Анализ чувствительности модели

При построении модели параметров и предположения могут быть приняты с некоторой степенью неопределенности, кроме того, параметры могут изменяться в зависимости от внешних условий и во времени. Чувствительность означает, что при небольшом изменении входных параметров происходит такое изменение показателей свойств системы, которое можно обнаружить в условиях погрешности вычислений.

При анализе чувствительности определяется изменения в реакции модели на отклонения отдельных параметров модели. Это позволяет сделать вывод об относительной важности входных переменных для конкретной модели, выделить ключевые переменные и идентифицировать те, которые можно без ущерба исключить из рассмотрения.

Анализ чувствительности особенно важен при решении оптимизационных задач - может быть сильная чувствительность результата оптимизации к изменению условий.

Решение практической задачи нельзя считать законченным, если найдено оптимальное решение - некоторые исходные параметры задачи можно регулировать, что, в свою очередь, может изменить найденное оптимальное решение: если обнаруживается, что оптимальное решение можно улучшить за счет небольших изменений заданных параметров, то целесообразно реализовать эти изменения. В результате анализа чувствительности входные переменные можно расположить в том порядке, который соответствует степени ухудшения точности модели при исключении из нее соответствующей переменной. При этом каждой переменной присваивается определенный рейтинг. Однако при наличии зависимостей между входными переменными нет уверенности, что такой одиночный рейтинг правильно отражает реальную ситуацию.

Цель анализа чувствительности состоит в сравнительном анализе влияния различных факторов на результат решения задачи моделирования.

Укрупненная схема анализа чувствительности:

- выбор факторов, незначительное изменение которых может оказать существенное с точки зрения исследователя влияние на результат;

- установление номинальных и предельных (нижних и верхних) значений выбранных факторов;

- решение задачи моделирования в различных диапазонах исходных данных для всех выбранных предельных значений факторов;

- построение зависимостей чувствительности решения задачи для всех факторов и диапазонов изменения исходных данных.

По результатам такого анализа чувствительности можно сделать вывод о направлении доработки модели с целью повышения ее меры адекватности в различных диапазонах измененеия исходных данных.

При анализе чувствительности оценивается влияние принятых исходных данных (для каждого набора существенных факторов, гипотез, допущений) на результат.

Анализ чувствительности модели осуществляется в несколько итераций.

На первом этапе анализируется одна из переменных (изменяется на какое-либо фиксированное значение, например на 10%), значения всех остальных переменных на входе проекта остаются базовыми - оценивается влияние изменения данной переменной на результат. Для оптимизационных задач оценивается влияние данной переменной на критерий эффективности.

Таким же образом осуществляется расчет показателя чувствительности и критерия для каждой переменной.

На последнем этапе на основании коэффициентов чувствительности ранжируются все переменные в порядке убывания.

Если удается определить, какие параметры в наибольшей степени влияют на значение целевой функции, то для повышения точности получаемого решения целесообразно скорректировать модель в направлении увеличения точности решения в зависимости именно от этих параметров, и упростить модели в отношении параметров, слабо влияющих на результат.

Проверка адекватности модели – определяется степень соответствия результатов, полученных по разработанной модели, удовлетворяющей исследователя (заданным точностям расчетов).

В частности, количественная адекватность оценивается для близких к известным частным и экстремальным случаям применения системы. Анализируется совпадение некоторых характерных особенностей модели и объекта (например, наличие экстремальных точек, возрастание или убывание параметров): оценивается совпадение вида функции (убывающая или возрастающая, с одним экстремумом или несколькими).

Вопрос, что является для данной модели существенным (факторы, принятые гипотезы и допущения), а что нет, решается неформально на основе качественного анализа и с помощью количественных вычислений при анализе чувствительности модели.

В результате анализа для каждой модели (факторы, принятые гипотезы и допущения) определяется мера ее адекватности по сравнению наиболее точной моделью, и из всех выбирается наиболее эффективная модель (факторы, принятые гипотезы и допущения) по степени упрощения при заданной точности расчетов.

Контроль модели.

Исходный вариант модели проверяется по следующим основным аспектам:

Все ли существенные параметры включены в модель?

Нет ли в модели несущественных параметров?

Правильно ли отражены функциональные связи между параметрами?

Правильно ли определены ограничения на значения параметров?

Такая предварительная проверка модели позволяет выявить грубые ошибки.

Если по результатам проверки адекватности выявляется недопустимое рассогласование модели и системы, возникает необходимость в корректировке модели.

