Студопедия

Главная страница Случайная лекция


Мы поможем в написании ваших работ!

Порталы:

БиологияВойнаГеографияИнформатикаИскусствоИсторияКультураЛингвистикаМатематикаМедицинаОхрана трудаПолитикаПравоПсихологияРелигияТехникаФизикаФилософияЭкономика



Мы поможем в написании ваших работ!




Биномиальное распределение

Читайте также:
  1. II. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЛЕКАРСТВЕННЫХ СРЕДСТВ В ОРГАНИЗМЕ. БИОЛОГИЧЕСКИЕ БАРЬЕРЫ. ДЕПОНИРОВАНИЕ
  2. IV. Распределение часов курса по темам и видам работ
  3. Алгоритм описания многолетней динамики заболеваемости (распределение годовых показателей заболеваемости)
  4. Биномиальное распределение
  5. Биномиальное распределение дискретной случайной величины. Распределение Пуассона.
  6. Для чего нужно распределение, близкое к нормальному?
  7. Доходы и их распределение.
  8. Лекция №8 Распределение доходов, потребление, сбережения, инвестиции
  9. Начальное распределение напряжения вдоль обмотки трансформатора

Средние значения

 

,

 



. (1.13)

 



Рассмотрим основные дискретные распределения: биномиальное, Пуассона и Гаусса.


 

Имеются N независимых частиц или N независимых попыток с положительным или отрицательным результатами. Если известна вероятность p положительного результата для одной частицы или попытки, то вероятность положительного результата для любых частиц или попыток описывается биномиальным распределением

 



, (1.26)

где

; ;

 



биномиальный коэффициент;

 



; , ,

 



 



,

 



, , .

 



Распределение обосновал Якоб Бернулли, результат опубликован в 1713 г.

 



Якоб Бернулли (1654–1705)

 



Для доказательства (1.26) рассмотрим идеальный газ из N тождественных частиц в объеме V, все точки которого равноправны. Получим вероятность обнаружения n любых частиц в объеме .

1. Вероятность найти определенную частицу в объеме DV согласно (1.5)

 



.

 



2. Вероятность найти определенную частицу вне объема DV

 



.

 



Эти несовместимые события образуют полный набор и удовлетворяют условию нормировки.

3. Вероятность найти n определенных частиц в объеме DV согласно теореме об умножении вероятностей независимых событий (1.6) равна . Вероятность найти (N n) определенных частиц вне объема DV равна .

4. Вероятность найти одновременно n определенных частиц в объеме DV и (N n) других частиц вне этого объема

 



.

 



5. Взаимная перестановка тождественных частиц дает состояние, не отличимое от исходного. Число таких состояний есть число сочетаний n частиц из общего числа N и равно .

6. В результате получаем (1.26) для вероятности найти n любых частиц в объеме DV и (N n) любых других частиц вне DV.

Условие нормировки. Складываем вероятности всех возможных случайных результатов

 



,

 



где использована формула бинома Ньютона

 



.

 



Отсюда идет название распределения.

 



Исаак Ньютон (1642–1727)

 



Производящая функция биномиального распределения

 



. (1.27)

 



Для доказательства (1.27) подставляем биномиальное распределение (1.26)

 



в определение производящей функции (П1.14)

 



. (П.1.4)

 



Используем бином Ньютона

 



,

и получаем (1.27).

Выполняется условие нормировка (П1.16) для биномиального распределения

.

 



Среднее число частиц в объеме DV получаем подстановкой производящей функции (1.27)

в (П1.17)

.

Находим

, (1.28)

 



где учтено . Результат очевиден, поскольку – средняя концентрация.

Из (1.28) выражаем вероятность положительного результата у частицы

 



и подставляем в биномиальное распределение (1.26)

 



.

 



Получаем вероятность положительного результата для n частиц,если этот результат наблюдается в среднем у частиц

 



. (1.29)

 



В частности, вероятность отрицательного результата у всех частиц

 



,

 



вероятность положительного результата у всех частиц

 



.

 



Среднеквадратичное число частиц и дисперсия. Подставляем производящую функцию (1.27)

 



в (П1.18)

.

 



Находим среднее квадратичное

 



, (1.30)

получаем дисперсию

 



. (1.31)

 



Дисперсия равна нулю при и , при достигается максимальное значение .

График распределения для , , показан на рис. 1.1, a.

 



а б

Рис. 1.1. Распределения биномиальное (а)

и Пуассона (б) для N = 10, , р = 0,45

 




<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Относительная флуктуация | Распределение Пуассона

Дата добавления: 2014-02-27; просмотров: 764; Нарушение авторских прав




Мы поможем в написании ваших работ!
lektsiopedia.org - Лекциопедия - 2013 год. | Страница сгенерирована за: 0.004 сек.