Закон Гука и закон теплового расширения

Относительное изменение длины при изотропном изменении внешнего давления равно:

ΔХ/(D+Х) = Δ[kT/(P_int+P_ext)]/D³ ≈ –ΔP(kT)/[P_int+P_ext]²/D³ ≈ –ΔP(kT)/{[P_ext + P_int]²D³}.

Модуль Юнга равен, соответственно:

8. Е ≈ D³[P_ext + P_int]²/(kT) ≈ D³[P_int]²/(kT).

Последнее приближенное равенство справедливо, если внутреннее давление много больше внешнего давления. Для всех жидкостей и твердых тел модуль Юнга действительно уменьшается при повышении температуры.

Обратим внимание на то, что в соответствии с полученной формулой модуль Юнга должен расти до бесконечности при понижении температуры. Это вполне соответствует нашему модельному предположению о том, что молекулы – шарики имеют очень большую жесткость и не деформируются при столкновениях. При нулевой температуре шарики не движутся и касаются друг друга – отсюда и следует бесконечность модуля Юнга. Это, конечно же, не соответствует реальному поведению молекул, и мы уделим этому вопросу внимание при рассмотрении более адекватной модели устройства молекул (атомов), а сейчас нам важно оценить внутреннее давление в веществе при высоких температурах, когда полученная формула хорошо «работает».

Относительное изменение длины при изменении температуры равно:

Δx/(D+x) ≈ Δx/D = Δ [kT/ (P_int + P_ext)]/D³ ≈ + Δ Т [k/ (P_int + P_ext)]/D³.

Термический коэффициент линейного расширения тел при условии, что внутреннее давление много больше внешнего давления, равен:

9. α ≈ k/(P_intD³).

Отсюда следует, что:

10. P_int = Е α T.

Заметим, что в полученном выражении для внутреннего давления модуль Юнга и температура входят как произведение. Поэтому в рассматриваемой модели внутреннее давление не зависит от температуры, ведь для модуля Юнга в используемой модели получено соотношение:

Е ~ 1/Т.

Для температур в диапазоне 300К – 1000К полученная формула вполне годится для оценки внутреннего давления веществ. В большинстве практически важных случаев внутреннее давление вещества в конденсированном состоянии во много раз превышает давление, созданное внешними силами.

Таким образом, зная справочные данные для модуля Юнга и коэффициента термического расширения вещества, можно оценить внутреннее давление этого вещества при достаточно высоких температурах.

Конкретные примеры механических и тепловых параметров различных веществ при температуре 300К сведены в таблицу. В последнем столбике таблицы приведены вычисленные значения внутреннего давления (оценки) для каждого вещества:

Логично предположить, что при внешних растягивающих усилиях (отрицательных внешних давлениях) сравнимых по величине с внутренним давлением в материале, возникают необратимые деформации. Действительно, железо и серебро рвутся при растяжении ~ 0,4 от рассчитанных значений внутреннего давления. Свинец рвется, когда внешнее растягивающее давление составляет ~ 0,15 от внутреннего давления. Даже вода, хорошо очищенная от пузырьков, может быть растянута до отрицательного давления 100 Атм = 1*10⁷ Па. Такие эксперименты проводились! Растянутая вода «жила» в таком состоянии в течение нескольких минут. Лед рвется при внешнем растягивающем давлении равном 0,5 от рассчитанного значения внутреннего давления.

Значительные отличия (в несколько раз) практически измеренного давления разрыва и рассчитанного внутреннего давления вещества, которое определяет теоретическую максимальную прочность материала, объясняются в современной теории твердых тел наличием дефектов в структуре материала.

Для оценки давления, которое удерживает молекулы вещества (воды, например) в конденсированном состоянии от «разлёта» можно решить простую задачу:

Какое давление возникнет в сосуде с жесткими стенками, заполненном жидкой водой при 300К, если вдруг все молекулы воды превратятся в материальные точки с теми же массами и скоростями и перестанут взаимодействовать друг с другом, а останется только их взаимодействие со стенками сосуда?

Ответ: Р ≈ 10⁸ Па! Это в точности соответствует приведенной нами в таблице оценке для внутреннего давления воды.

Оценку „сверху” для сжимающего воду „внутреннего” давления можно провести другим путём, зная коэффициент поверхностного натяжения воды σ=0,07 Н/м и средний размер (диаметр) молекулы воды D=3,6×10^-10м. Эта величина соответствует Лапласовскому давлению в полости с радиусом, равным диаметру молекулы.

Р_Лапл. = 2σ/D ≈ 4×10⁸ Па.

Если попытаться «подогнать» результат, рассчитываемый по Лапласовскому давлению, к тем результатам, которые получены другими способами, то нужно выбрать радиус полости в воде равным четырем диаметрам молекулы воды. Образно говоря, каплей воды и пузырьком в воде можно называть образования с диаметром от 8 диаметров молекулы воды и больше.

Дата добавления: 2014-11-20; просмотров: 263; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!