СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ

При описании процесса автоматического управления реальный объект представляют обычно в виде двух систем: управляющей и управляемой (объекта управления).

Структура САУ:

где эндогенные переменные:

- векторы входных воздействий;

- векторы возмущающих воздействий;

- векторы сигналов ошибки;

- векторы управляющих воздействий.

Экзогенные (зависимые) переменные:

- вектор состояния системы ;

- вектор выходных переменных (обычно ).

Для одномерной системы ошибка управления системы , где - заданный закон изменения управляемой величины системы; - действительный закон изменения.

Если предписанный закон изменения управляемой величины соответствует закону изменения входного воздействия, т.е. (при условии линейной зависимости и ).

Система управления называется идеальной, если во все моменты времени. На практике это не возможно. Таким образом, ошибка - неизбежная составляющая объекта автоматического управления, основанного на принципе отрицательной обратной связи. Т.к. для приведения в соответствие выходной переменной её заданному значению используется информация об отклонениями между ними.

Задачей системы автома­тического управления является изменение переменной согласно заданному закону с определенной точностью (с допустимой ошиб­кой). При проектировании и эксплуатации систем автоматического управления необходимо выбрать такие параметры системы , кото­рые обеспечили бы требуемую точность управления, а также устой­чивость системы в переходном процессе.

Если система устойчива, то представляют практический интерес поведение системы во времени, максимальное отклонение регулиру­емой переменной в переходном процессе, время переходного процесса, граничные условия.

Свойства систем автоматического упра­вления различных классов можно смоделировать с помощью дифференциаль­ных уравнений и их коэффициентов. Порядок дифференциального уравнения и значения его коэффициен­тов полностью определяются статическими и динамическими пара­метрами системы .

Пример:

Рассмотрим одноканальную систему автоматического управления S_A, которая описывается -схемой общего вида:

, (1)

где ;

Пусть система S_A, работает в некотором режиме малых отклонений от и , т.е. и .

Тогда уравнение (1) можно линеаризовать, разложив функцию в ряд Тейлора и ограничиться его линейными членами относительно приращений и , т.е.:

(2)

Т.к. уравнение (2) приблизительно описывает рассматриваемый процесс, то производные вычисляются при некоторых фиксированных значениях входящих в него переменных, т.е. мы получаем системы с постоянными коэффициентами.

Уравнения получаются линейными относительно и и их производных.

Методы решения и исследования линейной системы значительно проще, чем общего вида. Таким образом:

(3)

В уравнении (3) для простоты предполагается, что точка приложения возмущающих воздействий совпадает с входом системы (т.е. совпадает с начальной точкой). Решить это уравнение можно, например, операторным методом, значения ДУ алгебраическим (метод конечных разностей).

Таким образом, использование Д-схем позволяет формализовывать процесс функционирования непрерывно-детерминированных систем S и оценить их основные характеристики, применяя аналитический или имитационный подход.

ДИСКРЕТНО-ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЕ МОДЕЛИ (F-МОДЕЛИ)

На этапе формализации особенности данного подхода можно рассмотреть на примере математического аппарата теории автоматов.

Теория автоматов — это раздел теоретической кибернетики, в котором изучаются математические модели — авто­маты. На основе этой теории система представляется в виде авто­мата, перерабатывающего дискретную информацию и меняющего свои внутренние состояния лишь в допустимые моменты времени. Понятие «автомат» варьируется в зависимости от характера конк­ретно изучаемых систем, от принятого уровня абстракции и целесо­образной степени общности.

Автомат можно представить как некото­рое устройство (черный ящик), на которое подаются входные сиг­налы и снимаются выходные и которое может иметь некоторые внутренние состояния. Конечным автоматом называется автомат, у которого множество внутренних состояний и входных сигналов (а следовательно, и множество выходных сигналов) являются конеч­ными множествами.

Абстрактно конечный автомат (англ, finite automata) можно представить как математическую схему (F-схему), характеризующу­юся шестью элементами:

1) конечным множеством X входных сиг­налов (входным алфавитом);

2) конечным множеством Y выходных сигналов (выходным алфавитом);

3) конечным множеством Z внут­ренних состояний (внутренним алфавитом или алфавитом состоя­ний);

4) начальным состоянием ;

5) функцией переходов ;

6) функцией выходов .