Можно выделить следующие виды проверок:

проверка моделей компонентов;

проверка модели внешних воздействий (оценка гипотез математическими методами);

проверка концептуальной модели функционирования системы;

проверка математической модели;

проверка программной модели.

Контроль соответствия значений переменных их физическому смыслу: знаки и величины переменных модели не должны противоречить возможным значениям моделируемых физических величин.

Контроль размерностей: сравниваться и складываться могут только величины одинаковой размерности, эта проверка сочетается с контролем использования одной и той же системы единиц для значений всех параметров.

Контроль порядков: выделение основных и уточняющих слагаемых - сравниваются порядки складываемых величин и исключаются малозначимые параметры.

Контроль характера зависимостей между переменными: выявление качественного совпадения вида модельных зависимостей с видом аналогичных зависимостей в реальной системе (направления и скорость изменения выходных параметров модели соответствуют физическому смыслу моделируемой системы).

Контроль экстремальных ситуаций: в подобных ситуациях поведение модели должно совпадать с поведением системы.

Контроль граничных условий: проверка того, что граничные условия наложены, и значения выходных параметров модели удовлетворяют заданным условиям.

Контроль математической замкнутости: проверка того, что выписанная система математических соотношений дает возможность, притом однозначно, решить поставленную математическую задачу. Проверка замкнутости модели: число независимых уравнений должно быть равно числу искомых параметров задачи.

Например, если задача свелась к отысканию п неизвестных из некоторой системы алгебраических или трансцендентных уравнений, то контроль замкнутости состоит в проверке того факта, что число независимых уравнений должно быть п.

Оценка корректности задачи математической постановки задачи (задача, для которой решение существует, оно единственно и непрерывно). Решение считается непрерывным, если малому изменению исходных данных соответствует достаточно малое изменение решения.

Математическая модель является корректной, если для нее осуществлен и получен положительный результат всех контрольных проверок: размерности, порядков, характера зависимостей, экстремальных ситуаций, граничных условий, физического смысла и математической замкнутости.

Для замкнутой и корректно поставленной математической задачи, т.е. задачи, для которой решение существует, оно единственно и непрерывно зависит от исходных данных, число независимых уравнений должно быть равно числу искомых параметров. Решение считается непрерывным, если малому изменению исходных данных соответствует достаточно малое изменение решения.

Математическая модель считается корректной, если для нее осуществлен и получен положительный результат всех контрольных проверок: размерности, порядков, характера зависимостей, экстремальных ситуаций, граничных условий, физического смысла и математической замкнутости.

Контроль устойчивости модели: изменение в определенных пределах параметров модели не вызывает качественного изменения ее свойств. Причинами низкой устойчивости модели могут быть деление на малую по модулю величину, вычитание близких друг к другу приближенных значений величин, введение дополнительных параметров, известных с невысокой точностью.

Корректировка модели.

При корректировке модели могут уточняться существенные параметры, ограничения, показатели исхода операции, связи показателей исхода операции с существенными параметрами. После внесения изменений в модель вновь выполняется оценка чувствительности и адекватности.

Корректировка модели завершается определением и фиксацией области пригодности модели: множество условий, при соблюдении которых точность результатов моделирования находится в допустимых пределах.

Оптимизация модели. Сущность оптимизации моделей состоит в их упрощении при заданном уровне адекватности. Основными показателями, по которым возможна оптимизация модели, выступают время и затраты средств для проведения исследований на ней. В основе оптимизации лежит возможность преобразования моделей из одной формы в другую. Преобразование может выполняться либо с использованием математических методов, либо эвристическим путем.

По результатам корректировки модели делается вывод об адекватности модели заданной цели исследований (верификация модели).

Верификация (доказательство, подтверждение, (лат. verus - истинный и facio - делаю) - подтверждение на основе представления объективных свидетельств того, что установленные требования были выполнены.

Верификация модели состоит в проведении исследования с помощью отладочных и проверочных тестов.

Осуществляется взаимная проверка различными подходами, качественное и количественное исследование моделей, проверка непротиворечивости, сравнение результатов, полученных аналитическими и численными методами, сопоставление с практикой.

Метод асимптотического ряда моделей (Е.С. Вентцель) – спор моделей.

Идея метода основана на аксиоме - при бесконечном повышении качества модели она приближается к самому объекту. Следовательно, построив ряд моделей возрастающей точности, мы сможем на основании модельных экспериментов предсказать, какими будут выходные параметры у реального объекта, который ещё предстоит построить в будущем. Здесь используются прогнозирующие способности моделей.

