некоторые основополагающие результаты второго метода ляпунова

2.1 Основные теоремы Ляпунова

Сначала рассмотрим результаты, сформулированные и доказанные А.М. Ляпуновым и называемые в научной литературе основными теоремами Ляпунова.

Пусть дана приведенная по Ляпунову система (см. п. 1.3)

(2.1.1)

с областью определения правых частей вида

(2.1.2)

причем функция удовлетворяет следующим свойствам в области (2.1.2):

а) f- непрерывна по t и x;

б) f- непрерывно дифференцируема по xи

(вследствие непрерывности по известной теореме

Вейерштрасса)все частные производные ,

ограничены на любом компактном подмножестве (2.1.3)

из области (2.1.2);

в) , т.е. система

(2.1.1) допускает тривиальное решение .

Первая теорема Ляпунова об устойчивости (А.М. Ляпунов, 1892).

Пусть найдется функция Ляпунова , непрерывно дифференцируемая по t, x в некоторой области и такая, что в этой области она:

1) (2.1.4)

где – некоторая не зависящая от времени положительно определенная функция Ляпунова; , т. е. – положительно определенная функция Ляпунова в ;

2) ее полная производная, вычисленная в силу системы (2.1.1)

(2.1.5)

т.е. – знакопостоянная отрицательная функция Ляпунова в области .

Тогда тривиальное решение , приведенной системы (2.1.1)÷(2.1.3) устойчиво по Ляпунову при (в смысле данного в п. 1.2 определения устойчивости по Ляпунову при тривиального решения системы).■

В качестве примера рассмотрим подробно доказательство этой теоремы, основанное, как и все доказательства результатов второго метода Ляпунова, на исследовании поведения функции (или функций) Ляпунова и ее полной производной, вычисленной в силу системы, т.е. на решениях системы, или, как говорят, вдоль решений системы. При этом целью доказательства является, опираясь на язык - окрестностей, показать, что из условий теоремы следует свойство тривиального решения, подпадающее под «юрисдикцию» соответствующего определения 1’ устойчивости по Ляпунову при (п. 1.2).

Доказательство [1]. На основании условия (2.1.4) теоремы рассмотрим в по любому сферу

целиком лежащую в области непрерывной дифференцируемости данной функции Ляпунова (2.1.4), т.е.

Так как сфера - компактное множество и функция непрерывна и положительна на , то, в силу теоремы Вейерштрасса, точная нижняя грань этой функции достигается в некоторой точке

и, следовательно,

(2.1.6)

Пусть теперь произвольно. Функция по условиям теоремы непрерывна по x и . Следовательно, существует окрестность

такая, что выполняется неравенство

(2.1.7)

Рассмотрим любое нетривиальное решение системы (2.1.1)

. (2.1.8)

с начальным условием

Докажем, что траектория этого решения целиком остается внутри сферы , т.е.

. (2.1.9)

В силу выбора - окрестностей при уже имеем

Докажем справедливость предположения (2.1.9) «от противного»: пусть неравенство (2.1.9) выполнено не для всех и - точка первого выхода решения на границу сферы , т.е. при и . Исследуем поведение функции Ляпунова (2.1.4) вдоль решения , обозначая:

Так как в силу условия (2.15) теоремы

,

то функция невозрастающая. Следовательно, учитывая формулы (2.1.7) и (2.1.6), имеем:

,

т.е. получили противоречие, что и доказывает справедливость неравенства (2.1.9) для всех .

Мы исчерпали все условия теоремы, следовательно, можно подводить итоги доказательства, а именно, произвольно взятое решение при любом конечном остается внутри сферы , а значит так как , это решение бесконечно продолжимо вправо, т.е. определено при всех , причем оно навсегда остается внутри -окрестности, т.е.

при всех ,

если только оно начинается внутри -окрестности, т.е.

.

Таким образом, согласно определению 1’ устойчивости по Ляпунову (см. п. 1.2) тривиальное решение системы (2.1.1) устойчиво по Ляпунову при , что и требовалось доказать. □

Следствие. Если выполняются условия теоремы для системы (2.1.1)÷(2.1.3), то все ее решения , начинающиеся внутри некоторой «достаточно малой» -окрестности

бесконечно продолжимы вправо и ограничены на всем полубесконечном интервале .■

Мы рассмотрели один из многих вариантов подробного доказательства первой теоремы Ляпунова, близкого по форме к классическим рассуждениям, характерным для самого основателя метода функций Ляпунова, доказавшего ее в 1892 г. В качестве другого примера доказательства этой теоремы приведем более компактное доказательство и для этого прибегнем к рассмотренным выше (см. п. 1.5) функциям Хана вида .

