Показатели тесноты связи. Эмпирическое корреляционное отношение, индекс корреляции, коэффициент детерминации, линейный коэффициент корреляции

Коэффициент корреляции является полноценным показателем тесноты связи лишь в случае линейной зависимости между переменными. Однако часто возникает необходимость в достоверном показателе интенсивности связи при любой форме зависимости.

Для получения такого показателя вспомним правило сложения дисперсий (1)

где S²_y— общая дисперсия переменной

(2)

S^’2_iy — средняя групповых дисперсий S_у , или остаточная дисперсия —

(3)

(4)

(5)

Остаточной дисперсией измеряют ту часть колеблемости Y, которая возникает из-за изменчивости неучтенных факторов, не зависящих от X.

Межгрупповая дисперсия выражает ту часть вариации Y, которая обусловлена изменчивостью X.

(6)

Величина получила название эмпирическогокорреляционного отношения Y по X. Чем теснее связь, тем большее влияние на вариацию переменной доказывает изменчивость X по сравнению с неучтенными факторами, тем выше η_yx.

Величина η²_ух, называемая эмпирическим коэффициентом детерминации, показывает, какая часть общей вариации Y обусловлена вариацией X. Аналогично вводится эмпирическое корреляционное отношение X по Y.

(7)

Отметим основные свойства корреляционных отношений (при достаточно большом объеме выборки п):

1. Корреляционное отношение есть неотрицательная величина, не превосходящая 1: 0≤η≤ 1.

2. Если η = 0, то корреляционная связь отсутствует.

3. Если η= 1, то между переменными существует функциональная зависимость.

4. η_xy≠ η_xy т.е. в отличие от коэффициента корреляции r (для которого r_yx = r_xy = r ) при вычислении корреляционного отношения существенно, какую переменную считать независимой, а какую — зависимой.

Эмпирическое корреляционное отношение η_xy является показателем рассеяния точек корреляционного поля относительно эмпирической линии регрессии, выражаемой ломаной, соединяющей значения y_{i .} Однако в связи с тем, что закономерное изменение у, нарушается случайными зигзагами ломаной, возникающими вследствие остаточного действия неучтенных факторов, R_xy преувеличивает тесноту связи. Поэтому наряду с η_xy рассматривается показатель тесноты связи R_yx, характеризующий рассеяние точек корреляционного поля относительно линии регрессии у_х.

Показатель R_yx получил название теоретического корреляционного отношения или индекса корреляции Y по X

(8)

где дисперсии δ²_у и s’_y² определяются по (2) - (4), в которых групповые средние y_i, заменены условными средними у_хi, вычисленными по уравнению регрессии. Подобно R_yx вводится и индекс корреляции X по Y

(9)

Достоинством рассмотренных показателей η и R является то, что они могут быть вычислены при любой форме связи между переменными. Хотя η и завышает тесноту связи по сравнению с R, но для его вычисления не нужно знать уравнение регрессии. Корреляционные отношения η и R связаны с коэффициентом корреляции r следующим образом:

(10)

Покажем, что в случае линейной модели, т.е. зависимости

у_х - у = b_yx (x - х), индекс корреляции R_xy равен коэффициенту корреляции r (по абсолютной величине): R_yx = |r| (или R_yx= |r| ), для простоты n_i= 1. По формуле (8)

(так как из уравнения регрессии y_xi-y=b_yx(x_i-x)

Теперь, учитывая формулы дисперсии, коэффициентов регрессии и корреляции, получим:

(11)

Коэффициент индекса корреляции показывает долю общей вариации зависимой переменной, обусловленной регрессией или изменчивостью объясняющей переменной.Чем ближе индекс корреляции к 1, тем теснее наблюдения примыкают к линии регрессии, тем лучше регрессия описывает зависимость переменных.

Проверка значимости корреляционного отношения η основана на том, что статистика

(12)

(где т — число интервалов по группировочному признаку) имеет F-распределение Фишера – Снедекора с к1=т-1 и k₂=n – т степенями свободы. Поэтому ηзначимо отличается от нуля, если F >F_a,k1,k2, где F _a,k1,k2 - табличное значение F-критерия на уровне значимости α при числе степеней свободы к₁= т – 1 и к₂= п – т.

Индекс корреляции R двух переменных значим, если значение статистики:

(13)

больше табличного F _a,k1,k2, где к1=1 и k₂ = n – 2.

Вариант XVII

Задача № 1.

Произведите группировку магазинов по признаку стоимость основных фондов, образовав при этом, пять групп с равными интервалами. Рассчитайте по каждой группе численность продавцов и размер торговой площади. Результаты группировки представьте в табличной форме и сформулируйте выводы.

Решение:

Расставим исходные данные (Табл.1) в порядке возрастания стоимости основных фондов. В результате получим Таблицу 2.

Ширина интервала группировки

h=(x_max – x_min)/5 = (8,2–2,3)/5=1,18.

В результате получим группы в интервалах:

Для каждой группы рассчитаем размер торговой площади и численность продавцов. Результаты расчетов запишем в таблицу:

Выводы:

1. По стоимости основ­ных фондов магазины распределены неравномерною

2. Число продавцов и торговая площадь в группе пропорционально размеру группы.

Задача № 2.

Исходные данные

Для вычисления статистических характеристик исходного интервального ряда необходимо выбрать некоторое среднее значения x_i для каждого i-го интервала. Обычно это середина ряда. Поэтому получаем следующую таблицу:

Тогда среднее число продавцов: ; Дисперсия: ;

Среднее квадратическое отклонение: Коэффициент вариации:

Для расчета составим таблицу (в пятом столбце рассчитываем накопленную частоту):

Средняя стоимость основ­ных фондов (сред­не­годовая) (млн. руб.), xi	Число магазинов, ni	xi·ni	ni·(xi-xср)2
1	2	3	4	5
2,89		11,56	18,05	26,7%
4,07		8,14	1,78	40,0%
5,25		15,75	0,17	60,0%
6,43		32,15	10,03	93,3%
7,61		7,61	6,74	100,0%
всего:		75,21	36,76

Средняя стоимость ОФ: чел.; Дисперсия: ;

Среднее квадратическое отклонение: чел.

Коэффициент вариации:

Мода

Для определения моды интервального ряда сначала определяют модальный интервал (интервал, имеющий наибольшую частоту). Затем в пределах этого интервала находят то значение признака, которое может являться модой. В нашем случае это четвёртый интервал с частотой (5).

Модальное значение:

где x₀ — нижняя граница модального интервала (x₀ = 5,84) ;

f_Мо — частота в модальном интервале (5);

f_Мо–1 — частота в предыдущем интервале (3);

f_Мо+1 — частота в следующем интервале за модальным (1);

Dx — величина интервала (1,18)

млн. руб.

Мода равна 60 млн. руб.

Медиана

Медианным называют первый интервал, где сумма накопленных частот превышает половину наблюдений от общего числа всех наблюдений. В нашем случае это третий интервал:

Медианное значение:

где x₀ — нижняя граница медианного интервала (x₀ =5,25);

f’_Мe-1 — накопленная частота в интервале, предшествующем медианному; (f’_Мe-1 = 4 + 2 = 6);

f_Ме — частота в медианном интервале (f_Ме = 3);

k — число групп;

Dx — величина интервала (1,18)

млн. руб.

Медиана равна 5,84 млн. руб.

Дата добавления: 2014-09-08; просмотров: 1156; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!