Для простоты будем считать, что проектируемый объект характеризуется одним выходным параметром y_p, значение которого и предстоит спрогнозировать.

Для проектируемого объекта строится ряд моделей возрастающей точности: М₁, М₂, … М_n,... Все они моделируют один и тот же объект, но делают это с возрастающей степенью точности - чем старше модель, тем выше её качество. Испытания моделей (вычислительные эксперименты) дают ряд значений модельного параметра - y_m1, y_m2, … y_mn, … .

Этот ряд значений y_m1, y_m2, … y_mn, … будет асимптотически приближаться к реальному значению y_p, которое спрогнозировать (определить на графике его величину). После чего можно вычислить точность каждой из построенного ряда моделей.

"Спор" этих моделей заключается в выборе рабочей модели - последняя построенная модель самая точная, но одновременно она и самая сложная, а значит, и самая неэкономичная.

Рабочей моделью должна быть самая простая модель, которая ещё обеспечивает требуемую точность модельных экспериментов e_доп .

Для контроля правильности полученной системы математических соотношений требуется проведение ряда обязательных проверок.

Реализация математической модели в виде программ для ЭВМ

Для моделирования процесса функционирования системы на ЭВМ математическая модель процесса и соответствующий моделирующий алгоритм преобразуется в реализующую их программу – информационная знаковая модель преобразовывается в компьютерную модель.

Компьютерная модель - математическая модель, выраженная средствами программной среды (компьютерная программа).

Процесс разработки надежного и эффективного программного обеспечения требует применения современных технологий программирования (структурной, абстрактной, объектно-ориентированной, визуальной), развитой библиотеки совместимых программных модулей.

Процесс создания программного обеспечения можно разбить на следующие этапы:

-составление технического задания на разработку пакета программ программного обеспечения;

-проектирование структуры программного комплекса;

-кодирование алгоритма;

-тестирование и отладка;

-эксплуатация и сопровождение.

Техническое задание на разработку программного обеспечения

ТЗ на разработку программного обеспечения в общем виде может включать разделы:

1. Определение решаемой задачи, название программного комплекса, система программирования для его реализации и требования к аппаратному обеспечению.

2. Описание математической модели, метод обработки входных данных для задач не вычислительного характера (обработки данных).

3. Управление режимами работы программы –основные требования к способу взаимодействия с программой (интерфейс «пользователь-компьютер»).

4. Входные данные, пределы, в которых они могут изменяться, значения, которые они не могут принимать, и т.д.

5. Выходные данные, сведения об их точности и объеме, способах хранения и т.д.

6. Возможные ошибки пользователя при работе с программой (например, ошибки при вводе данных), способы диагностики (т.е. выявление ошибок), способы защиты от этих ошибок, а также реакция пользователя при совершении им ошибочных действий и реакция ПО (компьютера) на эти действия.

7. Тестовые задачи, на которых в простейших случаях проводится отладка и тестирование программного обеспечения.

Порядок программной реализации с использованием конкретного математического обеспечения отображается схемой программы.

Схема программы представляет собой интерпретацию логической схемы моделирующего алгоритма разработчиком программы на базе конкретного языка. Различие между этими схемами заключается в том, что логическая схема отражает логическую структуру модели процесса функционирования системы, а схема программы – логику компьютерной реализации модели с использованием конкретных программно-технических средств моделирования.

Для начертания перечисленных схем используется набор символов, определяемых ГОСТ «Единая система программной документации. Схемы алгоритмов и программ. Обозначения условные графические».

Обычно схема является наиболее удобной формой представления структуры моделирующих алгоритмов. Однако используются и другие формы, например, граф-схемы, операторные схемы.

2.4.3 Практическое использование построенной модели и анализ результатов моделирования

Конечная цель моделирования - принятие решения, которое должно быть выработано на основе всестороннего анализа полученных результатов. Этот этап решающий - либо вы продолжаете исследования, либо заканчиваете.

Полученные выводы часто способствуют проведению дополнительной серии экспериментов, а иногда и к изменению модели.

Независимо от области применения созданной модели необходимо проводить качественный и количественный анализ результатов моделирования.

Всесторонний анализ результатов моделирования позволяет:

- обозначить область применения модели;

- проверить обоснованность гипотез, принятых на этапе математической постановки, оценить возможность упрощения модели при сохранении требуемой точности;

- показать, в каком направлении следует развивать модель в дальнейшем.

