ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ

§ 2.1. АФФИННЫЕ РЕПЕРЫ И КООРДИНАТЫ ТОЧЕК.

ФОРМУЛЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КООРДИНАТ ТОЧЕК

Аффинные реперы являются обобщением известных из средней школы систем координат на плоскости и в пространстве. Чтобы задать аффинный реперна прямой, на плоскости или в пространстве, надо зафиксировать точку и выбрать базис соответствующего множества векторов.

Определение 2.1.1. Аффинным репером на прямой называется набор где – точка, – базис множества векторов прямой, т.е. ненулевой вектор прямой (рис. 1). Координатой точки в репере называется координата радиус-вектора в базисе

Рис. 1 Рис. 2

Таким образом, координата точки в репере – это число которое определяется равенством Координата для каждой точки определяется однозначно, так как отображение ставящее в соответствие точке ее радиус-вектор, есть биекция множества точек прямой на множество векторов этой прямой, а координата вектора в данном базисе определяются однозначно (теорема ). Если считать, что масштаб на прямой определяется вектором (т.е. ), то координата точки на прямой имеет тот же смысл, что и в средней школе. Прямую с фиксированным репером будем называть координатной осью и обозначать Если – координата точки то используют запись

Определение 2.1.2. Аффинным репером на плоскости называется набор где – точка плоскости, – базис множества векторов плоскости, т.е. упорядоченная пара неколлинеарных векторов плоскости (рис. 2). Координатами точки в репере называется координаты радиус-вектора точки в базисе

Таким образом, координаты точки в репере – это пара чисел таких, что Если – координаты точки то используют запись Те же аргументы, что и в случае прямой, показывают, что координаты точки в данном репере определяются однозначно. Имея репер на плоскости, можно говорить о двух координатных осях. Координатная ось с репером называется осью абсцисс и обозначается координатная ось с репером называется осью ординат и обозначается Первая и вторая координаты точки называются соответственно абсциссой и ординатой этой точки. Способ определения координат векторов, изложенный в § 1.4, позволяет выяснить геометрический смысл координат. Для нахождения абсциссы точки нужно спроектировать ее на ось параллельно оси Если то – координата точки на оси абсцисс. Аналогично, – координата точки на оси ординат (рис. 3).

Рис. 3

Определение 2.1.3. Аффинным репером в пространстве называется набор где – точка, – базис множества векторов пространства, т.е. упорядоченная тройка некомпланарных векторов.(рис. 4). Координатами точки в репере называется координаты радиус-вектора точки в базисе

Таким образом, координаты точки в репере – это тройка чисел таких, что Если – координаты точки то используют запись Далее можно повторить все то, что говорилось выше в случае плоскости с очевидными дополнениями. Помимо координатных осей абсцисс и ординат в пространстве добавляется осьаппликат Кроме того, в пространстве имеются три координатные плоскости, определяемые парами осей: это плоскости и Каждая из координат точки есть координата проекции точки на соответствующую ось параллельно дополнительной координатной плоскости (рис. 4). Координаты точки в данном репере определяются однозначно.

Рис. 4

Аффинные реперы называются также аффинными (или декартовыми) системами координат и обозначают: (для прямой), (для плоскости), (для пространства). Точка входящая в репер, называется началом системы координат. В случаях, когда или – ортонормированные базисы (определение 1.4.5), говорят об ортонормированном репере плоскости (рис. 5) и ортонормированном репере пространства (рис. 6). Ортонормированные реперы называются также декартовыми прямоугольными системами координат.

Рис. 5 Рис. 6

Замечание 2.1.1. Отметим две биекции, возникающие при координатизации прямой, плоскости или пространства. Пусть, например, – аффинный репер на плоскости Тогда отображение ставящее в соответствие каждой точке плоскости ее радиус-вектор, является биекцией множества точек плоскости на множество векторов плоскости. А отображение ставящее в соответствие каждой точке плоскости ее координаты, является биекцией множества точек плоскости на множество пар вещественных чисел. Аналогично в случаях прямой и пространства биекциями являются отображения

а также отображения

Утверждение 2.1.1. (i) Пусть – аффинный репер на плоскости – произвольные точки плоскости, заданные своими координатами в данном репере. Тогда:

(i) вектор в базисе имеет следующие координаты:

(ii) середина отрезка имеет координаты:

(iii) если – ортонормированный репер, то расстояние между точками и вычисляется по формуле:

(1)

Доказательство. (i) По определению 2.1.2, координаты точек и совпадают с координатами векторов и Так как то, согласно утверждению 1.4.5, каждая координата вектора есть разность соответствующих координат векторов и

(ii) Пусть – координаты точки Так как то, согласно части (i), для имеем уравнения: решая которые, получаем нужный результат.

(iii) Поскольку расстояние между точками и совпадает с длиной вектора то формула (1) вытекает из первой формулы (4) в § 1.1.5)

Разумеется, утверждение 2.1.1, относящееся к плоскости, имеет очевидные аналоги для прямой и пространства.

Далее подобно тому, как это было сделано для векторов в § 1.8.1, получим формулы преобразования координат точек при переходе от одного репера к другому. Как и в случае векторов, вид формул и их вывод одинаков для прямой, плоскости и пространства. Проведем рассуждения для случая плоскости.

Пусть и – два аффинных репера на плоскости векторов плоскости. Первый из них будем условно называть старым, а второй – новым. Пусть и – соответственно старые и новые координаты произвольной точки плоскости. Обозначим и соответствующие координатные столбцы. Нам понадобится матрица перехода от базиса к базису и координаты точки в старом репере. Обозначим координатный столбец точки Запишем для точек равенство треугольника:

(1)

Таким же равенством связаны координатные столбцы векторов в старом базисе Координатные столбцы радиус-векторов и совпадают с координатными столбцами точек, т. е. соответственно с и Для вектора нам также известен координатный столбец , но только в новом базисе По формулам (3) преобразования координат векторов из § 1.1.8 находим координатный столбец вектора в старом базисе: Таким образом, = – координатный аналог равенства (1). Окончательно, получаем следующие формулы преобразования координат точек при переходе от одного репера к другому:

= (2)

В развернутом виде соответственно для прямой, плоскости и пространства:

=

Здесь старые координаты произвольной точки выражены через ее новые координаты с помощью матрицы перехода и координат нового начала координат в старом репере.

Рассмотрим подробнее формулы преобразования прямоугольных координат на плоскости. Пусть и – два ортонормированных репера на плоскости Если – величина угла между векторами и то (рис 7). Аналогично, если – величина угла между векторами и то Числа и связаны между собой. Если базисы и одинаково ориентированы, то (рис. 7), если же базисы и имеют противоположную ориентацию, то (рис. 8).

Рис. 7 Рис. 8

Следовательно, в первом случае и во втором. Таким образом, формулы преобразования координат точек на плоскости при переходе от прямоугольной системы координат к прямоугольной системе координат имеют вид:

если и одинаково ориентированы, либо

если и противоположно ориентированы.

В частности,

– формулы преобразования координат при параллельном переносе системы координат на вектор , а

– формулы преобразования координат при повороте прямоугольной системы координат вокруг точки на угол

Дата добавления: 2014-11-15; просмотров: 553; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!