Операционный метод и передаточная функция

Наиболее распространенным методом описания и анализа автоматических систем является операционный метод (метод операционного исчисления).

В основе метода лежит преобразование Лапласа

X(p)= {x(t)}=∫x(t)e^-ptdt,

которое устанавливает соответствие между функциями действительной переменной t и функциями комплексной переменной р.

Функцию времени х(t), входящую в интеграл Лапласа, называют оригиналом, а результат интегрирования – функцию X(р) – изображением функции х(t) по Лапласу.

Преобразование Лапласа выполнимо лишь для таких функций времени, которые равны нулю при t<0. Это условие обеспечивается обычно умножением функции х(t) на единичную ступенчатую функцию 1(t).

С математической и физической точек зрения такой искусственный прием вполне корректен, так как функции х(t) описывают процессы в автоматических системах, начинающиеся с некоторого момента времени, а этот момент времени всегда может быть принят за начало отсчета.

Изображения простейших функций времени, используемых в расчетах САУ и основные свойства преобразования Лапласа, используемые при анализе САУ, приводятся в справочной литературе (см. в табл. 2.1 и табл. 2.2).

Наиболее важными свойствами преобразования Лапласа являются свойства, формулируемые обычно в виде правил.

1) Дифференцированию оригинала x(t) no переменной t, при нулевых начальных условиях, соответствует умножение изображения X(р) на комплексную переменную р.

2) Интегрированию оригинала x(t) no переменной t, при нулевых начальных условиях, соответствует деление изображения X(р) на комплексную переменную р.

Именно на этих двух свойствах основан операционный метод решения дифференциальных уравнений, который заключается в следующем.

1). Исходное дифференциальное (или интегродифференциальное) уравнение, записанное относительно искомой выходной функции у(t), заменяют на алгебраическое уравнение относительно изображения Y(р). Этот процесс называется алгебраизацией дифференциального уравнения.

2). Решая алгебраическое уравнение при заданном X(р), находят изображение Y(p).

3).По изображению Y(p) определяют функцию y(t).

Этот обратный переход от изображений к оригиналам в большинстве практических задач может быть осуществлен при помощи таблиц, имеющихся в специальных справочниках по операционному исчислению.

Широкое распространение операционного метода в теории автоматического управления обусловлено тем, что с его помощью определяют так называемую передаточнуюфункцию, которая является самой компактной формой описания динамических свойств элементов и систем.

Таблица 2.1

Изображения простейших функций времени по Лапласу

Таблица 2.2

Основные свойства преобразования Лапласа

Применим преобразование Лапласа к линейному дифференциальному уравнению

a₀dⁿy(t)/dtⁿ+a₁d^n-1y(t)/dt^n-1+…+a_ny(t)=

=b₀d^mx(t)/dt^m+b₁d^m-1x(t)/dt^m-1+…+b_mx(t),

полагая, что до приложения внешнего воздействия система находилась в покое и все начальные условия равны нулю.

Используя свойство линейности и правило дифференцирования (см. табл. в справочной литературе), получим алгебраическое уравнение в изображениях

D(p)Y(p)=K(p)X(p),

где D(р)=a₀pⁿ+a₁p^n-1+…+a_n,

K(р)=b₀p^m+b₁p^m-1+…+b_m.

Сравнивая получившееся уравнение с уравнением в символической форме, можно заметить полную аналогию их структур. Различие уравнений лишь в значении символа р: в первом уравнении он обозначает операцию дифференцирования, во втором – комплексную переменную.

Передаточная функция W(р) – это отношение изображения выходной величины к изображению входной величины при нулевых начальных условиях

W(р)=Y(p)/X(p)= {y(t)}/ {x(t)}.

Для системы, описываемой исходным уравнением, передаточная функция равна отношению входного оператора K(p) к собственному оператору D(р)

W(р)=K(p)/D(p)=(b₀p^m+b₁p^m-1+…+b_m)/(a₀pⁿ+a₁p^n-1+…+a_n).

Как следует из последних выражений, передаточная функция представляет собой некоторый динамический оператор, характеризующий прохождение сигналов через линейный элемент.

Передаточную функцию формально можно получить из дифференциального уравнения путем замены в нем символа кратного дифференцирования на соответствующую степень р и деления образованного таким образом многочлена правой части уравнения на многочлен левой части.