Автомат, задаваемый F-схемой: — функционирует в дискретном автоматном време­ни, моментами которого являются такты, т. е. примыкающие друг к другу равные интервалы времени, каждому из которых соответ­ствуют постоянные значения входного и выходного сигналов и вну­тренние состояния.

Обозначим состояние, а также входной и выход­ной сигналы, соответствующие такту через , , . При этом, по условию , , , .

Абстрактный конечный автомат имеет один входной и один выходной каналы. В каждый момент дискретного времени F-автомат находится в определенном состоянии состояний автомата, причем в начальный момент времени он всегда находится в начальном состоянии . В момент , будучи в состоянии z(t), автомат способен воспринять на входном канале сигнал и выдать на выходном канале сигнал , переходя в состояние .

Абстрактный конечный автомат реализует некото­рое отображение множества слов входного алфавита X на множест­во слов выходного алфавита Y.

Если , , … - это входное, то , , … - выходное слово.

Таким образом, работа конечного автомата происходит по сле­дующей схеме: в каждом такте на вход автомата, находящегося в состоянии z(t), подается некоторый сигнал x(t), на который он реагирует переходом в такте в новое состояние с выдачей некоторого выходного сигнала.

Получаем:

Для F-автомата первого рода (автомат Мили):

для F-автомата второго рода

Автомат второго рода, для которого , , т.е. функция выходов не зависит от входной переменной , называется автоматом Мура.

По числу состояний различают:

1) конечные автоматы с памятью

2) автоматы без памяти (комбинационные или логические схе­мы) с одним лишь состоянием. Т.е. логическая схема реализует функцию:

это булева функция если алфавиты X и Y состоят из двух букв.

По характеру отсчета дискретного времени конечные автоматы делятся на:

1) синхронные – с принудительной синхронизацией.

2) асинхронные - считывает входной сигнал непрерывно, и поэтому, реагируя на достаточно длинный входной сигнал постоянной величины х, он может несколько раз изменять состояние, выдавая соответствующее число выходных сигналов, пока не перейдет в устойчивое состояние, которое уже не может быть изменено данным входным сигналом.

Чтобы задать конечный F-автомат, необходимо описать все элементы множества:

При чем необходимо выделить в момент

Существует несколько способов задания работы F-автомата, но наиболее часто используют табличный способ.

Табличный способ:

Строки соответствуют входным сигналам автомата, столбцы – его состояниям. Обычно первый слева столбец соответствует начальному состоянию z₀ . На пересечении i-ой строки и k-го столбца таблицы переходов помещается соответствующее значение функции переходов, а в таблице выходов – соответствующее значение функции выходов.

Для F-автоматов Мура обе таблицы можно совместить, получая отмеченную таблицу переходов, в которой над каждым состоянием автомата, обозначающим столбец таблицы, стоит соответствующий этому состоянию выходной сигнал .

Таблица 1

		...
ПЕРЕХОДЫ
			...
			...
...	...	...	...
			...
ВЫХОДЫ
			...

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ КОНЕЧНОГО АВТОМАТА, ЗАДАННОГО НАПРАВЛЕННЫМ ГРАФОМ

Граф автомата представляет собой набор вершин, соответствующих различным состояниям автомата и соединяющих вершины дуг графа, соответствующих тем или иным переходам автомата. Если входной сигнал x_k вызывает пере­ход из состояния z_i в состояние z_j, то на графе автомата дуга, соединяющая вершину z_i с вершиной z_j, обозначается x_k. Для того чтобы задать функцию выходов, дуги графа необходимо отметить соответствующими выходными сигналами. Для автоматов Мили эта разметка производится так: если входной сигнал x_k действует на состояние z_i, то, согласно сказанному, получается дуга, исходящая из z_i, и помеченная x_k;эту дугу дополнительно отмечают выходным сигналом у = y (z_i, x_k).Для автомата Мура аналогичная разметка графа такова: если входной сигнал x_k,действуя на некоторое состо­яние автомата, вызывает переход в состояние z_j то дугу, направлен­ную в z_j и помеченную x_k,дополнительно отмечают выходным сигналом у = y (z_j, x_k).

Таблица 2

Таблица 3

На рис. 3, а, б приведены заданные ранее таблицами F-автоматы Мили F1 и Мура F2 соответственно.

