Предел и непрерывность

Число А называется пределом функции z = f (x, y) при и , если для такое, что для всех точек (х, у), отстоящих от точки (х₀, у₀) на расстояние выполняется неравенство

Обозначается предел

Как правило, вычисление пределов функций двух переменных гораздо труднее случая одной переменной. Причина в том, что на прямой существуют всего два направления, по которым аргумент может стремиться к предельной точке – справа и слева. На плоскости таких направлений бесконечное множество, и пределы функции по разным направлениям могут не совпадать.

Например, не существует. Если приближаться к точке (0; 0) по прямым y = kx, то

Отсюда видно, что значение предела зависит от углового коэффициента прямой. Так как предел функции не должен зависеть от способа приближения точки (х, у) к точке (0; 0), то рассматриваемый предел не существует.

Функция z = f (x, y) называется непрерывной в точке (х₀, у₀), если она: 1.) определена в точке (х₀, у₀);

2.) имеет конечный предел при и ;

3.) этот предел равен значению функции в точке (х₀, у₀), то есть .

При этом графике в точке (х₀, у₀) представляет собой сплошную, не расслаивающуюся поверхность.

Дата добавления: 2014-02-28; просмотров: 433; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!