Например, передаточную функцию электрических четырехполюсников удобно получить, пользуясь понятием операторного сопротивления. Для этого четырехполюсник необходимо представить в виде схемы делителя напряжения

Схема состоит их двух операторных сопротивлений Z₁(p) и Z₂(p). В этом случае передаточная функция между напряжениями u₁ и u₂ может быть определена как отношение выходного сопротивления Z_вых(p)=Z₂(p) к входному Z_вх(p)=Z₁(p)+Z₂(p)

W(p)=u₁(p)/u₂(p)=Z_вых(p)/Z_вх(p)=Z₂(p)/(Z₁(p)+Z₂(p)),

где Z₁(p) и Z₂(p) найдены как эквивалентные операторные сопротивления входного и выходного участков, состоящих из типовых элементов электрических цепей.

Основные свойства и особенности передаточных функций систем автоматического управления и их элементов.

1. Передаточная функция элемента связана с его импульсной переходной функцией преобразованием Лапласа

W(p)= {ω(t)}= ω(t)e^-ptdt.

2. Для реальных элементов, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями

a₀dⁿy(t)/dtⁿ+a₁d^n-1y(t)/dt^n-1+…+a_ny(t)=

=b₀d^mx(t)/dt^m+b₁d^m-1x(t)/dt^m-1+…+b_mx(t),

передаточная функция представляет собой правильную рациональную дробь, у которой степень многочлена числителя меньше или равна степени многочлена знаменателя, т. е. m≤n.

3. Все коэффициенты передаточной функции – действительные числа, характеризующие параметры элемента.

4. Передаточная функция является функцией комплексной переменной р=α±jβ, которая может при некоторых значениях переменной р обращаться в нуль или бесконечность. Значение переменной р, при котором функция W(p) обращается в нуль, называют нулем, а значение, при котором обращается в бесконечность, - полюсом передаточной функции. Нулями передаточной функции являются корни полинома К(р), аполюсами – корни полинома D(р). Корни полиномов числителя и знаменателя могут быть комплексными, мнимыми и вещественными числами (в том числе и нулевыми). Если эти корни известны, то передаточная функция может быть представлена в виде

W(p)=(b₀(p-y₁)(p-y₂)…(p-y_m))/(a₀(p-λ₁)(p-λ₂)…(p-λ_n)),

где γ_i – корни многочлена К(р) (нули W(p)),

λ_i – корни многочлена D(р) (полюсы W (p)).

5. Каждой конкретной передаточной функции с заданными коэффициентами соответствует вполне определенное сочетание нулей и полюсов. По распределению нулей и полюсов передаточной функции на комплексной плоскости с координатами α и jβ можно судить о свойствах элемента или системы.

6. Если полиномы D(p) и К(р) имеют один или несколько нулевых корней, то передаточную функцию удобно записывать в такой форме, чтобы полюсы и нули были выделены в явном виде.

Так, если передаточная функция имеет в точке р=0 полюс кратности ν, то такую передаточную функцию удобно записать в виде

W(p)=kW*(p)/p^V,

где при р→0 W*(р) стремится к единице.

7. Передаточная функция при известных корнях имеет полюсы в точке р=0, когда один или несколько младших коэффициентов многочлена D(p) равны нулю

а_n=a_n-1=…=a_n-ν+1=0 (v=0; 1; 2; ...).

Такую передаточную функцию можно представить в виде

W(p)=(b₀p^m+b₁p^m-1+…+b_m)/(a₀pⁿ+a₁p^n-1+…+a_n),

или после преобразований

W(p)=(k/p^v)W*(p)=(k/p^v)((B₀p^m+B₁p^m-1+…+1)/(A₀p^n-ν+A₁p^n-ν-1+…+1)),

где B_i=b_i/b_m при i=0; 1; 2; ...; m;

A_i=a_i/a_n-v при i=0; 1; 2; ..; n-v;

k=b_m/a_n-v.

Величину v называют порядком астатизма.

Коэффициент k имеет размерность [k]=[y]/[x], [t]^v и с некоторой условностью может быть назван передаточным коэффициентом.

Условность заключается в том, что понятие передаточный коэффициент было введено в качестве характеристики статического режима, а у элементов с v≠0 статический режим работы не существует.

Если же v=0, то элемент называется статическим, а его передаточная функция при р=0 равна передаточному коэффициенту

W(0)=kW*(0)=b_m/a_n=k.

Дата добавления: 2014-11-14; просмотров: 445; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!