Рис. 3. Графы автоматов Мили (а) и Мура (6)

При решении задач моделирования систем часто более удобной формой является матричное задание конечного автомата. При этом матрица соединений автомата есть квадратная матрица С= ||с_ij||, строки которой соответствуют исходным состояниям, а столбцы — состояниям перехода. Элемент c_ij = x_k / y_s,стоящий на пересечении i-й строки и j-го столбца, в случае автомата Мили соответствует вход­ному сигналу x_k,вызывающему переход из состояния z_i в состояние z_j,и выходному сигналу y_s,вы даваемому при этом переходе. Для автомата Мили F1 матрица соединений имеет вид

.

Если переход из состояния z_i в состояние z_j происходит под действием нескольких сигналов, элемент матрицы c_ij представляет собой множество пар «вход-выход» для этого перехода, соединен­ных знаком дизъюнкции.

Для F-автомата Мура элемент c_ij равен множеству входных сигналов на переходе (z_i, z_j), а выход описывается вектором выходов

i-я компонента которого — выходной сигнал, отмечающий состоя­ние z_i.

ДИСКРЕТНО-СТОХАСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ (Р-СХЕМЫ)

Рассмотрим особенности построения математических схем при дискретно-стохастическом подходе к формализации процесса функ­ционирования исследуемой системы S.Так как сущность дискретизации времени при этом подходе остается аналогичной конечным автоматам, то влияние фактора стохастичности проследим также на разновидности таких автоматов, а именно на вероятностных (стохастических) автоматах.

Основные соотношения.В общем виде вероятностный автомат (англ, probabilistic automat) можно определить как дискретный потактный преобразователь информации с памятью, функционирова­ние которого в каждом такте зависит только от состояния памяти в нем и может быть описано статистически.

Применение схем вероятностных автоматов (Р-схем) имеет важ­ное значение для разработки методов проектирования дискретных систем, проявляющих статистически закономерное случайное пове­дение, для выяснения алгоритмических возможностей таких систем и обоснования границ целесообразности их использования, а также для решения задач синтеза по выбранному критерию дискретных стохастических систем, удовлетворяющих заданным ограничениям.

Введем математическое понятие Р-автомата, используя поня­тия, введенные для F-автомата. Рассмотрим множество G, элемен­тами которого являются всевозможные пары (x_i, z_s), где x_i и z_s — элементы входного подмножества X и подмножества состояний Z соответственно. Если существуют две такие функции j и y, то с их помощью осуществляются отображения G®Z и G®Y, то говорят, что F =<Z, X, Y, j, y> определяет автомат детерминиро­ванного типа.

Введем в рассмотрение более общую математическую схему. Пусть Ф — множество всевозможных пар вида (z_k, y_j), где у_j — элемент выходного подмножества Y.Потребуем, чтобы любой элемент множества G индуцировал на множестве Ф некоторый закон распределения следующего вида:

При этом , где b_kj — вероятности перехода автомата в состояние z_k и появления на выходе сигнала y_j, если он был в состоянии z_s,и на его вход в этот момент времени поступил сигнал x_i. Число таких распределений, представленных в виде таблиц, равно числу элементов множества G. Обозначим множество этих таблиц через В. Тогда четверка элементов P = <Z, X, Y, B> называ­ется вероятностным автоматом (P-автоматом).

НЕПРЕРЫВНО-СТОХАСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ (Q-СХЕМЫ)

Особенности непрерывно-стохастического подхода рассмотрим на примере использования в качестве типовых математических схем систем массового обслуживания (англ, queueing system), которые будем называть Q-схемами. Системы массового обслуживания представляют собой класс математических схем, разработанных в теории массового обслуживания и различных приложениях для формализации процессов функционирования систем, которые по своей сути являются процессами обслуживания.

Основные соотношения.В качестве процесса обслуживания могут быть представлены различные по своей физической природе процес­сы функционирования экономических, производственных, техничес­ких и других систем, например потоки поставок продукции некото­рому предприятию, потоки деталей и комплектующих изделий на сборочном конвейере цеха, заявки на обработку информации ЭВМ от удаленных терминалов и т. д. При этом характерным для работы таких объектов является случайное появление заявок (требований) на обслуживание и завершение обслуживания в случайные моменты времени, т. е. стохастический характер процесса их функционирова­ния. Остановимся на основных понятиях массового обслуживания, необходимых для использования Q-схем, как при аналитическом, так и при имитационном.

