Распределение Больцмана

При рассмотрении распределения Максвелла предполагалось, что молекулы равномерно распределены по объему сосуда. Это справедливо, если сосуд небольшой. В больших по объему сосудах равномерность распределения молекул нарушается из-за действия силы тяжести, в связи с этим плотность и число молекул в единице объема будут неодинаковыми.

Рассмотрим, как изменяется давление атмосферы Земли в зависимости от высоты. Пусть на поверхности Земли (h=0) давление атмосферы . На высоте h давление р. При увеличении высоты на давление уменьшается на , где ( - плотность воздуха на данной высоте). Используя уравнение состояния идеального газа , с учетом , получим . Разделим переменные и проинтегрируем от до , от 0 до h: , или , или , или (1). Это выражение называют барометрической формулой Больцмана.

С учетом того, что , ( - масса одной молекулы), можно записать .

Барометрическая формула показывает зависимость давления газа от высоты над поверхностью Земли. Если учесть, что концентрация молекул воздуха в атмосфере определяет давление ( ), то, воспользовавшись уравнением (1), получим (2).

Из (2) следует, что с понижением температуры число частиц на высоте убывает и при К обращается в нуль, т.е. при абсолютном нуле все молекулы расположились бы на земной поверхности. При высоких температурах, напротив, концентрация молекул слабо убывает с высотой, так что молекулы оказываются распределенными по высоте почти равномерно.

Этот факт имеет следующее физическое объяснение. Распределение молекул по высоте устанавливается в результате действия двух факторов:

1) притяжение молекул к Земле (сила тяжести) стремится расположить их на поверхности Земли;

2) тепловое движение (характеризуемое величиной ) стремится разбросать молекулы равномерно по всей высоте.

Чем больше масса и меньше температура, тем сильнее преобладает первая тенденция, молекулы сгущаются у поверхности Земли. В пределе при К тепловое движение совсем прекращается и под влиянием притяжения молекулы располагаются у Земной поверхности. При высоких температурах превалирует тепловое движение и плотность молекул медленно убывает с высотой.

На различной высоте молекула обладает различным запасом потенциальной энергии: . Отсюда, распределение молекул по высоте является вместе с тем и распределением их по значениям потенциальной энергии. Можно записать

(3) -

Это выражение называют распределением Больцмана (или законом Больцмана), где - концентрация молекул в том месте пространства, где потенциальная энергия имеет значение , - концентрация молекул в том месте, где =0.

Из (3) видно, что молекулы располагаются с большей плотностью там, где меньше их , и, наоборот, с меньшей плотностью в местах, где их больше.

Больцман показал, что это распределение справедливо не только в случае потенциального поля сил земного тяготения, но и в любом потенциальном поле сил для совокупности любого числа одинаковых частиц, находящихся в состоянии хаотического теплового движения.

В то же время, как закон Максвелла дает распределение частиц по , закон Больцмана дает распределение по значениям . Для обоих распределений характерно наличие экспоненциального множителя, в показателе которого стоит отношение или одной молекулы к величине, определяющей среднюю энергию теплового движения молекулы ( ).

Дата добавления: 2014-11-08; просмотров: 348; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!