Основные понятия. Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения.

Лекция 10 - 11

План лекции.

1. Основные понятия и определения

2. Классификация дифференциальных уравнений и способы их решения.

Уравнение вида

(1)

связывающее аргумент х, неизвестную функцию и её производные, называется обыкновенным дифференциальным уравнением (ОДУ).

В явной форме оно разрешено относительно старшей производной

(2)

Решить дифференциальное уравнение (ДУ) – это значит найти все неизвестные функции, обращающие уравнение в тождество. Такая задача называется интегрированием дифференциального уравнения. График решения называется интегральной кривой.

Решение ДУ без дополнительных условий является неоднозначным, и оно описывает целое семейство интегральных кривых на плоскости. Для однозначного решения ОДУ n-го порядка надо задать дополнительно n условий. Обычно это значение функции и её производных до (n-1)-го порядка включительно при некотором заданном значении переменной х.

Общее решение ОДУ n-го порядка

(3)

является функцией переменной х и n произвольных констант С₁, С₂, …, С_n.

Частное решение ОДУ получается при подстановке в общее решение некоторых конкретных числовых значений С₁, С₂, …, С_n.

Пример. Решить уравнение

Исходное уравнение равносильно равенству Интегрирование приводит к выражению: Повторное интегрирование приводит к выражению: Это общее решение.

Частное решение может быть таким: при условиях

Дата добавления: 2014-02-28; просмотров: 486; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!