В любом элементарном акте обслуживания можно выделить две основные составляющие: ожидание обслуживания заявкой и со­бственно обслуживание заявки. Это можно изобразить в виде неко­торого i-го прибора обслуживания П_i (рис. 4), состоящего из накопителя заявок H_i, в котором может одновременно находиться заявок, где — емкость i-го накопителя, и канала об­служивания заявок (или просто канала) К_i.На каждый элемент прибора обслуживания П_i поступают потоки событий: в накопитель H_i— поток заявок w_i на канал K_i — поток обслуживаний u_i.

Рис. 2. Прибор обслужи­вания заявок

Потоком событий называется последовательность событий, происходящих одно за другим в какие-то случайные моменты времени. Различают потоки однородных и неоднородных собы­тий. Поток событий называется однородным, если он характеризу­ется только моментами поступления этих событий (вызываю­щими моментами) и задается последовательностью {t_n } = { }, где t_n — момент наступления n-го собы­тия — неотрицательное вещественное число. Однородный поток событий также может быть задан в виде последовательности про­межутков времени между n-м и (n-1)-м событиями {t_n}, которая однозначно связана с последовательно­стью вызывающих моментов { t_n }, где t = t_n - t_n - t_n-1, n³1, t₀ = 0, т. е. t₁ = t₁.

Потоком неоднородных событий на­зывается последовательность {t_n, f_n} где t_n — вызывающие моменты; f_n — набор признаков события. Например, примени­тельно к процессу обслуживания для не­однородного потока заявок могут быть заданы принадлежность к тому или иному источнику заявок, наличие приоритета, возможность обслуживания тем или иным типом канала и т.п.

КОМБИНИРОВАННЫЕ МОДЕЛИ (А-СХЕМЫ)

Наиболее известным общим подходом к формальному описа­нию процессов функционирования систем является подход, пред­ложенный Н. П. Бусленко. Этот подход позволяет описывать пове­дение непрерывных и дискретных, детерминированных и стохасти­ческих систем, т. е. по сравнению с рассмотренными является обобщенным (универсальным) и базируется на понятии агрегативной системы (от англ, aggregate system), представляющей собой формальную схему общего вида, которую будем называть А-схемой.

Основные соотношения.Анализ существующих средств модели­рования систем и задач, решаемых с помощью метода моделирова­ния на ЭВМ, неизбежно приводит к выводу, что комплексное реше­ние проблем, возникающих в процессе создания и машинной ре­ализации модели, возможно лишь в случае, если моделирующие системы имеют в своей основе единую формальную математичес­кую схему, т. е. А-схему. Такая схема должна одновременно выпол­нять несколько функций: являться адекватным математическим описанием объекта моделирования, т. е. системы S, служить осно­вой для построения алгоритмов и программ при машинной ре­ализации модели М, позволять в упрощенном варианте (для част­ных случаев) проводить аналитические исследования.

Приведенные требования в определенной степени противоречи­вы. Тем не менее в рамках обобщенного подхода на основе А-схем удается найти между ними некоторый компромисс.

По традиции, установившейся в математике вообще и в при­кладной математике в частности, при агрегативном подходе снача­ла дается формальное определение объекта моделирования — агрегативной системы, которая является математической схемой, отоб­ражающей системный характер изучаемых объектов. При агрега­тивном описании сложный объект (система) разбивается на конеч­ное число частей (подсистем), сохраняя при этом связи, обеспечива­ющие их взаимодействие.

СЕТЕВЫЕ МОДЕЛИ (N-СХЕМЫ)

В практике моделирования объектов часто приходится решать задачи, связанные с формализованным описанием и анализом при­чинно-следственных связей в сложных системах, где одновременно параллельно протекает несколько процессов. Самым распростра­ненным в настоящее время формализмом, описывающим структуру и взаимодействие параллельных систем и процессов, являются сети Петри (англ. Petri Nets), предложенные К. Петри.

Основные соотношения.Теория сетей Петри развивается в нес­кольких направлениях: разработка математических основ, структур­ная теория сетей, различные приложения (параллельное програм­мирование, дискретные динамические системы и т. д.).

