Двумерная математическая модель работы термостабилизатора в талых грунтах

(1.1)

где - температуры конденсатора, испарителя и атмосферы соответственно, выраженные в градусах Цельсия, - термическое сопротивление конденсатора, - термическое сопротивление от границы промерзания до парообразного хладагента в испарителе, - термическое сопротивление тепломассопереноса. Из условия теплового баланса получаем

(1.2)

где - мощность, передаваемая от грунта к атмосфере. Из (1) легко получить следующее соотношение

(1.3)

Из (1.1), (1.2) и (1.3) следует, что

(1.4)

(1.5)

Рассмотрим теперь состояние грунта в некоторый фиксированный момент времени. Температурное поле в замерзшей части грунта удовлетворяет стационарному уравнению теплопроводности,

(1.6)

решение которого дается следующим выражением

(1.7)

где -константы, -радиальная и продольная цилиндрические координаты, - радиус промерзания на данный момент времени. Использование такого рода стационарных температурных полей для решения задачи Стефана, как показано в работе [1], приводит к результатам, которые отличаются от точных на величину порядка десяти процентов, что, как будет показано ниже, слабо влияет на результат. Из выражения (1.7) можно получить тепловой поток

(1.8)

здесь - коэффициент теплопроводности мерзлого грунта. Из (1.7) и (1.8) легко получить для температуры в мерзлом грунте следующее выражение

(1.9)

где - внешний радиус трубки испарителя, - тепловой поток при . Рассчитаем теперь полное количество тепла, которое было затрачено на фиксированный момент времени на охлаждение и замораживание грунта . Оно является суммой двух вкладов: тепла выделенного при фазовом переходе и тепла потраченного на охлаждение грунта . Величина , очевидно, задается следующим выражением

(1.10)

здесь - теплота фазового перехода, - плотность льда, - доля объема в замороженном грунте, занятая льдом, -длина испарителя. Величина задается следующим соотношением

(1.11)

где - начальная температура грунта, -плотность мерзлого грунта, - удельная теплоемкость при постоянном давлении талого грунта, -аналогичная величина мерзлого грунта, -задается выражением (1.9). Прямой расчет показывает, что величина , значительно больше чем , поэтому отклонение модельного температурного поля задающегося выражением (1.9) от точного практически не влияет на результат, кроме того, отклонение величины от нуля градусов Цельсия, тоже, как правило, невелико по сравнению с величиной , что позволяет пренебречь теплом, которое тратится на изменение температуры за границей промерзания по сравнению с величиной . Проводя интегрирование в соотношении (1.11) получаем

(1.12)

где - мощность, отдаваемая грунтом испарителю на данный момент времени, задающаяся следующим выражением

(1.13)

Знак минус в выражении (1.13) вводится, поскольку тепловой поток в испарителе, в рассматриваемой системе координат, отрицателен. Из (1.10) и (1.12) находим полное количество тепла

(1.14)

Обозначим время от начала процесса замораживания до фиксированного момента через , тогда очевидно выполняется соотношение

(1.15)

Из (1.14) и (1.15) получаем

(1.16)

Термическое сопротивление испарителя, как показывают оценки, полностью определяется термическим сопротивлением грунта (пленкой и стальной стенкой можно пренебречь) и, следовательно, равно

(1.17)

Решая дифференциальное уравнение (1.16), с учетом (1.3) и (1.17) получаем

(1.18)

(1.19)

(1.20)

(1.21)

(1.22)

Интегралы и выражаются через элементарные функции и задаются следующими выражениями

(1.23)

(1.24)

(1.25)

Интеграл выражается через элементарные функции и функцию , которая задается следующими выражениями

(1.26)

Данный интеграл записывается в виде

(1.27)

Полученные выражения позволяют просчитать всю динамику промерзания грунта.

Дата добавления: 2014-03-17; просмотров: 759; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!