Зависимые и независимые события

Определение. (Условной вероятности) Условной вероятностью называется вероятность события , вычисленная в предположении , что событие уже наступило.

или

Теорема 2.2.(Об умножении вероятностей двух совместных событий) Вероятность совместного появления двух событий равно произведению вероятностей одного из них , умноженную на условную другого.

, при условии , что событие А произошло.

По определению условной вероятности , следует

Обобщение теоремы 2.2.Вероятность совместного появления нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности остальных, где каждая условная последующая вероятность вычисляется в предположении, что все предыдущие события наступили.

Следствие 1. ( О произведении вероятностей независимых событий ) Пусть события А и В независимы, тогда вероятность всех совместных событий равна произведению вероятностей тех событий.

События называются независимыми в совокупности или просто независимыми, если они попарно независимы.

Следствие 2. Вероятность совместного появления независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

Теорема 2. 3. ( О вероятности появления хотя бы одного из независимых событий) Пусть события независимы в совокупности, тогда вероятность появления хотя бы одного из них вычисляется по формуле : .

Доказательство: пусть А - событие , состоящее в появлении хотя бы одного из событий . Событию А противоположным является событие, следовательно

Замечание. Если обозначим через , а через , то

Если все события независимы и равновозможны ( все их вероятности одинаковы) , тогда вероятность появления хотя бы одного события , где

.

Пример. В студии имеется три камеры. Вероятность быть включенной для каждой составляет Найти вероятность того, что в данное время будет:

1.) включена хотя бы одна камера ( событие А );

2.) включены все три камеры ( событие В );

3.) включена точно одна камера ( событие С ).

Решение:

- включена первая камера ,

- включена вторая камера ,

- включена третья камера .

1.) =1 - 0.012 = 0.988

2.)

3.)

Теорема 2.4. ( О сложении вероятностей совместных событий ) Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их совместного наступления.

Обобщение теоремы 2.4. Пусть А,В,С - совместные события , тогда вероятность их суммы равна:

Пример. Среди 25 билетов 5 хороших. 3 судента наудачу вытащили по одному билету. Найти вероятность того, что все 3 студента вытащили хорошие билеты.

А1 – первый студент вытянул хороший билет.

А2 – второй студент вытянул хороший билет.

А3 – третий студент вытянул хороший билет.

(Доказательство по т.2.4.).

События А₁+А₂+А₃ представим в виде (А₁+А₂)+А₃, тогда

Дата добавления: 2014-02-26; просмотров: 1155; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!