Формально сеть Петри (N-схема) задается четверкой вида

N = <B, D, I, O>,

где В — конечное множество символов, называемых позициями, В ¹ Æ; D — конечное множество символов, называемых перехода­ми, D ¹ Æ, BÇD ¹ Æ; I — входная функция (прямая функция ин­цидентности), I: B x D ® {0, 1}; О — выходная функция (обратная функция инцидентности), О : D х В ® {0,1}.

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ РАЗРАБОТКИ И МАШИННОЙ РЕАЛИЗАЦИИ МОДЕЛЕЙ СИСТЕМ

С развитием вычислительной техники наиболее эффектив­ным методом исследования больших систем стало машинное мо­делирование, без которого невозможно решение многих крупных народнохозяйственных проблем. Поэтому одной из актуальных задач подготовки специалистов является освоение теории и мето­дов математического моделирования с учетом требований систем­ности, позволяющих не только строить модели изучаемых объект­ов, анализировать их динамику и возможность управления машин­ным экспериментом с моделью, но и судить в известной мере об адекватности создаваемых моделей исследуемым системам, о гра­ницах применимости и правильно организовать моделирование систем на современных средствах вычислительной техники.

Методологические аспекты моделирования.Сущность машинного моделирования системы состоит в прове­дении на вычислительной машине эксперимента с моделью, которая представляет собой некоторый программный комплекс, описыва­ющий формально и (или) алгоритмически поведение элементов системы S в процессе ее функционирования, т. е. в их взаимодейст­вии друг с другом и внешней средой Е, Машинное моделирование с успехом применяют в тех случаях, когда трудно четко сфор­мулировать критерий оценки качества функционирования системы и цель ее не поддается полной формализации, поскольку позволяет сочетать программно-технические возможности ЭВМ со способ­ностями человека мыслить неформальными категориями. В даль­нейшем основное внимание будет уделено моделированию систем на универсальных ЭВМ как наиболее эффективному инструменту исследования и разработки АСОИУ различных уровней, а случаи использования АВМ и ГВК будут специально оговариваться.

Требования пользователя к модели.Сформулируем основные требования, предъявляемые к модели М процесса функционирова­ния системы S.

1. Полнота модели должна предоставлять пользователю воз­можность получения необходимого набора оценок характеристик системы с требуемой точностью и достоверностью.

2. Гибкость модели должна давать возможность воспроизведе­ния различных ситуаций при варьировании структуры, алгоритмов и параметров системы.

3. Длительность разработки и реализации модели большой си­стемы должна быть по возможности минимальной при учете огра­ничений на имеющиеся ресурсы.

4. Структура модели должна быть блочной, т. е. допускать возможность замены, добавления и исключения некоторых частей без переделки всей модели.

5. Информационное обеспечение должно предоставлять возмож­ность эффективной работы модели с базой данных систем опреде­ленного класса.

6. Программные и технические средства должны обеспечивать эффективную (по быстродействию и памяти) машинную реализа­цию модели и удобное общение с ней пользователя.

7. Должно быть реализовано проведение целенаправленных (планируемых) машинных экспериментов с моделью системы с ис­пользованием аналитико-имитационного подхода при наличии ограниченных вычислительных ресурсов.

При машинном моделировании систе­мы 5 характеристики процесса ее функционирования определяются на основе модели М, построенной исходя из имеющейся исходной информации об объекте моделирования. При получении новой ин­формации об объекте его модель пересматривается и уточняется с учетом новой информации, т. е. процесс моделирования, включая разработку и машинную реализацию модели, является итерацион­ным. Этот итерационный процесс продолжается до тех пор, пока не будет получена модель М, которую можно считать адекватной в рамках решения поставленной задачи .

Этапы моделирования систем. Рассмотрим основные этапы моде­лирования системы S, к числу которых относятся: построение кон­цептуальной модели системы и ее формализация; алгоритмизация модели системы и ее машинная реализация; получение и интерпре­тация результатов моделирования системы.

Взаимосвязь перечисленных этапов моделирования систем и их составляющих (подэтапов) может быть представлена в виде сетевого графика, показанного на рис.5.

