Нормальное распределение Гаусса

Если признак имеется в среднем у частиц, причем выполняется , то вероятность признака у n частиц при относительно малом отклонении от среднего описывается нормальным распределением

. (1.19)

Результат получил Гаусс в 1809 г.

Карл Фридрих Гаусс (1777–1855)

Доказательство

Условие означает и выполнение распределения Пуассона

.

Логарифмируем

.

Используем формулу Стирлинга (рассматривается в курсе ММФ)

, при ,

которая дает

.

Получаем

.

Вводим отклонение от среднего , тогда

.

Для распределения Гаусса учитываем . Разлагаем по степеням малой величины и сохраняем лишь первые два слагаемые, считая остальные несущественными:

.

Находим

.

Потенцируем результат и, используя , заменяем , и получаем (1.19)

.