Сложение и вычитание векторов

Определение 1.Пусть даны векторы и .От точки А отложим вектор , а от конца направленного отрезка отложим вектор . Вектор , определенный направленным отрезком , называется суммой векторов и : .

Построение суммы векторов и показано на рисунке 4. Из определения 1 следует, что для любых трех точек А, В и С выполнено равенство: , Поэтому такой способ сложения векторов часто называют правилом треугольника. Наряду с ним используется еще один способ определения суммы векторов - правило параллелограмма. Если и - два неколлинеарных вектора, то для построения суммы по правилу параллелограмма отложим их от одной точки: Затем треугольник ABD достроим до параллелограмма ABCD. Искомая сумма равна вектору (рис. 5). Для обоснования корректности определения 1 следует проверить, что сумма векторов и не зависит от выбора начальной точки А. Действительно, возьмем две точки А и А , отложим от них же вектор : , от точек B и B отложим вектор : (рис. 6). Так как , то Аналогично, из равенства вытекает . Следовательно, , откуда получим, что .

Рассмотрим свойства операции сложения векторов.

Свойство 1.Для любых векторов и справедливо равенство: . (свойство коммутативности).

Доказательство.Отложим от точки А вектор , а от точки В вектор . Тогда (рис. 7). Теперь отложим от точки А вектор , Так как направленные отрезки и равны друг другу, то (см. свойство 3, § 1). Отсюда следует, что , т.е. . Свойство доказано.

Свойство 2. Для любых векторов и выполнено равенство: (свойство ассоциативности).

Доказательство. Отложим последовательно от точки А вектор , от точки В вектор , а от точки С вектор (рис. 8). Тогда и из равенств , следует, С другой стороны, , поэтому . Так как и , то . Свойство доказано.

Свойство 2 позволяет определить сумму любого числа векторов . Она равна результату последовательного суммирования , к сумме первых двух векторов прибавляется третий, затем четвертый и т.д. Из свойства 1 вытекает, что результат суммирования любого числа векторов не зависит от порядка суммирования. На рисунке 9 изображен процесс построения суммы шести векторов.

Свойство 3.Для любого вектора выполнено соотношение: .

Доказательство.Отложим от точки А вектор , а от точки В вектор . Так как , то . Свойство доказано.

Свойство 4.Для любого вектора его сумма с противоположным вектором равна нулевому вектору: .

Доказательство.Вектор , противоположный , имеет ту же длину, что и , но противоположное направление. Отложим от точки А вектор . Если от точки В отложить вектор , то его конец совпадет с точкой А. Поэтому . Свойство доказано.

При суммировании векторов, вообще говоря, их модули не складываются. Действительно, возьмем два произвольных вектора и . Отложим от точки А вектор , а от точки В вектор , получим: . Пусть векторы и не коллинеарные. Тогда точки А, В и С лежат в вершинах треугольника. Исходя из неравенства треугольника получим , т.е. . Пусть теперь векторы и коллинеарные. Если они сонаправлены, то точка В лежит между А и С, поэтому , т.е. . Если они противоположно направлены, то точка В не лежит между А и С, тогда , т.е. . Таким образом, нами доказано неравенство: .

Определение 2.Под разностью двух векторов понимается вектор , удовлетворяющий условию:

Пусть даны два вектора и . Рассмотрим сумму вектора и вектор, противоположного : . Докажем, что удовлетворяет условию: . Используем свойства 3 и 4 операции сложения:

Можно найти разность иначе. Для этого отложим векторы и от одной точки A: (рис. 10). Соединив концы C и B, выберем направление отрезка СВ от вычитаемого к уменьшаемому, т.е. от вектора к вектору , от С к В. Так как , то .

Для модуля разности двух векторов справедливы неравенства . Проверьте их самостоятельно.

Дата добавления: 2014-09-26; просмотров: 601; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!