Рис.5. Взаимосвязь этапов моделирования систем

Перечислим эти подэтапы: 1.1—постановка задачи машинного моделирования системы; 1.2 — анализ задачи моделирования системы; 1.3—определение требований к исходной информации об объекте моделирования и организация ее сбора; 1.4 — выдвижение гипотез и принятие предположений; 1.5 — определение параметров и переменных моде­ли; 1.6 — установление основного содержания модели; 1.7 — обо­снование критериев оценки эффективности системы; 1.8 — опреде­ление процедур аппроксимации; 1.9 — описание концептуальной модели системы; 1.10—проверка достоверности концептуальной модели; 1.11 — составление технической документации по первому этапу; 2.1 — построение логической схемы модели; 2.2 — получение математических соотношений; 2.3 — проверка достоверности моде­ли системы; 2.4 — выбор инструментальных средств для моделиро­вания; 2.5 — составление плана выполнения работ по программи­рованию; 2.6 —спецификация и построение схемы программы; 2.7 — верификация и проверка достоверности схемы программы; 2.8 — проведение программирования модели; 2.9 — проверка до­стоверности программы; 2.10 — составление технической докумен­тации по второму этапу; 3.1 — планирование машинного экспери­мента с моделью системы; 3.2 — определение требований к вычис­лительным средствам; 3.3 — проведение рабочих расчетов; 3.4 — анализ результатов моделирования системы; 3.5 — представление результатов моделирования; 3.6 — интерпретация результатов мо­делирования; 3.7 — подведение итогов моделирования и выдача рекомендаций; 3.8 — составление технической документации по третьему этапу.

Таким образом, процесс моделирования системы S сводится к выполнению перечисленных подэтапов, сгруппированных в виде трех этапов. На этапе построения концептуальной модели М_к, и ее формализации проводится исследование моделируемого объекта с точки зрения выделения основных составляющих процесса его функционирования, определяются необходимые аппроксимации и получается обобщенная схема модели системы S, которая преоб­разуется в машинную модель М_м на втором этапе моделирования путем последовательной алгоритмизации и программирования модели. Последний третий этап моделирования системы сводится к проведению согласно полученному плану рабочих расчетов ЭВМ с использованием выбранных программно-технических средств, получению и интерпретации результатов моделирования системы S с учетом воздействия внешней среды Е. Очевидно, что при построении модели и ее машинной реализации при получении новой информации возможен пересмотр ранее принятых решений, т. е. процесс моделирования является итерационным.

ПОЛУЧЕНИЕ И ИНТЕРПРЕТАЦИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ МОДЕЛИРОВАНИЯ СИСТЕМ

На этапе получения и интер­претации результатов моделирования — ЭВМ используется для проведения рабочих расчетов по составленной и отлаженной про­грамме. Результаты этих расчетов позволяют проанализировать и сформулировать выводы о характеристиках процесса функци­онирования моделируемой системы S.

Особенности получения результатов моделирования.При реализа­ции моделирующих алгоритмов на ЭВМ вырабатывается инфор­мация о состояниях процесса функционирования исследуемых си­стем z(t)ÎZ. Эта информация является исходным материалом для определения приближенных оценок искомых характеристик, получа­емых в результате машинного эксперимента, т. е. критериев оценки. Критерием оценки будем называть любой количественный показа­тель, по которому можно судить о результатах моделирования системы. Критериями оценки могут служить показатели, получа­емые на основе процессов, действительно протекающих в системе, или получаемых на основе специально сформированных функций этих процессов.

В ходе машинного эксперимента изучается поведение исследу­емой модели М процесса функционирования системы S на заданном интервале времени [0, T].Поэтому критерий оценки является в об­щем случае векторной случайной функцией, заданной на этом же интервале:

Часто используют более простые критерии оценки, например вероятность определенного состояния системы в заданный момент времени t* Î [0, T], отсутствие отказов и сбоев в системе на ин­тервале [О, Т] и т. д. При интерпретации результатов моделирования вычисляются различные статистические характеристики закона рас­пределения критерия оценки.

