Выражение деформаций через перемещения

Выделим малую частицу упругого тела, т. е. элемент объемом dxdydz в ближайшей окрестности некоторой точки O (рис. 5.2).

Рис. 5.2

Рассмотрим деформацию элемента (ограниченное штриховой линией), а осевые перемещения u, v, w являются составляющими полного перемещения точки O относительно осей координат.

а) Линейные деформации. Вдоль оси x перемещение ребра ОA, будет следовательно,

абсолютное удлинение duребра OA, равно

или

Относительные деформации удлинения -ε, сдвига –γ. Для указания направления деформирования используем те же индексы, что и для составляющих напряжений. Например, относительное удлинение (деформация)частицы элемента в точке O в направлении оси x определится отношением:

.

Аналогично относительные удлинения по направлению осей y и z задаются производными

В результате получим три соотношения

(5.2)

выражающие линейную относительную.деформацию (ε_x, ε_y, ε_z) через одно соответствующее перемещение (u, v или w).

Б)Сдвиговые деформации. Рассмотрим изменение угла между отрезками OA и OB (рис. 5.3), которые до деформирования тела были взаимно перпендикулярны. Отложим на рисунке величины u и v – перемещения точки O в направлении осей x→и и y→v. Перемещения точки A в направлении оси y и точки B в направлении оси x будут соответственно равны

Рис. 5.3

За счет этих перемещений направление отрезка O₁A₁ О׀В׀ угол

Поэтому первоначальный прямой угол AOB между отрезками OA и OB уменьшится на величину

. (а)

Эта величина представляет собой относительную деформацию сдвига в плоскости xy (см. рис. 5.3).

Аналогичным образом можно найти деформацию сдвига элементарной частицы в плоскостях yz и xz (см. рис.5.2):

, (б)

Шесть величин, определяемых формулами (5.2), (а) и (б),

(5.3)

называются формулами (или соотношениями) Коши*.

Дата добавления: 2014-03-03; просмотров: 711; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!