностическая деятельность учителя начинается с измерения результатов учебной деятельности, другими словами с контроля обученности.

Дата добавления: 2014-03-01; просмотров: 2237; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!