Рассмотрим общую схему фиксации и обработки результатов моделирования системы, которая приведена на рис. 6. Будем рассматривать гипотетическую модель М, предназначенную для исследования поведения системы S на интервале времени [О, Т].В общем случае критерием интерпретации результатов моделирования является нестационарный случайный п-мерный процесс , Полагаем для определенности, что состояние моделируемой системы S проверяется каждые Dt временных единиц, т. е. используется «принцип Dt». При этом вычисляют значения , , кри­терия . Таким образом, о свойствах случай­ного процесса судят по свойствам случайной последовательности , , или, иначе говоря, по свойствам m-мерного вектора вида

Процесс функционирования системы S на интервале [О, T] моделируется N-кратно с получением независимых реализаций ,

, ве­ктора .Работа модели на интервале [О, T] называется

На схеме, изображенной на рис. 6, обозна­чено: Iºi; Jºj; Kºk; Nºn; Tºt; DTºDt; Qºq. В общем случае алгоритмы фиксации и ста­тистической обработки данных моделирования содержат три цикла. Полагаем, что имеется машинная модель М_м системы S.

Внутренний цикл (блоки 5 — 8)позволяет получить последовательность , в моменты времени t = 0, Dt, 2Dt, …, kDt = T. Основной блок 7 реализует процедуру вычисления последовательности ^: ВЫЧ[QI(T)]. Именно в этом блоке имитируется процесс функционирования моделируемой системы S на интервале времени [О, T].

Промежуточный цикл (блоки 3 — 10), в котором организует­ся N-кратное повторение прогона модели, позволяющее после соот­ветствующей статистической обработки результатов судить об оценках характеристик моделируемого варианта системы. Оконча­ние моделирования варианта системы S может определяться не только заданным числом реализаций (блок 10), как это показано на схеме, но и заданной точностью результатов моделирования. В этом цикле содержится блок 9, реализующий процедуру фиксации результатов моделирования по i-му прогону модели : ФРМ [QI(T)].

Внешний цикл (блоки 1 — 12) охватывает оба предшеству­ющих цикла и дополнительно включает блоки 1, 2, 11, 12, управля­ющие последовательностью моделирования вариантов системы S. Здесь организуется поиск оптимальных структур, алгоритмов и па­раметров системы S, т. е. блок 11 обрабатывает результаты моде­лирования исследуемого k-говарианта системы ОРМ [QK], блок 12 проверяет удовлетворительность полученных оценок характеристик процесса функционирования системы , требуемым (ведет по­иск оптимального варианта системы ПОВ [S(K)]), блок 1 изменяет структуру, алгоритмы и параметры системы S на уровне ввода исходных данных для очередного k-говарианта системы ВИД [S (К)].Блок 13 реализует функцию выдачи результатов модели­рования по каждому k-му варианту модели системы S_k, т. е. ВРМ [QK].

Рассмотренная схема позволяет вести статистическую обработку результатов моделирования в наиболее общем случае при нестационарном критерии . В частных случаях можно ограничиться более простыми схемами.

Если свойства моделируемой системы S определяются значени­ем критерия в некоторый заданный момент времени, например в конце периода функционирования модели t = kDt = T, то обработ­ка сводится к оценке распределения n-мерного вектора по независимым реализациям , , полученным в результате N прогонов модели.

Если в моделируемой системе S по истечению некоторого време­ни с начала работы t₀ = k₀Dt установится стационарный режим, то о нем можно судить по одной, достаточно длинной реализации критерия , стационарного и эргодического на интервале [t₀, Т].Для рассмотренной схемы это означает, что исключается средний цикл (n=1) и добавляется оператор, позволяющий начать обработку значений при j ³ k₀.

Другая особенность применяемых на практике методов стати­стической обработки результатов моделирования связана с исследо­ванием процесса функционирования систем с помощью моделей блочной конструкции. В этом случае часто приходится применять раздельное моделирование отдельных блоков модели, когда имита­ция входных воздействий для одного блока проводится на основе оценок критериев, полученных предварительно на другом блоке модели. При раздельном моделировании может иметь место либо непосредственная запись в накопителе реализаций критериев, либо их аппроксимация, полученная на основе статистической обработки результатов моделирования с последующим использованием гене­раторов случайных чисел для имитации этих воздействий.

