Расчёт надёжности системы с постоянным поэлементным резервированием

При поэлементном резервировании резервируются отдельные элементы системы.

Определим количественные характеристики надёжности системы.

Введём обозначения:

, – вероятность безотказной работы элемента ij на интервале времени (0, t).

Запишем вероятность отказа i-ой группы.

Имеем , .

Запишем вероятность безотказной работы i-й группы. Имеем

.

Запишем вероятность безотказной работы системы с поэлементным резервированием

или

Для равнонадёжных элементов системы имеем:

;

1.20 Режим облегченного (тёплого) резерва

Рассмотрим случай, когда время безотказной работы всех элементов изделия подчиняется экспоненциальному закону распределения. В этом случае процессы, характеризующие работу изделия являютсямарковскими. Для определения характеристик надёжности можно использовать математический аппарат теории марковских случайных процессов.

В режиме облегченного резерва резервные элементы находятся в режиме недогрузки до момента их включения в работу. Пусть - интенсивность отказа резервного элемента в режиме недогрузки до момента их включения в работу. - интенсивность отказа резервного элемента в состоянии работы.

Введём в рассмотрение состояния , .

S0 - основной элемент исправен и работает, ш резервных элементов исправны и находятся в режиме недогрузки.

S1 - основной элемент отказал, работает 1 - ый резервный элемент, (m – 1) резервные элементы исправны и находятся в режиме недогрузки.

S2 - отказал 1 - ый резервный элемент, работает 2-ой резервный элемент, (m - 2) резервных элементов исправны и находятся в режиме недогрузки.

Si- отказал i- й резервный элемент, работает i- й резервный элемент, (m- i) резервных элементов исправны и находятся в режиме недогрузки.

Sm- отказал (m- 1) - ый элемент, работает m- ый резервный элемент.

Sm+1- отказал m-ый резервный элемент.

Запишем систему дифференциальных уравнений Колмогорова. Для этого введём обозначения:

P0(t) - вероятность нахождения резервированной системы в момент времени tв состоянии S0.

Pi(t) - вероятность нахождения резервированной системы в момент времени tв состоянии Si, i= 0, 1,… m, m+ 1.

Начальные условия:

.

Применим к системе дифференциальных уравнений Колмогорова преобразования Лапласа. Получим систему линейных алгебраических уравнений вида: Pi(t) – оригинал

Pi(S) – изображение по Лапласу

.

,

Решая систему уравнений получим

Найдём оригинал . Имеем

;

где .

Здесь – вероятность отказа резервированной системы с облегчённым резервированием.

Определим вероятность безотказной работы системы с облегченным резервированием. Имеем:

;

Определим среднее время безотказной работы системы с облегченным резервированием. Имеем:

.

Формула бинома Ньютона

.

где

При имеем:

;

;

.

Выполнив преобразования, получим:

; где .

Определим частоту отказов резервированной системы. Имеем

;

;

Определим интенсивность отказов резервированной системы. Имеем

;

Дата добавления: 2014-08-09; просмотров: 408; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!