Запишем формулировку в терминах функций Хана [5].

Первая теорема Ляпунова об устойчивости (А.М. Ляпунов (1892 г.) (в терминах функций Хана).

Если для системы (2.1.1)÷(2.1.3) существует функция Ляпунова , непрерывно дифференцируемая по t и x в области и такая, что для некоторой функции Хана и t , xиз области :

1) ;

2) ,

то тривиальное решение системы (2.1.1) устойчиво (по Ляпунову при ).■

Доказательство. Пусть заданы и . Так как V непрерывна и , то найдется , такое, что

для всех

Рассмотрим все решения с начальными данными :

,

начинающиеся из -окрестности . Используя условие (2) теоремы, для любых и получаем

.

Поскольку , то заключаем, что .□ Теорема доказана.

Замечания.

1. Сравнение приведенных двух вариантов формулировок и доказательств первой теоремы Ляпунова позволяет оценить компактность и лаконичность современного языка математической теории систем.

2. В дальнейшем изложении ограничимся кратким обзором некоторых результатов второго метода Ляпунова , как правило, комментируя их, но не сопровождая подробными доказательствами, которые можно найти в литературных источниках, список которых приведен в конце изложения всего материала. ■

Вторая теорема Ляпунова об асимптотичности устойчивости (А.М. Ляпунов, 1892 г. )

Пусть дана приведенная система (2.1.1) ÷ (2.1.3) и пусть в некоторой области найдется функция Ляпунова , непрерывно дифференцируемая в этой области, и такая, что найдутся три не зависящие от времени положительно определенные функции Ляпунова

и

такие, что выполняются следующие соотношения (в области ):

1) т. е. – положительно определенная;

2) т. е. допускает сильный БМВП при

3) полная производная по времени в силу системы (2.1.1) т. е. – отрицательно определенная в .

Тогда тривиальное решение приведенной системы (2.1.1) асимптотически устойчиво при с областью аттрактивности (с областью притяжения) . ■

Замечание. Не будем рассматривать, как условились, полное доказательство этой теоремы, а ограничимся некоторыми комментариями, опирающимися на геометрический смысл полной производной (см. п. 1.7).

Сначала заметим, что из первого и третьего условий теоремы следует устойчивость по Ляпунову тривиального решения в силу первой теоремы Ляпунова. Но, в силу наличия третьего условия – отрицательной определенности полной производной, произвольное решение не может «застаиваться» ни в какой -окрестности, в которой сохраняется отрицательность производной, а наличие БМВП при (второе условие) позволяет этой -окрестности быть сколь угодно малой. Поэтому отрицательность производной будет «заставлять» решение переходить во все «меньшие» и «меньшие» -окрестности, пока решение не «сольется» с началом координат при , что и означает асимптотическую устойчивость тривиального решения системы.

Причем такое поведение характерно для каждого решения, начинающегося в области , в которой выполняются все три условия теоремы, а, следовательно, эта область и является областью притяжения тривиального решения системы (2.1.1).■

Определение 6 (неустойчивости по Ляпунову). Тривиальное решение (положение равновесия) называется неустойчивым по Ляпунову, если для некоторых , и любого существует (хотя бы одно) решение и момент времени такие, что

.■

Третья теорема Ляпунова о нейстойчивости (А.М. Ляпунова, 1892 г.)

Пусть дана приведенная система (2.1.1)÷(2.1.3) и пусть для нее найдется непрерывно дифференцируемая по t и x в некоторой области функция Ляпунова , допускающая БМВП при и обладающая знакоопределенной производной , вычисленной в силу системы.

Если при некотором в любой окрестности найдется точка , для которой знак функции V одинаков со знаком производной , т.е. такая, что

, (2.1.10)

то тривиальное решение системы (2.1.1) неустойчиво по Ляпунову. ■

Без доказательства.