Результаты моделирования используются для принятия решения о работоспособности системы, для выбора лучшего проектного варианта или для оптимизации системы.

3 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СТРУКТУРЫ И СОСТОЯНИЯ СИСТЕМЫ

3.1 Модель структуры системы

Основные понятия структуры системы

В сложной системе объединены различные по своей физической природе компоненты, и методы их исследования различны. Система изучается по частям, затем на основании анализа свойств компонентов и связей между ними формируется вывод об общих свойствах системы в целом (решение задачи анализа – синтеза при исследовании системы).

Обычно подсистемы являются некоторыми самостоятельно функционирующими частями системы. Например, в производственном комплексе предприятия можно выделить подсистемы, соответствующие отдельным цехам или технологическим линиям.

Подсистема — это самая крупная, функционирующая отдельно от общих связей, структурная единица, ее модель составляется в виде структуры из моделей элементов.

Понятие структуры системы связано с понятием целостности системы. Основа целостности (принцип целостности) в системном представлении, ее несводимости к простой сумме частей, состоит в связях, которые объединяют составные части в единую систему с присущими ей новыми свойствами.

Разным типам связей соответствуют различные типы целостности.

Связям созидания (кристалл, сооружение) соответствует структурный тип целостности, функциональным связям (функционирование искусственных систем, жизнедеятельность организмов) соответствует функциональный тип целостности, связям развития (сложная техническая система, растение, эмбрион) – генетический тип целостности.

Целостность выступает как обобщенная характеристика системы, которой присуще сложное внутреннее строение (сложная техническая система, общество), как единство компонентов во всем многообразии связей. Философская категория «часть – целое» стало основой формирования понятий элемент, структура, система.

Понятие связи – основа понимания упорядоченности объектов.

Общество - не механическое объединение индивидуумов, а организованная упорядоченная система, в рамках которой формируется индивидуум с его потребностями, особенностями, целями (Маркс).

Понятие целостности стало основой системного подхода – исследование объекта как составной части целого. Отсюда возникла необходимость выделения объектов из целого в процессе исследований.

Существование (функционирование, развитие) любой системы (биологической, социальной, экономической, технической) определяется ее структурой, обеспечивающей динамическую взаимосвязь отдельных частей системы.

Как нет общепринятого определения понятия сложной системы, так и нет строгого определения понятия структуры системы.

Тем не менее, сложившиеся представления о структуре исходят из общесистемных понятий (наличие элементов, существование связей между ними) и предполагают конфигурацию системы, не зависящую от времени.

Отсюда одно из определений системы – не свободно выбранное, а упорядоченное множество взаимосвязанных элементов, имеющих собственную структуру и организацию.

Элемент – неделимый в контексте конкретной системы и конкретных ее исследований компонент. Элемент связан с другими в сложном взаимодействии.

Понятия структуры системы, связи с внешней средой формулируются на основе целей, назначения системы, целей и задач исследований системы (формулируемых исследователем).

Структурные и функциональные свойства системы тесно связаны между собой – совокупность элементов и связей определяется исходя из распределения функций между элементами системы.

Структура системы — это совокупность устойчивых связей объекта, обеспечивающих его целостность - сохранение основных свойств при различных внешних и внутренних изменениях.

С другой стороны, структура системы — частичное упорядочение элементов системы и отношений между ними по какому-либо признаку.

Отличие в функционировании (поведении) различных элементов и необходимость согласования их функционирования в рамках системы приводят к формированию стойких внутренних связей между элементами – к формированию структуры.

Сама система, все взаимодействия и связи между ее подсистемами и элементами подчинены специфическим для данной системы законам, которые определяют особенности ее существования и развития. Между подсистемами данной системы могут быть различные отношения, связи и взаимодействия, которые составляют структуру системы.

Для описания системы рассматриваются три основные уровня моделей:

- внутреннее строение системы неизвестно – модель "черного ящика" (система представлена только своими входами и выходами, исследуется зависимость выходов от входов);

- состав системы (описание составляющих систему компонентов);

- структурная схема системы (описание всех элементов и связей системы между элементами и с внешней средой).

Структурные и функциональные свойства системы тесно связаны между собой – систему можно представить как целое, совокупность элементов и связей определяется исходя из распределения функций и целей между элементами системы.

Дата добавления: 2014-08-04; просмотров: 1444; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!