ПОСТРОЕНИЕ КОНЦЕПТУАЛЬНЫХ МОДЕЛЕЙ СИСТЕМ И ИХ ФОРМАЛИЗАЦИЯ

На первом этапе машинного моделирования — построения концептуальной модели M_к системы S и ее формализации — формулируется модель и строится ее формальная схема, т. е. основным назначением этого этапа является переход от содержательного описания объекта к его математической модели, другими словами, процесс формализации. Моделирование систем на ЭВМ в настоящее время — наиболее универсальный и эффективный метод оценки характеристик больших систем. Наиболее ответственными и на­именее формализованными моментами в этой работе являются проведение границы между системой S и внешней средой Е, упрощение описания системы и построение сначала концептуальной, а затем формальной модели системы. Модель должна быть адекватной, иначе невозможно получить положительные результаты моделирования, т. е. исследование процесса функционирования систем на неадекватной модели вообще теряет смысл. Под адекватной моделью будем понимать модель, которая с определенной степенью приближения на уровне понимания моделируемой системы S разработчиком модели отражает процесс ее функционирования во внешней среде Е.

Переход от описания к блочной модели. Наиболее рационально строить модель функционирования системы по блочному принципу. При этом могут быть выделены три автономные группы блоков такой модели. Блоки первой группы представляют собой имитатор воздействий внешней среды Е на систему S; блоки второй группы являются собственно моделью процесса функционирования иссле­дуемой системы S; блоки третьей группы — вспомогательными и служат для машинной реализации блоков двух первых групп, а также для фиксации и обработки результатов моделирования.

Рассмотрим механизм перехода от описания процесса функци­онирования некоторой гипотетической системы к модели этого процесса. Для наглядности введем представление об описании свойств процесса функ­ционирования системы S, т. е. об ее концептуальной модели М_к как совокупности некоторых элементов, усло­вно изображенных квадрата­ми так, как показано на рис.7, а.

Рис.7. Модель системы: а — концептуальная; б — блочная

Эти квадраты пред­ставляют собой описание не­которых подпроцессов ис­следуемого процесса функ­ционирования S, воздействия внешней среды Е и т. д. Переход от описа­ния системы к ее модели в этой интерпретации сво­дится к исключению из рас­смотрения некоторых второстепенных элементов описания (элемен­ты 5 — 8, 39 — 41, 43 — 47). Предполагается, что они не оказывают существенного влияния на ход процессов, исследуемых с помощью модели. Часть элементов (14, 15, 28, 29, 42) заменяется пассивными связями h₁, отражающими внутренние свойства системы (рис.7, б). Некоторая часть элементов (1 — 4, 10, 11, 24, 25) заменяется входными факторами x и воздействиями внешней среды v₁.Воз­можны и комбинированные замены: элементы 9, 18, 19, 32, 33 заменены пассивной связью h₂ и воздействием внешней среды Е. Элементы 22, 23,36,37 отражают воздействие системы на внешнюю среду у.

Оставшиеся элементы системы S группируются в блоки S_I, S_II, S_III, отражающие процесс функционирования исследуемой системы. Каждый из этих блоков достаточно автономен, что выражается в минимальном количестве связей между ними. Поведение этих блоков должно быть хорошо изучено и для каждого из них постро­ена математическая модель, которая в свою очередь может содер­жать ряд подблоков. Построенная блочная модель процесса функци­онирования исследуемой системы S предназначена для анализа характеристик этого процесса, который может быть проведен при машинной реализации полученной модели.

Математические модели процессов. После перехода от описания моделируемой системы S к ее модели М_к, построенной по блочному принципу, необходимо построить математические модели процессов, происходящих в различных блоках. Математическая модель представляет собой совокупность соотношений, определяющих характеристики процесса входных воздействии x₁, x₂, ..., x_nX и воздействий внешней среды v₁, v₂, ..., v_nV. Тогда математической моделью процесса может служить система соотношений вида. Если бы функции f₁, f₂, ..., f_m были известны, то соотношения (1) оказались бы идеальной математической моделью процесса функционирования системы S.

(1)

Таким образом, на этой стадии сущность формализации подпроцессов будет состоять в подборе типовых математических схем. Содержательное описание является исходным материалом для последующих этапов формализации: построения формализованной схемы процесса функционирования системы и математической модели этого процесса. Для моделирования процесса функционирования системы на ЭВМ необходимо преобразовать математическую модель процесса в соответствующий моделирующий алгоритм и машинную программу.

Дата добавления: 2014-08-09; просмотров: 461; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!