2.2 Другие теоремы метода функций Ляпунова

Теоретические основы метода функций Ляпунова, заложенные А.М. Ляпуновым в его основополагающем труде (1892 г.), стали универсальным инструментом исследования свойств устойчивости нелинейных систем. Уже в основных теоремах можно заметить, как варьируя, видоизменяя и комбинируя свойства функций Ляпунова и ее полной производной, вычисленной в силу системы, можно открывать, формулировать и доказывать те или иные свойства поведения решений системы. В этом состоит универсальность и провиденциальность (от лат. Providentio - предвижу) метода функций Ляпунова.

Рассмотрим некоторые результаты, расширяющие и усиливающие в различных направлениях свойства устойчивости тривиального решения нелинейной системы (1.2.1)÷(1.2.3).

Одно из таких направлений связано с равномерной устойчивостью, введенной определением 3 (п. 1.2).

Теорема о равномерной устойчивости (К.П. Персидский, 1933).

Пусть дана приведенная система (2.1.1) ÷ (2.1.3). Если в некоторой области существует функция Ляпунова , непрерывно дифференцируемая по t, x в этой области, и найдутся две независимых от времени положительно определенных функций Ляпунова вида таких что:

1) (положительная определенность )

2) (сильный БМВП при )

3) (знакопостоянная отрицательная),

то тривиальное решение системы (2.1.1) устойчиво по Ляпунову при равномерно по (равномерно на )

(Без доказательства).

Замечание.Нетрудно видеть, что условия теоремы К.П. Персидского являются комбинацией требований к функции V и ее производной , содержащихся в первой и второй теоремах Ляпунова, а именно, функция V здесь удовлетворяет второй теореме, а ее производная - первой теореме.

В свете сказанного легко увидеть, что основные теоремы об устойчивости и асимптотической устойчивости содержат требования, удовлетворение которых придает поведению решений исследуемой системы свойства, не планируемые в определениях 1 и 2 (п. 1.2). В этом сказывается провиденческая сила второго метода.

Определение 7 (равномерной асимптотической устойчивости). Тривиальное решение системы (2.1.1.)÷(2.1.3) называется асимптотически устойчивым равномерно по времени и начальным возмущениям , или просто равномерно асимптотически устойчивым, если оно асимптотически устойчиво при (в смысле определения 2 (п. 1.2)) и, кроме того, для любого числа можно указать положительное число (зависящее от выбора ), такое, что

, если ,

каковы бы ни были начальный момент времени и начальные возмущения из области притяжения .■

Теорема о равномерной асимптотической устойчивости (Н.Н. Красовский, 1959)

Тривиальное решение системы (2.1.1.)÷(2.1.3) равномерно асимптотически устойчиво (в смысле определения 7), если выполняются все условия второй теоремы Ляпунова (асимптотической устойчивости). ■

Замечание. Таким образом, решения нелинейной системы, удовлетворяющей требования второй теоремы Ляпунова, облают свойствами, не запланированными в определении 2 (п. 2.1). Этот результат был замечен и доказан академиком Н.Н. Красовским (1959) [2]. Более того, можно указать оценку [2,3,4] времени Т

(2.2.1)

приближения решения к тривиальному решению (говорят, к началу координат в , или просто к началу) при его переходе из -окрестности в -окрестность.■

Можно указать еще одно из направлений модификации теорем второго метода Ляпунова, связанного с важным свойством глобальной сходимости решений нелинейной системы, задаваемым определением 3 (п. 1.2).

Привлекая свойства ББНП при (см. п. 1.4, определение 7), Е.А. Барбашин и Н.Н. Красовский доказали следующую теорему [2].

Теорема Барбашина – Красовского (о глобальной асимптотической устойчивости).

Пусть приведенная система (2.1.1) определена на полупространстве

(2.2.2)

или, как говорят, на всем , и пусть для нее в области определения (2.2.2) найдутся функция Ляпунова и три не зависящие от времени функции Ляпунова.

и

положительно определенные и такие, что:

1) (положительная определенность функции );

2) (сильный БМВП при функции );

3) допускает ББНП при (заметим, что условия (2) и (3) могут быть объединены в свойство существования бесконечного предела для ;

4) (отрицательная определенность , вычисленной в силу системы (2.1.1)).

Тогда тривиальное решение системы асимптотически устойчиво в целом, или глобально асимптотически устойчивости.■

Без доказательства (см. [2]).

Дата добавления: 2014-10-17; просмотров: 479; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!