Комплексный двухкартинный чертеж точки

Читайте также:

Плоскости П₁ и П₂ принято называть горизонтальной и фронтальной плоскостями проекций, а проекции точек и других геометрических фигур на эти плоскости - соответственно горизонтальными и фронтальными проекциями.

Пространственная модель плоскостей проекций с заданными на них горизонтальной и фронтальной проекциями А₁ и А₂ точки А (рис. 2.2) хотя и определяет положение точки А в пространстве, но неудобна в использовании. Для того, чтобы превратить пространственную систему плоскостей проекций в плоскую фигуру, совмещаем плоскости проекций. При этом плоскость П₁, вращаясь вокруг оси x, опускается вниз до совмещения с плоскостью П₂. На рис. 2.3 изображены совмещенные плоскости проекций

и проекции точек на них.

Совмещенные плоскости проекций изображаются с помощью проекций осей координат - оси x₁₂, представляющей собой слившиеся горизонтальную и фронтальную проекции оси x, оси z₂- фронтальной проекции оси z , и оси y₁- горизонтальной проекции оси y. Оси z₂ и y₁ расположены вертикально по одной прямой и по разные стороны от точки О. В ряде случаев оси z₂ и y₁ не обозначают (рис. 2.4).

Поле чертежа представляет собой проекции совмещенных плоскостей проекций, а весь чертеж является моделью трехмерного пространства.

Вместе с проекциями А₁, А₂ точки А и прямой, связывающей эти проекции, рис. 2.3 и рис. 2.4 каждый представляют собой двухкартинный комплексный чертеж точки (эпюр точки).

Впервые описал и обосновал комплексный чертеж точки, применяя совмещение плоскостей проекций, известный французский ученый Гаспар Монж, который жил и творил во времена Великой Французской революции.

Труд «Начертательная геометрия» был написан Монжем в 1775 году. В те времена метод Монжа было военной тайной, так как этот метод давал большие преимущества французской промышленности. Монжу разрешили опубликовать свой труд только в 1795 году, через 20 лет.

Метод изображения с помощью совмещения плоскостей проекций вошел в историю техники как метод Монжа.

Отличительной особенностью комплексного чертежа точки является то, что горизонтальная и фронтальная проекции точки А всегда лежат на одном перпендикуляре к горизонтальной оси x₁₂эпюра. Действительно, порознь имеет место А₁Аx₁ x₁ и А₂Аx₂ x₂, но так как горизонтальная и фронтальная проекции оси x₁ и x₂ совпадают, образуя x₁₂, и проекции точки Аx₁ и Аx₂ совпадают, образуя А₁₂, а при вращении П₁ вокруг оси x отрезки А₁Аx₁ и А₂Аx₂ не меняют своего положения по отношению к одноименным проекциям оси x, то после совмещения получается, что из одной точки А₁₂ слившихся проекций оси x₁₂ выходят два отрезка А₁₂А₂ и А₁₂А₁, порознь перпендикулярные к этой оси. Следовательно, эти отрезки лежат на одной прямой.

Перпендикуляр к оси эпюра, связывающий проекции А₁ и А₂, называется линией проекционной связи.

Комплексный чертеж точки вполне определяет ее положение в пространстве.

2.1.2. Замена плоскостей проекций.Плоскостей, перпендикулярных к плоскости П₁, кроме плоскости П₂, можно провести множество, и точно также к плоскости П₂ можно провести множество перпендикулярных плоскостей.

Рассмотрим, каким образом необходимо преобразовать чертеж, чтобы заменить плоскость П₂ на П₄, причем П₄ П₁. На рис. 2.5 изображена система плоскостей проекций П₁-П₂ с осью x₁₂. Назовем ее старой системой. Введем плоскость П₄ , перпендикулярную П₁. Новая система плоскостей проекций П₁-П₄ имеет ось проекций x₁₄. Проекциями точки А в старой системе были А₁ и А₂, а в новой системе стали А₁ и А₄. Точка А₄ получена ортогональным проецированием точки А на плоскость П₄. На осях проекций x₁₂ и x₁₄ не отмечено начало координат, потому что координата x в данном преобразовании не нужна.

