Лекция 2. Напряженность электрического поля. Принцип суперпозиции. Теорема Гаусса

1. Напряженность электрического поля. Напряженностью электрического поля в заданной точке называется физическая величина, равная отношению силы, с которой электрическое поле действует на точечное тело с положительным электрическим зарядом, помещенным в данную точку поля, к этому заряду.

(2.1) – математическая запись определения напряженности электрического поля в заданной точке. В формуле (2.1) - напряженность электрического поля в заданной точке, - сила, с которой электрическое поле действует на точечное тело с положительным электрическим зарядом , помещенное в заданную точку (электрическая сила). Из определения (2.1) следует, что (рис.6).

Из определения (2.1) (2.2), где Е – модуль напряженности электрического поля в заданной точке, F_E – модуль электрической силы.

Получим формулу для вычисления напряженности электрического поля точечного тела с электрическим зарядом в заданной точке.

В соответствии с определением (2.1) поместим в т.А точечное тело с положительным электрическим зарядом (рис.7) и для взаимодействия точечных тел с электрическими зарядами и запишем закон Кулона:

В точке А напряженность электрического поля , вектор лежит на прямой, соединяющей точечное тело с электрическим зарядом q₁ с т.А и направлен от этого точечного тела. Аналогично получаем формулу для напряженности электрического поля в т.С: . Так как q₂ < 0, то , то есть вектор лежит на прямой, соединяющей точечное тело с электрическим зарядом q₂ с т.С и направлен к этому точечному телу. В общем случае (2.3). В формуле (2.3) q – электрический заряд точечного тела, – радиус-вектор, проведенный из точечного тела в заданную точку,

r – модуль этого радиус-вектора (расстояние от точечного тела до заданной точки), - напряженность электрического поля в заданной точке. Из (2.3) получаем формулу для модуля напряженности электрического поля точечного тела с электрическим зарядом в заданной точке: (2.4), – модуль электрического заряда точечного тела. – вариант записи формулы (2.4). Модуль напряженности электрического поля точечного тела с электрическим зарядом в заданной точке обратно пропорционален квадрату расстояния от точечного тела до заданной точки. На рис.8 представлен график этой зависимости.

Силовой линией электрического поля называется линия с указанным на ней направлением, в каждой точке которой напряженность электрического поля является касательной к этой линии и направление напряженности совпадает с направлением на малом участке силовой линии, содержащем точку касания (рис.9). Силовые линии электрических полей точечных тел с электрическими зарядами изображены на рис.10.

2. Принцип суперпозиции. Для любой точки А_i в некотором объеме V напряженность электрического поля нескольких тел с электрическими зарядами, расположенных в этом объеме, равна сумме напряженностей электрических полей в этой точке, которые были бы при отдельном поочередном расположении в этом объеме каждого из тел при условии, что расположение каждого тела идентично его первоначальному расположению в объеме V вместе с другими телами. Это утверждение называется принципом суперпозиции. На рис.11 показано применение принципа суперпозиции для электрического поля трех точечных тел с электрическими зарядами q₁, q₂ и q₃. ,и - напряженности электрических полей в т.А, которые были бы, если бы точечные тела с электрическими зарядами q₁, q₂ и q₃ располагались в точках В, С и D по одному поочередно. - напряженность электрического поля в т.А при одновременном расположении точечных тел в точках В, С и D. В соответствии с принципом суперпозиции . Формулу для модуля можно получить из этого равенства, применяя соответствующие математические теоремы и определения.

Определив направление вектора во многих точках электрического поля, можно построить силовые линии электрического поля нескольких точечных тел с электрическими зарядами. На рис.12 изображены силовые линии электрического поля двух точечных тел с электрическими зарядами.

В настоящее время для вычерчивания силовых линий электрического поля нескольких тел с электрическими зарядами успешно используются компьютерные программы.

Элемент с электрическим зарядом является точечным телом. Модуль напряженности электрического поля элемента кольца с электрическим зарядом в т.А в соответствии с формулой (2.4)

(2.7). Подставляя формулы (2.5) и (2.6) в (2.7), получаем (2.8). Из (2.8) видно, что для всех элементов кольца модули одинаковы. В частности, . В соответствии с принципом суперпозиции . - напряженность электрического поля двух диаметрально противоположных элементов кольца с электрическими зарядами в точке А. Векторы и представим в виде суммы двух слагаемых: , . С учетом этих равенств (2.9). В равенстве (2.9) слагаемые и параллельны плоскости кольца, слагаемые и перпендикулярны этой плоскости. , , , то есть . Это значит, что , и (2.9) преобразуется в равенство (2.10). , (2.11) , то есть . Это значит, что и (2.10) преобразуется в равенство . Из этого равенства следует, что . С учетом (2.8) и (2.11) из этого равенства получаем

- формула для модуля напряженности электрического поля двух диаметрально противоположных элементов кольца с электрическими зарядами в заданной точке А.

В соответствии с принципом суперпозиции . Так как все сонаправлены, то (2.12) - формула для модуля напряженности электрического поля тонкого кольца радиусом r с равномерно распределенным зарядом q в точке А на оси кольца на расстоянии d от плоскости кольца.

Рассмотрим электрическое поле бесконечно протяженной плоскости с электрическим зарядом, непрерывно распределенным по этой плоскости.

