Главная страница Случайная лекция Мы поможем в написании ваших работ! Порталы: БиологияВойнаГеографияИнформатикаИскусствоИсторияКультураЛингвистикаМатематикаМедицинаОхрана трудаПолитикаПравоПсихологияРелигияТехникаФизикаФилософияЭкономика Мы поможем в написании ваших работ! |
Первое уравнение Максвелла – обобщенный закон АмпераСогласно закону Ампера . В частном случае, если контур в виде окружности охватывает проводник с током , при этом центр окружности совпадает с осью проводника, то вследствие симметрии напряженность магнитного поля одинакова во всех точках контура, то есть не зависит от переменной интегрирования и ее можно вынести за знак интеграла , откуда , где – расстояние от центра проводника до точки наблюдения. Максвелл обобщил закон Ампера на случай переменного тока. В правой части уравнения он дополнительно ввел слагаемое , так называемый ток смещения, обусловив это необходимостью сохранения количества электричества в ограниченной системе. Введенное Максвеллом понятие тока смещения, как мы увидим впоследствии, оказалось очень плодотворным. Его величина определяется по формуле, вывод которой приведен ниже , (1.13) где – плотность тока смещения. Таким образом, первое уравнение Максвелла является обобщенным законом Ампера в интегральной форме и записывается следующим образом . (1.14) Векторы электромагнитного поля, заряды и токи могут быть связаны между собой либо интегральными соотношениями, либо дифференциальными. Переход от одних соотношений к другим осуществляется с помощью двух теорем векторного анализа: теоремы Остроградского-Гаусса и теоремы Стокса. Теорема Остроградского-Гаусса связывает интеграл от некоторого векторного поля по замкнутой поверхности с интегралом по объему , ограниченному этой поверхностью, следующим соотношением . (1.15) Теорема Стокса связывает интеграл по замкнутому контуру с интегралом по поверхности , ограниченной этим контуром . (1.16) Значения дифференциальных операторов дивергенции и ротора в различных координатных системах приводятся в справочниках. Их выражения в декартовой системе координат имеют следующий вид: ; . Для получения выражения (1.13), определяющего ток смещения, рассмотрим основные законы электрического тока. Электрическим током через замкнутую поверхность называется скорость изменения количества электричества в объеме , ограниченном поверхностью , с обратным знаком . (1.17) Учитывая, что и , переписываем (1.17) или, меняя порядок дифференцирования и интегрирования, получаем . Преобразуя поверхностный интеграл левой части на основании теоремы Остроградского-Гаусса в интеграл по объему, имеем . Это равенство, справедливое для произвольного объема, может выполняться только в том случае, если равны подынтегральные выражения . (1.18) Уравнение (1.18) является дифференциальным выражением уравнения (1.17) и называется уравнением непрерывности тока и заряда. Истоками линий плотности тока являются те точки поля, где плотность заряда изменяется со временем. Для постоянного тока объемная плотность зарядов в каждой точке среды должна оставаться постоянной, то есть , а это означает, что . (1.19) Следовательно, . (1.20) Уравнения (1.19) и (1.20) носят название первого закона Кирхгофа в дифференциальной и интегральной формах соответственно. Линии постоянного тока не имеют истоков и стоков. Другими словами, цепь постоянного тока должна быть замкнута. В случае переменного тока линии тока оказались незамкнуты, так как имеют истоки и стоки в точках с изменяющейся плотностью заряда . Максвелл обобщил принцип непрерывности линий тока на случай переменного тока путем введения понятия о токе смещения. Известно (1.5), что . Применив к этому равенству теорему Остроградского-Гаусса, получаем или . (1.21) Подставляя (1.21) в (1.18), имеем . Перенося правую часть в левую и меняя порядок дифференцирования по времени и по пространственным координатам, получаем . (1.22) Уравнение (1.22) утверждает, что вектор, представляющий собой сумму векторов и , непрерывен. Другими словами, вектор дополняет вектор плотности тока до замкнутости. Максвелл ввел понятие о плотности тока смещения , понимая под ним второе слагаемое уравнения (1.22) . (1.23) По Максвеллу существует полный ток, плотность которого состоит из двух слагаемых: плотности тока проводимости , пропорциональной напряженности электрического поля , и плотности тока смещения, пропорциональной производной напряженности поля по времени . Таким образом . Принцип непрерывности линий тока соблюдается и для случая переменного тока. Ток смещения определяется по выражению (1.13) . (1.24) Меняя порядок интегрирования и дифференцирования, получаем . (1.25) Переход от интегрального уравнения Максвелла (1.14) к дифференциальному может быть осуществлен с помощью теоремы Стокса (1.16) , откуда . (1.26) Ротор вектора напряженности магнитного поля в любой его точке равен сумме плотности тока проводимости и скорости изменения вектора электрической индукции в этой точке. Закон Ампера в дифференциальной форме записывается уравнением . (1.27) Из уравнения (1.27) на основании формулы векторного анализа вытекает, что дивергенция правой части равенства (1.27) равна нулю, то есть . Между тем, это условие выполняется лишь в частном случае постоянного тока. Для переменных токов закон сохранения количества электричества приводит к требованию, чтобы . (1.28) Уравнение (1.27) и равенство (1.28) находятся в очевидном противоречии друг с другом. Не подвергая сомнению закон сохранения количества электричества, мы должны признать несправедливость уравнения (1.27) для переменного поля. Максвелл высказал предположение о том, как надо “исправить” это уравнение для переменных полей. По Максвеллу следует в правую часть уравнения (1.27) вместо плотности тока проводимости поставить плотность полного тока, переписав уравнение (1.27) в виде , где – есть сумма векторов плотностей токов проводимости и смещения. Так как , то это “исправленное” уравнение находится в согласии с законом сохранения количества электричества.
1.3.2. Второе уравнение Максвелла – обобщенный закон электромагнитной индукции Фарадея По Фарадею, если через поверхность , ограниченную проводящим контуром , проходит меняющийся по времени магнитный поток, то в контуре возникает электродвижущаяся сила индукции. Обобщение закона по Максвеллу заключается в отказе от ограничения, наложенного на него словами “проводящий” контур. Согласно Максвеллу соотношение выполняется для всякого контура независимо от того, является ли этот контур проводящим или произвольно выбранным в диэлектрической среде. То есть, меняющееся во времени магнитное поле вызывает (независимо от параметров среды) электрическое вихревое поле. Поток вектора магнитной индукции по аналогии с потоком вектора электрической индукции можно записать в виде , тогда второе уравнение Максвелла в интегральной форме – обобщенный закон электромагнитной индукции Фарадея запишется в следующем виде . (1.29) Для перехода к дифференциальной форме применяем теорему Стокса . Так как – произвольная поверхность, равенство интегралов возможно только при равенстве подынтегральных выражений . (1.30) Ротор вектора напряженности электрического поля в любой его точке равен по величине и противоположен по знаку скорости изменения вектора магнитной индукции в этой точке. Таким образом, электрическое поле создается как электрическими зарядами, так и любым изменением во времени вектора магнитной индукции.
Дата добавления: 2014-10-10; просмотров: 609; Нарушение авторских прав Мы поможем в написании ваших работ! |