При замене одной из плоскостей проекций, как видно из рис. 2.5, имеется два инварианта (величины, остающиеся постоянными при преобразованиях):

1) проекция точки на незаменённую плоскость проекций. В данном случае это точка А₁;

2) расстояние точки до незаменённой плоскости проекций. В данном случае это z_А.

На рис. 2.6 показано построение проекции точки А₄ по данным А₁ и А₂ и имеющемуся направлению новой оси проекции x₁₄ при замене П₂ на П₄. На этом рисунке даны старая и новая оси проекций. Около каждой оси отмечены плоскости проекций, пересечением которых они являются.

Из точки А₁, которая является инвариантом при данном преобразовании, проводим линию связи перпендикулярно к оси x₁₄. От точки пересечения линии связи А₁₄ с осью x₁₄ откладываем второй инвариант - расстояние точки А до плоскости П₁. Тогда А₁₄А₄=z_А=А₁₂А₂.

На рис. 2.7 показано преобразование чертежа, при котором заменена плоскость П₁ на П₅. Здесь инвариантами являются проекция А₂ и расстояние до незамененной плоскости П₂. Построения понятны из чертежа. Очевидно, что А₂₅А₅=y_А=А₁А₁₂.

Если необходимо заменить обе плоскости проекций, то преобразование нужно выполнять последовательно: сначала заменить одну плоскость проекций, а потом вторую.

На рис. 2.8 показано преобразование, в котором система П₁-П₂ заменена на систему П₅-П₆. Сначала заменена плоскость П₁ на П₅, а после этого П₂ на П₆.

2.1.3. Комплексный трехкартинный чертеж точки. Оси проекций z и y (рис. 2.1) образуют плоскость, перпендикулярную к оси x и к плоскостям П₁ и П₂. Обозначим эту плоскость П₃ и назовем ее профильной плоскостью проекций.

Построение профильной проекции точки. Профильную проекцию А₃ точки А на плоскость П₃ найдем, заменив П₁ на П₃ (рис. 2.9).

В данном преобразовании старая система плоскостей проекций П₁-П₂ заменяется на новую П₂-П₃. Проекция А₂ остается неизменной. Из точки А₂ проводим линию связи, перпендикулярную новой оси проекций, и вдоль нее от новой оси откладываем второй инвариант - расстояние точки А до плоскости П₂, равное y_А= А₁А₁₂.

Новая ось проекций должна быть названа x₂₃, но, учитывая традиции в изучении начертательной геометрии и то, что новая ось совпадает с осью z, мы вместо x₂₃ напишем z₂₃.

На рис. 2.10 и рис. 2.11 показаны практические приемы построения профильной проекции точки. Из точки А₂ в обоих случаях проводится линия связи, параллельная горизонтальной оси эпюра. Вдоль этой линии от точки А₂₃ откладывается отрезок, равный y_А=А₁А₁₂. На рис. 2.10 эта операция производится с помощью дуги окружности, на рис. 2.11 с помощью отражения от прямой, проведенной под углом 45⁰ к горизонтальной оси чертежа. Порядок построения показан стрелками.

Параллелепипед координат. На рис. 2.12 показана пространственная модель плоскостей проекций и построены проекции точки А на горизонтальную - А₁, фронтальную - А₂ и профильную - А₃ плоскости проекций. Если плоскости проекций продолжить во все стороны, то они разобьют пространство на 8 частей, называемых октантами. Ограничимся рассмотрением проекций фигур, находящихся в первом октанте, которому соответствуют положительные направления осей.