Физическая величина, равная отношению электрического заряда на поверхности с малой площадью к этому заряду, называется поверхностной плотностью электрического заряда: (2.13) – математическая запись определения поверхностной плотности электрического заряда. Если для всех точек плоскости, то векторы и перпендикулярны плоскости, , . Электрическое поле является однородным и по одну сторону от плоскости, и по другую сторону от нее. Силовыми линиями такого поля являются прямые, перпендикулярные плоскости (рис.14). Эти выводы можно сделать, разбив плоскость на бесконечное множество поверхностей с малыми и используя для системы из множества точечных тел с электрическими зарядами принцип суперпозиции.

3. Поток напряженности электрического поля. Теорема Гаусса. Потоком вектора через плоскую поверхность с площадью S, ограниченную замкнутым контуром L, называется физическая величина, равная произведению модуля напряженности электрического поля Е на площадь плоской поверхности S и на косинус угла между вектором и нормалью к плоской поверхности (рис.15). - математическая запись определения потока вектора через плоскую поверхность. Так как , то (2.14), где - проекция вектора на нормаль . Определение (2.14) правомерно только в однородном электрическом поле.

Если поверхность с площадью S неплоская, либо электрическое поле неоднородное, либо то и другое вместе, то в этих случаях можно дать определение потока вектора через поверхность с малой площадью dS. (2.15). В определении (2.15) - поток вектора через поверхность с малой площадью dS. Площадь поверхности dS можно считать малой, если во всех точках поверхности и . Величина (2.16) называется потоком вектора через поверхность произвольной формы, ограниченную замкнутым контуром L и расположенную в неоднородном электрическом поле (рис.16). Поток Ф_Е можно вычислить, если проекция Е_n задана как функция координат Е_n(x,y,z) на всей поверхности с площадью S.

.

Полученный результат называется теоремой Гаусса: поток вектора через сферическую поверхность, внутри которой в ее центре находится точечное тело с электрическим зарядом q₁, равен отношению этого электрического заряда к электрической постоянной . Точнее, это теорема Гаусса в простейшем частном случае.

Докажите самостоятельно, что и в тех случаях, когда точечное тело с электрическим зарядом q находится внутри сферической поверхности, но не в ее центре, либо когда точечное тело с электрическим зарядом q находится внутри замкнутой поверхности произвольной формы.

Рассмотрим общий случай, когда в объеме V, ограниченном замкнутой поверхностью, находится N точечных тел с электрическими зарядами (рис.18). (Будем считать, что в двух предыдущих частных случаях теорема Гаусса доказана.) В соответствии с принципом суперпозиции для любой точки замкнутой поверхности и (2.19). Подставим (2.19) в определение (2.16): (2.20) (2.21) при любой замкнутой поверхности и при любом расположении точечного тела с электрическим зарядом q_i внутри этой поверхности. Из (2.20) И (2.21) получаем (2.22). Формула (2.22) является математической записью теоремы Гаусса в общем случае: поток напряженности электрического поля через любую замкнутую поверхность равен отношению алгебраической суммы электрических зарядов точечных тел, находящихся в объеме, ограниченном этой поверхностью, к электрической постоянной .

Непрерывное распределение электрического заряда по объему характеризуется плотностью электрического заряда (2.23). В этом определении

- электрический заряд в малом объеме dV, .

Если плотность электрического заряда задана как функция координат во всем объеме V, то электрический заряд в этом объеме (2.24). В этом случае сумму в (2.22) нужно заменить интегралом (2.24): (2.25). Равенство (2.25) является математической записью теоремы Гаусса в случае непрерывного распределения электрического заряда по объему V, ограниченному замкнутой поверхностью площадью S.

Из определения (2.13) . Вычислим электрический заряд на поверхности с площадью S: (2.26). Заключим часть плоскости с площадью S внутрь цилиндра, образующая которого перпендикулярна плоскости, а его основания имеют площадь S. В этом случае поток вектора через боковую поверхность равен нулю, значит, поток вектора через всю поверхность цилиндра – это поток напряженности электрического поля через его основания: (2.27). По теореме Гаусса с учетом (2.26) получаем (2.28). Приравнивая правые части (2.27) и (2.28), получаем , отсюда (2.29) – формула для вычисления модуля напряженности электрического поля в точках по обе стороны от плоскости с постоянной поверхностной плотностью электрического заряда. Если электрический заряд плоскости отрицательный, то формулу (2.29) надо записать в виде .

Рассмотрим электрическое поле между двумя параллельными бесконечно протяженными плоскостями с электрическими зарядами противоположных знаков при условии (рис.20). В этом случае , , то есть . По принципу суперпозиции в любой точке между плоскостями . Так как и , то , .

(2.30) – формула для вычисления модуля напряженности электрического поля в точках между двумя параллельными плоскостями с электрическими зарядами противоположных знаков и равными модулями поверхностных плотностей электрических зарядов.

Получите самостоятельно формулы для модуля напряженности электрического поля бесконечно длинной цилиндрической поверхности с постоянной поверхностной плотностью электрического заряда и электрического поля сферической поверхности с электрическим зарядом q.

Дата добавления: 2014-03-11; просмотров: 1477; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!