Лекция 7-8

План лекции:

1. Первообразная функции и неопределенный интеграл.

2. Свойства неопределенного интеграла.

3. Методы вычисления неопределенного интеграла.

Неопределённый интеграл

Первообразная функция и неопределённый интеграл

Функция F(x) называется первообразной функцией для функции f(x) на промежутке Х, если в каждой точке х этого промежутка F'(х)=f(x).

Например, F(x)=является первообразной для функции f(x)=x², поскольку .

Теорема. Если F₁(x) и F₂(x) – первообразные для функции f(x) в некотором промежутке Х, то найдётся такое число С, что

F₂(x)=F₁(x)+C

Следовательно, если F(x) – первообразная для f(x), то выражение вида F(x)+C, где С – произвольное число, задаёт все возможные первообразные для f(x).

Совокупность всех первообразных для функции f(x) на промежутке Х называется неопределённым интегралом от функции f(x) и обозначается

где - знак интеграла, f(x) – подынтегральная функция, f(x)dx – подынтегральное выражение.

Таким образом,

где F(x) – некоторая первообразная для f(x), C – произвольная постоянная.

Пример:

Операция нахождения неопределённого интеграла от некоторой функции называется интегрированием этой функции.

Свойства неопределённого интеграла. Интегралы от основных элементарных функций.

Основные свойства неопределённого интеграла:

1. Производная от неопределённого интеграла равна подынтегральной функции, т.е.

2. Дифференциал неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению, т.е.

3. Неопределённый интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого, т.е.

где С – произвольное число.

4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е.

где - некоторое число.

5. Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций, т.е.

Основные табличные интегралы, т.е. интегралы от основных элементарных функций:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

Примеры:

Дата добавления: 2014-02-28; просмотров: 655; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!