При проецировании точки на плоскости проекций образуется параллелепипед, у которого три пространственных ребра АА₁, АА₂ и АА₃ совпадают с проецирующими лучами. Шесть ребер параллелепипеда лежат на плоскостях проекций - по два ребра на каждой: А₁А₁₂ и А₁А₁₃ на П₁; А₂А₁₂ и А₂А₂₃ на П₂; А₃А₁₃ и А₃А₂₃ на П₃. Эти ребра образуются пересечением плоскостей, заданных парами пересекающихся проецирующих лучей, с плоскостями проекций.

Последние три ребра совпадают с осями проекций: А₁₂О - с осью x₁₂, А₁₃О - с осью y₁₃ и А₂₃О - с осью z₂₃.

Так как данная система плоскостей проекций совпадает с прямоугольной системой координат, то полученный параллелепипед можно назвать параллелепипедом координат.

Совмещение плоскостей проекций осуществляем как и для случая построения комплексного двухкартинного чертежа точки. Плоскость П₁ при этом вращается вокруг оси x₁₂ до совмещения с плоскостью П₂, и горизонтальная проекция оси у₁ опускается вниз (рис. 2.13). Плоскость П₃ вращается вокруг оси z₂₃ вправо до совмещения с плоскостью П₂. При этом оси х₁₂ и z₂₃ остаются на месте. Профильная проекция оси у₃ поворачивается вместе с плоскостью П₃ вправо и встает на одну линию с осью х₁₂.

На рис. 2.14 показан комплексный трехкартинный чертеж (эпюр) точки А. Также как и для комплексного двухкартинного чертежа точки в данном случае имеем:

1) горизонтальная и фронтальная проекции точки Алежат на одной прямой, перпендикулярной к осих₁₂, т.е. А₁А₂ х₁₂;

2) фронтальная и профильная проекции точки Алежат на одной прямой, перпендикулярной к осиz₂₃, т.е. А₂А₃ z₂₃. Доказательство этого положения аналогично приведенному ранее для комплексного двухкартинного чертежа точки, но только по отношению к оси z₂₃.

Проекции точек, лежащих на плоскостях проекций. Проекции точки, лежащей на плоскости, можно получить, приравнивая нулю соответствующую координату, так как координата – отрезок, выражающий расстояние от точки до плоскости проекции (рис.2.15).

Поэтому, если z_А=0, то А П₁ (рис. 2.15, а). При у_А=0 А П₂ (рис. 2.15, б) и, когда х_А=0, А П₃ (рис. 2.15, в).

Проекции точек, лежащих на осях проекций. На рис. 2.16 рассмотрены случаи, когда точка А лежит на осях проекций: А x (рис. 2.16, а); А y (рис. 2.16, б); А z(рис. 2.16, в).

Построение проекций точек по координатам. Последовательность построения проекций точки А (x_A, y_A, z_A) следующая (рис. 2.17):

1) От точки О вдоль оси х₁₂ откладываем отрезок длиной x_A и отмечаем точку А₁₂.

2) Через точку А₁₂ проводим линию проекционной связи перпендикулярно оси х₁₂.

3) Вниз на линии проекционной связи от точки А₁₂ откладываем отрезок длиной y_A и получаем горизонтальную проекцию А₁.

4) Вверх на линии проекционной связи от точки А₁₂ откладываем отрезок длиной z_A и получаем фронтальную проекцию А₂.

5) Строим профильную проекцию А₃, для чего из точки А₂ проводим линию проек-ионной связи перпендикулярно оси z₂₃ и от полученной точки А₂₃ откладываем отрезок длиной y_A.

<== предыдущая страница | следующая страница ==>

Ортогональные проекции геометричЕских фигур | Проекции прямых линий
Дата добавления: 2014-09-26; просмотров: 1989; Нарушение авторских прав
Поделиться с ДРУЗЬЯМИ:

Мы поможем в написании ваших работ!

lektsiopedia.org - Лекциопедия - 2013 год. | Страница сгенерирована за: 0.005 сек.