Если признак имеется в среднем у
частиц, причем выполняется
, то вероятность признака у n частиц при относительно малом отклонении от среднего
описывается нормальным распределением
. (1.19)
Результат получил Гаусс в 1809 г.

Карл Фридрих Гаусс (1777–1855)
Доказательство
Условие
означает
и выполнение распределения Пуассона
.
Логарифмируем
.
Используем формулу Стирлинга (рассматривается в курсе ММФ)
, при
,
которая дает
.
Получаем
.
Вводим отклонение от среднего
, тогда
.
Для распределения Гаусса учитываем
. Разлагаем
по степеням малой величины
и сохраняем лишь первые два слагаемые, считая остальные несущественными:

.
Находим
.
Потенцируем результат и, используя
, заменяем
, и получаем (1.19)
.